2014年高考立体几何(解析版)

2021年高考真题立体几何汇编解析版16．〔2021江苏〕(本小题总分值14分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点．．〔1〕求证：直线PA∥平面DEF；〔2〕平面BDE⊥平面ABC．【答案】本小题主要考察直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力.总分值14分.〔1〕∵为中点∴DE∥PA∵平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF〔2〕∵为中点∴∵为中点∴∴∴，∴DE⊥EF∵，∴∵∴DE⊥平面ABC∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．17.〔2021山东〕〔本小题总分值12分〕如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是线段的中点.〔=1\*ROMANI〕求证：；〔=2\*ROMANII〕假设垂直于平面且，求平面和平面所成的角〔锐角〕的余弦值.解：〔Ⅰ〕连接为四棱柱，又为的中点，,,为平行四边形又〔Ⅱ〕方法一：作,连接那么即为所求二面角在中，在中，,方法二：作于点以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，设平面的法向量为显然平面的法向量为显然二面角为锐角，所以平面和平面所成角的余弦值为18．三棱锥及其侧视图、俯视图如下图。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。〔1〕证明：为线段的中点；〔2〕求二面角的余弦值。解：〔1〕由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：平面平面，设为的中点，连接，于是，所以平面因为，分别为线段，的中点，所以，又，故假设不是线段的中点，那么直线与直线是平面内相交直线从而平面，这与矛盾所以为线段的中点〔2〕以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，那么，，，于是，，设平面和平面的法向量分别为和由，设，那么由，设，那么所以二面角的余弦值17.〔本小题总分值12分〕在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.求证：；假设为中点，求直线与平面所成角的正弦值.〔17〕〔2021天津〕〔本小题总分值13分〕如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.〔Ⅰ〕证明；〔Ⅱ〕求直线与平面所成角的正弦值；〔Ⅲ〕假设为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.〔17〕本小题主要考察空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等根底知识.考察用空间向量解决立体几何问题的方法.考察空间想象能力、运算能力和推理论证能力.总分值13分.依题意，以点为原点建立空间直角坐标系〔如图〕，可得，，，.由为棱的中点，得.〔Ⅰ〕证明：向量，，故.所以，.〔Ⅱ〕解：向量，.设为平面的法向量，那么即不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.〔Ⅲ〕解：向量，，，.由点在棱上，设，.故.由，得，因此，，解得.即.设为平面的法向量，那么即不妨令，可得为平面的一个法向量.取平面的法向量，那么.易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.19．〔2021湖南〕〔本小题总分值12分〕如图6，四棱柱的所有棱长都相等，四边形均为矩形．证明：假设的余弦值．19、〔本小题总分值12份〕解：〔I〕如图〔a〕，因为四边形为矩形，所以.同理。因为∥，所以。而，因此底面ABCD。由题设知，∥。故底面ABCD。〔Ⅱ〕解法I如图〔a〕，过作于H，连接.由〔I〕知，底面ABCD，所以底面，于是.又因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此，从而，所以，于是，进而。故是二面角的平面角。不妨设AB=2。因为，所以，。在中，易知。而，于是。故。即二面角的余弦值为。解法2因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此。又底面ABCD，从而OB，OC,两两垂直。如图〔b〕，以O为坐标原点，OB,OC,，所以，于是相关各点的坐标为：O(0，0，0)，，.易知，是平面的一个法向量。设是平面的一个法向量，那么即取，那么，所以。设二面角的大小为，易知是锐角，于是。故二面角的余弦值为18．〔2021广东〕〔本小题总分值13分〕如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.〔1〕证明：ABCDABCDEFP18.〔１〕平面，，又，，平面，，又，平面，即；〔２〕设，那么中，，又，ABCDEFABCDEFPxyz，，，又，，，同理，如下图，以D为原点，建立空间直角坐标系，那么，，，，，设是平面的法向量，那么，又，所以，令，得，，由〔１〕知平面的一个法向量，设二面角的平面角为，可知为锐角，，即所求．20．〔2021安徽〕(此题总分值13分)如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为。〔Ⅰ〕证明：为的中点；〔Ⅱ〕求此四棱柱被平面所分成上下两局部的体积之比；〔Ⅲ〕假设，，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小。20．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕证：∵∴从而平面与这两个平面的交线相互平行，即故与的对应边相互平行，于是∴，即为的中点。〔Ⅱ〕解：如图，连接QA，QD。设，梯形ABCD的高为，四棱柱被平面所分成上下两局部的体积分别为和，，那么。，图1∴图1又，∴故〔Ⅲ〕解法1：如图1，在中，作，垂足为E，连接又，且∴，∴∴为平面和平面ABCD所成二面角的平面角。∵，，∴又∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，∴，于是，,故平面和底面ABCD所成二面角的大小为。解法2：如图2，以D为原点，，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系。设因为，所以，从而，设平面的法向量为由得所以又平面ABCD的法向量所以故平面和底面ABCD所成二面角的大小为。17.〔2021北京〕〔本小题14分〕如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.〔1〕求证：；〔2〕假设底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.〔17〕〔共14分〕解：〔I〕在正方形中，因为B是AM的中点，所以∥。又因为平面PDE，所以∥平面PDE，因为平面ABF，且平面平面，所以∥。〔Ⅱ〕因为底面ABCDE,所以，.如图建立空间直角坐标系，那么，,,,, .设平面ABF的法向量为，那么即令，那么。所以，设直线BC与平面ABF所成角为a,那么。设点H的坐标为。因为点H在棱PC上，所以可设，即。所以。因为是平面ABF的法向量，所以，即。解得，所以点H的坐标为。所以19、〔2021上海〕〔此题总分值12分〕底面边长为2的正三棱锥,其外表展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.19.解：∵由题得，三棱锥是正三棱锥∴侧棱与底边所成角一样且底面是边长为2的正三角形∴由题得，，又∵三点恰好在构成的的三条边上∴∴∴，三棱锥是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于∴为中点，为的重心，底面∴，，19〔2021湖北〕(本小题总分值12分)如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.当时，证明：直线平面;是否存在，使平面与面所成的二面角？假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由.19〔2021江西〕(本小题总分值12分)如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：假设问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.19.〔2021辽宁〕〔本小题总分值12分〕如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.〔1〕求证：；〔2〕求二面角的正弦值.〔2021陕西〕〔本小题总分值12分〕四面体及其三视图如下图，过被的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.〔=1\*ROMANI〕证明：四边