河南省濮阳市2024届高三下学期数学模拟试题（四）（解析版）

2024年高考数学模拟试题（四）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.用按比例分配的分层随机抽样方法，从某学校的600名男生和800名女生中选取14人参与某项研学活动，则女生比男生多选取（）A.8人 B.6人 C.4人 D.2人【答案】D【解析】【分析】确定抽样比计算出男生和女生的人数即可得出结论.【详解】依题意可知，分层抽样比为，因此可得选取的男生为6人，女生为8人，所以女生比男生多选取2人.故选：D2.已知，，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量模长公式结合同角三角关系可得，即可得结果.【详解】由题意可得：，若，则，可得，则，且，所以.故选：C.3.PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将PA,PB【详解】如图所示，把PA,PB,PC放在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，所以，设平面的法向量，则，令，则，所以n=(1,1,-1)，所以．设直线与平面所成角为，所以，所以．故选：C．4.已知函数，满足，则实数的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】将的值依次代入解析式，解出的值即可求解.【详解】，即，则.故选：.5.在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.【详解】由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径，设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为，若圆与圆外切，则，，可得；若圆与圆内切，则，，可得；综上所述：，可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则，所以动点P的轨迹方程为.故选：B.6.已知是递增的等比数列，且，等差数列满足，，．设m为正整数，且对任意的，，则m的最小值为（）A.8 B.7 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出，设，利用错位相减求出可得答案.【详解】设等比数列an的公比为，由得，①因为bn是等差数列，所以，即，可得，②由①②解得，或，因为an是递增的等比数列，所以，即，设数列bn的公差为，由，，得，，解得，，所以，设，则，两式相减可得，所以，因为，所以，若，则，可得，所以最小值为4.故选：D.7.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将原不等式转化为恒成立，先判断得出恒成立，结合不等式的基本性质可得恒成立，进而求解即可.【详解】，即，因为，所以，即恒成立，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以，若时，不等式恒成立，则恒成立，若时，，恒成立，则也成立，所以当时，恒成立，所以得，即，设当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，即正实数的最小值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：运用同构的基本思想将原不等式转化为恒成立，再运用不等式的性质，先得出恒成立，再运用导数讨论恒成立进而求出结果.8.已知函数在区间上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：①在区间0,π上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】令，，则,，结合条件可得有4个整数符合题意，可求出的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.【详解】由函数，令，可得，，因为在区间上有且仅有4个极值点，即可得有且仅有4个整数符合题意，解得，即，可得，即，解得，即③正确；对于①，当时，，即可得，显然当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；即①错误；对于②，的最小正周期为，易知，所以的最小正周期可能是，即②正确；对于④，当时，；由可知，由三角函数图象性质可知在区间上单调递增，即④正确；即可得②③④正确.故选：C【点睛】方法点睛：求解三角函数中的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，特别注意端点处的取值能否取到等号即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知方程，则下列说法正确的是（）A.若方程有一根为0，则且B.方程可能有两个实数根C.时，方程可能有纯虚数根D.若方程存在实数根，则或【答案】ACD【解析】【分析】将方程进行等价变形为，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当且b=-4时，有纯虚根判断C.【详解】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确；B选项：方程可变形为：，即，则，只有一解，故B错误；C选项：当且b=-4时，方程为，是该方程的一个纯虚根，故C正确；D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确故选：ACD10.已知为双曲线上一点，为其左右焦点，则（）A.若，则的面积为B.若，则的周长为C.双曲线上存在一点，使得成等差数列D.有最大值【答案】BD【解析】【分析】根据题意根据双曲线定义及余弦定理，可对A、B判断求解；根据等差数列性质及双曲线定义可对C判断求解；根据双曲线定义及二次函数求最值可对D判断求解.【详解】由题意得，，，不妨设且在双曲线的右支，如图.对A、B：由双曲线定义可得，设，在中由余弦定理得：，当时，可得，解得，故A错误；当时，，解得，所以的周长为，故B正确；对于C：假设存在点，不妨设在双曲线的右支，则，所以公差，且，当三点不共线时，设则，即，又因为，所以，又因为三点不共线，所以，故此种情况不符合；当三点共线时，则，故此种情况不符合；综上所述，则假设不成立，故不存在点，故C错误.对D：，令，则，因为，所以，所以，所以的最大值为，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：对C项利用双曲线定义及几何关系得到不成立，D项中利用二次函数法求出最值.11.函数，，，则下列说法正确的有（）A.函数有且仅有一个零点B.设方程的所有根的乘积为，则C.当时，设方程的所有根的乘积为，则D.