中考数学满分之路【02】四点共圆

中考数学满分之路（2）：四点共圆一、使用定义解题【圆的定义】平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．在题目中出现共端点的等线段时，可尝试作出圆辅助求解．【典例】（1）如图，四边形中，∥，，，则的长为______．（2）如图，在等腰中，，为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点，的延长线与的延长线交于点，则的值为______．【同步练习】1、如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；（3）设点是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．2、【问题背景】如图1，等腰中，，，作于点，则为的中点，，于是；【迁移应用】如图2，和都是等腰三角形，，、、三点在同一条直线上，连接．①求证：≌；②请直接写出线段，，之间的等量关系式；【拓展延伸】如图3，在菱形中，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接、．①证明：是等边三角形；②若，，求的长．3、如图，是半圆⊙的直径，点为半圆⊙上的点，连接，，点是的中点，点是射线上一点．（1）如图1，连接，，若，求证：；（2）如图2，过点作于点，点是线段上一点（不与点重合），连接，，与相交于点，且．①试猜想和的数量关系，并证明；②连接，若，，⊙的半径为2，求的长．二、圆内接四边形的性质与判定定理1、性质【定理1】圆的内接四边形的对角互补．【定理2】圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．【圆周角定理的推论】同弧所对的圆周角相等．2、判定【圆内接四边形判定定理1】如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．【推论】如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【圆内接四边形判定定理2】如果一个四边形一边与一对角线的夹角等于其对边与另一对角线的夹角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【书写格式如下】①∵，，，四点共圆，∴．②∵，，，四点共圆，∴．③∵，，，四点共圆，∴．④∵，∴，，，四点共圆．⑤∵，∴，，，四点共圆．⑥∵，∴，，，四点共圆．【同步练习】4、如图，矩形的对角线，相交于点，过点作交于点，若，的面积为6，则的值为______．5、如图，点在线段上，点，在同侧，，，．（1）求证：；（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线与点；①当点与，两点不重合时，求的值；②当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长．6、如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，与相交于点．（1）求证：≌；（2）如图2，将沿直线翻折得到对应的，过作∥，交射线于点，与相交于点，连接．①试判断四边形的形状，并说明理由；②若四边形的面积为，，求的长．三、与圆有关的比例线段【相交弦定理】圆内的两条弦，被交点分成的两条线段长的积相等．【割线定理】从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．【切割线定理】从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项．【书写格式如下】①由相交弦定理，得．②由割线定理，得．③由切割线定理，得．【同步练习】7、如图，已知是⊙的直径，为⊙上一点，延长至，使，于，交⊙于，交于．求证：．8、如图1，线段是⊙的直径，弦于点，点是上任意一点，，．（1）求⊙的半径的长度；（2）求；（3）如图2，直线交直线于点，直线交⊙于点，连接交于点，求的值．9、已知为⊙的直径，为⊙的切线，为切点，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，为⊙上一点，连接交于点，过点作的垂线交于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，若，的面积为15（），求⊙的面积．【竞赛拓展】10、（蝴蝶定理）如图，过⊙的弦的中点引任意两条弦，，连接，分别交于，两点．求证：．【证法一】证明：过点作∥交⊙于另一点，连接并延长交于，①当为直径时，四边形为矩形，易证；②当不是直径时，由垂径定理推论，得，又∥，∴，又过圆心，∴垂直平分，∴，∴，又∥，∴，，∴，，∵，，，四点共圆，∴，∴，∴，，，四点共圆，∴，又，∴，又，，∴≌，∴．【证法二】证明：分别取，的中点，，连接，，，，，，，∵，，∴∽，∴，又，，∴，∴，又，∴∽，∴，∵点，，分别是⊙的弦，，的中点，∴，，，∴，，∴，，，四点共圆，，，，四点共圆，∴，，又，∴，又，，∴≌，∴．【证法三】证明：过作于，过作于，过作于，过作于，∵，，，，∴∽，∽，∴①，②，由①×②得：，∴，又由相交弦定理及平行线分线段成比例定理，得：，∴，即，根据比例的基本性质，得：，∴，∴．【证法四】证明：连接，，，，根据共圆定理，（共圆定理：同圆或等圆中的三角形面积比等于三边乘积之比）得，又∽，∽，∽，∴，∴，即，∴，∴．【证法五】证明：连接并延长交⊙于另一点E，连接并延长交⊙于另一点，连接，交于点，六边形内接于⊙，交于点，交于点，交于点，根据帕斯卡定理，得，，三点共线，连接，，，∵，为⊙的直径，