中考数学满分之路【03】抛物线与面积

中考数学满分之路（3）：抛物线与面积一、三角形的面积公式1、如果一个三角形的一边为，且这条边上的高为，那么这个三角形的面积为．①由于三角形有三条边，所以有不同的计算方式，但能得到相同的结果．如图，，，∴．（通常称此法为“等面积法”）②同高（等高）的两个三角形面积之比等于底之比．如图，中，点为边上一点（不与点，重合），则；进一步，在上取一点，连接，，则．（燕尾定理）2、如果一个三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的面积为，其中．（海伦公式）3、如果一个三角形的周长为，内切圆半径，那么这个三角形的面积为．4、利用水平宽与铅垂求三角形的面积，如图，水平宽铅垂高．本质为割补法求图形面积．5、坐标平面内三角形面积的计算，如图轴交直线于点，则．【同步练习】1、如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点，点是线段上的动点（点不与，重合），过点作轴的平行线，交双曲线于点，连接，若点的横坐标为，则的面积的最大值为______．2、如图，已知点在反比例函数（）上，过点作轴于点，为轴上点左侧一点，连接，取的中点，连并延长交轴于点，连接，若的面积为8，则______．3、如图，内接于⊙，为⊙的直径，的延长线交弦于点，若，，，则的长为______．二、抛物线与面积如图，轴交直线于点，则．现在，我们为这个图加上抛物线的外衣．【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点为抛物线上的动点（不与点，点重合），解答下列与面积有关的题目：（1）若，求点的坐标；（2）若点且，求点的坐标；（3）当点在直线上方的抛物线上运动时，求面积的最大值；（4）当面积为的有且只有4个时，求的取值范围；（5）当面积为的有且只有3个时，求的值；（6）当面积为的有且只有2个时，求的取值范围；（7）点，将直线向上平移个单位，平移后的直线与抛物线交于点，点，若，求的值．【变式练习】4、如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），过点的直线与抛物线交于点，且点的纵坐标为6．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点是抛物线上的一个动点，若的面积为4，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，过直线上方的点的直线与抛物线交于点，与轴正半轴交于点，若，求的值．5、如图，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与直线（）交于点，两点，与轴交于点，直线与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与的面积相等，求点的坐标；（3）若在轴上有且只有一点，使，求的值．6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线（）与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求点，的坐标；（3）在（2）的条件下，连接交于，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°，使点恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点，点，是抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点在直线下方时，求面积的最大值；（3）直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标．8、如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，线段于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，求线段的最大值；（3）如图2，连接，，当与以，，为顶点的三角形相似时，求点的横坐标．9、如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于，两点，（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．（1）直接写出点的坐标，并求出直线的函数表达式（其中，用含的式子表示）；（2）点是直线上方的抛物线