【青松雪】中考数学几何模型【模型06】一线三等角模型

初中数学（北师大版）中考数学几何模型【模型06】一线三等角模型主讲人：王建林【模型介绍】

一线三等角模型：指的是有三个等角的顶点在同一条直线上，从而构成的全等或相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角．不同的地方对此有不同的称呼，如“K形图”、“三垂直”、“内弦图”、“外弦图”等，以下统称为“一线三等角模型”．

一线三等角模型包含“全等型”和“相似型”两种，初一初二阶段主要研究前者，初三阶段多研究后者．

两者主要的区别是看相等的对应角其所对的对应边是否相等．有对应边相等即为全等型，没有则为相似型．全等型一线三等角一般多以等腰直角三角形为框架背景．【模型介绍】“全等型”一线三等角模型【类型一】同侧“全等型”一线三等角【条件】∠1=∠2=∠3；PC=PD．【结论】△APD≌△BCP．【说明】一线三等角模型不是定理，在做解答题时不能直接使用结论，

一定要书写完整的证明格式，切记！！【模型介绍】“全等型”一线三等角模型【类型二】异侧“全等型”一线三等角【条件】∠1=∠2=∠3；PC=PD．【结论】△APD≌△BCP．【模型介绍】“相似型”一线三等角模型【类型三】同侧“相似型”一线三等角【条件】∠1=∠2=∠3．【结论】△APD∽△BCP．【模型介绍】“相似型”一线三等角模型【类型四】异侧“相似型”一线三等角【条件】∠1=∠2=∠3．【结论】△APD∽△BCP．【模型介绍】一线三等角模型【类型五】以等腰直角三角形为背景的“全等型”一线三等角【条件】等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，直线

MN

绕点

A旋转．

BE⊥MN，CF⊥MN．求线段

EF、BE、CF的数量关系．EF=BE+CFCF=BE+EFBE=EF+CF外弦图内弦图【模型介绍】一线三等角模型【类型六】“相似型”一线三等角【条件】P为线段

AB

的中点，∠1=∠2=∠3．【结论】△APD∽△PCD∽△BCP．

(中点相似型一线三等角)(等腰或等边为背景的相似型)【典型例题】【例1】三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型．(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线

m经过点

A，BD⊥m，CE⊥m，

垂足分别为

D，E，求证：DE=BD+CE．(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线

m

上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中

α为任意锐角或钝角．那么结论

DE=BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)如图3，将(1)中的条件改为：AB＝AC，A，E，D三点都在直线

m上，且有

∠BDF=∠DEC=∠BAC=β，其中

β

为任意锐角．那么结论

DE=BD+CE是否仍成

立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【例2】如图，在等腰Rt△ACB和等腰Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，连接

AD、BE，点

F

在

AD

上．(1)求证：S△ADC=S△BCE；(2)若FC⊥BE，求证：F为

AD

中点；(3)若

F

为

AD

中点，求证：FC⊥BE．【例3】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，D为△ABC外一点，满足∠CBD=90°，

BC=BD，若

S△ACD=4.5，求

AC的长.【典型例题】【典型例题】【例4】如图，在平面直角坐标系xOy

中，已知点

A(4,3)，连接OA，将线段

OA

绕

点

O

逆时针旋转

α(0°<α<180°)得到线段

OB．(1)若

α=45°，求此时点

B

的坐标；

若

α=90°，求此时点

B

的坐标；(2)若

α=60°，求此时点

B

的坐标；

若

α=120°，求此时点

B

的坐标；【典型例题】【例5】在△ABC中，已知∠BAC=α，AD⊥BC于

D，BD=2，DC=3，求

AD的长．(1)如图1，当

α=30°时，小明同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作

出∠EBD=∠FCD=60°，利用三角形相似求出

AD的长．

请你帮助他证明：△ABE∽△CAF；(2)当

α=45°时，

①如图2，求

AD的长．

②如图3，M，N为直线

BC上两点(M在

B点左侧，N在

C点右侧)，

在Rt△AMN中，∠MAN=90°，AN=3，AM=4，设

BM=x，CN=y，请求出

x，y

之间的关系式．【典型例题】【例6】(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF

分别交

AB、CD

于点E、F，GH分

别交AD、BC

于点G、H，求证：EF:GH=AD:AB．(2)如图2，在满足

(1)的条件下，又

AM⊥BN，点

M、N

分别在边

BC、CD

上，若

EF:GH=13:17，则BN:AM

的值为

；(直接写出结果)(3)如图3，四边形

ABCD

中，∠ABC=90°，AB=AD=6，BC=CD=3，AM⊥DN，点

M、N

分别在边

BC、AB

上，求

DN:

AM的值．【课堂小结】【变式1】四边形ABCD

是边长为4的正方形，点E

在边

AD

所在直线上，连接CE，

以CE

为边，作正方形

CEFG(点

D，点

F在直线

CE

的同侧)，连接BF．(1)如图1，当点

E

与点

A

重合时，请直接写出

BF

的长；(2)如图2，当点

E

在线段

AD

上时，AE=1；①求点F

到AD

的距离；②求

BF

的长；(3)若

，请直接写出此时

AE

的长．【变式练习】【变式练习】【变式2】(1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点

C作直线

DE，AD⊥DE于

D，BE⊥DE于

E，求证：△ADC≌△CEB；(2)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点

C作直线

CE，

AD⊥CE于

D，BE⊥CE于

E，AD=8，BE=3，求

DE的长；(3)如图3，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，且在平面直角坐标系中，

点

C在

y轴正半轴上，点

A坐标为(7,3)，点

B是第一、第三象限的角平分线

l上

的一点，求点

C的坐标．【变式练习】【变式3】(1)如图1，把一块三角板(AB=BC，∠ABC=90°)放入一个

U形槽中，使

三角形的三个顶点

A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，

在滑动过程中，你发现线段

AD与

BE有什么关系？试说明你的结论；(2)如图2，在△ABC中，点

D、E、F分别在

BC、AC、AB上，若∠B=∠FDE=∠C，

则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的

一组，并加以说理；(3)如图3，在△ABC中，BA=BC，∠B=45°，点

D、F分别是边

BC、AB上的动点，

且AF＝2BD．以

DF为腰向右作等腰△DEF，使得

DE=DF，∠EDF=45°，连接CE．①试判断线段

DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；②如图4，AC=2，点

G是

AC的中点，连接

EA、EG，直接写出

EA+EG的最小值．【变式练习】【变式4】(1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，直线

ED经过点C，

过点

A作

AD⊥ED于点

D，过点

B作

BE⊥ED于点

E，请直接写出图中相等的线段；(除已知边AC=BC外)

(2)如图2，在等边△ABC中，D，E分别为

AB，BC边上的点，DE=EF，∠DEF=60°，

连接CF，若∠FCB=30°，求证：AD=2BE；

(3)如图3，在等边△DEF中，EF=2，点

A，点

C