当时，设方程的最大根为xM，方程的最小根为，则【答案】BCD【解析】【分析】A选项，求出恒过定点，当时，无交点；B选项，画出，的图象，由图象可得，且，即，故；C选项，当时，，求出，，故，C正确；D选项，由题意得，，结合反函数的性质得到答案.【详解】A选项，令，则，其中恒过定点，当时，，画出，的图象，如下：可以看出两函数无交点，没有零点，A错误；B选项，画出，的图象，可以看出两函数有2个交点，设交点横坐标分别为，，其中，，由图象可得，且，故，即，故，则，B正确；C选项，当时，，方程，即，时，，时，，故，C正确；D选项，当时，，画出的图象，可以看出，再画出的图象，的最小根为，则，由于与互为反函数，关于对称，而也关于对称，故与相加得，，解得，D正确.故选：BCD【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、本题共3小题，每小题5分，共15分．12.对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有______种（用数字作答）．【答案】420【解析】【分析】依题意按照分类分步计数原理直接计算可得结果.【详解】根据题意可知，需分五步进行着色，在四棱锥中，如下图所示：按照的顺序进行着色，则点有5种颜色可选，点有4种颜色可选；点有3种颜色可选，若点颜色与点相同，则点有3种颜色可选；若点颜色与点不同，则点有2种颜色可选，此时点有2种颜色可选；所以共有种.故答案为：42013.设实数x，y，z满足，则的最大值是______．【答案】##0.75【解析】【分析】根据给定条件，消去并变形，借助二次函数最值求解即得.【详解】实数x，y，z满足，则，于是，当且仅当且时取等号，所以当时，.故答案为：14.过焦点为F的抛物线上一点A作其准线的垂线，垂足为B，直线BF与抛物线相交于C、D两点，当时，三角形ABF的面积为___________．【答案】18【解析】【分析】根据题意，过点做垂直准线于点，过点做垂直准线于点，由条件可得，即可得到点坐标，从而得到直线方程以及点坐标，再由抛物线方程，代入计算，结合三角形面积公式，即可得到结果.【详解】过点做垂直准线于点，过点做垂直准线于点，设准线与轴交于点，做出图像如图所示，由抛物线的定义可得，，，因为，则点为中点，为的中位线，即，所以，由可得，，且抛物线，则，则，则点的横坐标为，将代入抛物线方程，可得，即，又F1,0，则直线的斜率为，由点斜式可得直线方程为，联立，解得，即，则点的纵坐标为，代入抛物线方程可得其横坐标为，则，所以.故答案为：18四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某老师在课余时间为缓解同学们的学习疲劳，组织了两组摸球游戏，事先准备好两个袋子，红、白、黑三种颜色但质地均匀且大小相同的球若干个.（1）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率；（2）另一个袋子中装有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出后把球放回，并再装入与摸出球同色的球3个，共摸2次．求摸出的两个球都是红球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件概率结合全概率公式，即可求解.（2）设事件“第i次摸到红球”为，结合独立事件的概率乘法公式即可求解【小问1详解】记事件“第i次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为，于是由全概率公式，得．【小问2详解】记事件“第i次摸到红球”为，则，，因此16.已知实数，函数．（1）若存在零点，求实数a的取值范围；（2）当函数和有相同的最小值时，求a．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的单调性再根据存在零点列出不等式求解；（2）分别求出函数的最小值，再列出方程化简构造新函数，根据函数单调性求值.【小问1详解】因为，所以．由，得，，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，且，，若存在零点，则只需要即可，所以，故实数的取值范围是．【小问2详解】由（1）知，，且．函数的定义域为0,+∞，，当0<x<1a时，，故在上为减函数当x>1a时，，故在上为增函数，故．因为和有相同最小值，所以，整理得到，其中，设，，则故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为．综上，．17.如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点.（1）求证：平面PDC；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面PDC的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，1【解析】【分析】（1）取中点，连，证明为平行四边形，得线线平行，进而证明线面平行；（2）由长度计算利用勾股定理证明垂直关系，建立空间直角坐标系，假设存在点，设，利用法向量方法得两平面夹角的余弦值建立方程求得，则得的值.【小问1详解】取中点，连，由为的中点，则，又，则，又，所以四边形为平行四边形，则，平面PDC，平面PDC，则平面PDC.【小问2详解】取中点，连，由且，则四边形是平行四边形，故，又，则，所以，由，则，在中，，由余弦定理得，则，而，所以，则，即，又，所以平面，在平面内作.以为轴正向建立空间直角坐标系，则，所以，假设存点满足题意，设，则可得，设平面的法向量，则，令，则；设平面PDC的法向量，则，令，则；所以，解得，所以假设成立，即存在，且时，使得平面与平面PDC的夹角的余弦值为.18.已知椭圆，点P是椭圆C上顶点，点A，B是椭圆C上的另外两个点．（1）若点，分别是椭圆C的左、右焦点，，，，焦点在AB上，求椭圆C的离心率；（2）若，，其中，若，证明：满足条件的有且只有一个充要条件是椭圆C的离心率的取值范围为．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合椭圆定义结合已知条件计算离心率；（2）分类讨论结合三角函数运算，再根据角的范围得出满足条件的角的唯一性,进而求出离心率范围.【小问1详解】在中，因为，，，所以由余弦定理，得．由椭圆的定义知解得．于是，由椭圆的定义知．在中，由余弦定理，可知所以．所以椭圆的离心率．【小问2详解】（ⅰ）若，则易知直线PA和PB的斜率均存在，不妨设直线PA的倾斜角为，直线PB的倾斜角为，且，则．因为直线PA过椭圆的上顶点，所以可设直线PA的方程为，设，由，得则．又，所以，其中．同理，．因为，所以，整理，得，所以，或．又，，所以由，得，由，得．于是，有且只有一个的充要条件是关于的方程要么只有一个解，要么无解．若方程只有一个解，则，即．设椭圆离心率为，得若方程无解，则，或（舍去），整理，得．（ⅱ）若，则在直线PA和PB中，有一条的斜率可以不存在，不妨设直线