24.3　正多边形和圆

第页24.3正多边形和圆

教学目标

【知识与技能】1.了解正多边形的定义;2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,并能应用它们进行有关的计算;3.会应用正多边形和圆的有关关系画正多边形.【过程与方法】学习借助圆来研究正多边形这一数学方法,通过转化,用解直角三角形来研究圆内接正多边形,培养学生探索、推理、归纳、迁移等能力.【情感、态度与价值观】学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体现了事物之间的相互联系与相互作用.

教学重难点

【教学重点】探索正多边形和圆的关系,弄清正多边形半径、中心角、边心距和边长之间的关系.【教学难点】利用圆研究正多边形,化正多边形问题为解直角三角形问题.

教学过程

一、情境导入我国国旗上的五角星及正六边形、正三角形等许多图形都可以利用圆的有关知识画出来,早在古代,就有人用直尺和圆规作出正三角形、正方形及正五边形了,可是利用尺规却无法作出正七边形或正十一边形,许多先人的尝试都以失败告终,这种局面持续了2019多年.1796年,年仅19岁的数学家高斯解决了这个问题,成为轰动数学界的伟大成就.目前,对于正多边形的研究,我们经常借助圆来讨论,那么它们之间有怎样的联系呢?二、合作探究探究点1正多边形的有关概念及性质典例1已知正六边形的半径为R,求正六边形的边长、边心距和面积.[解析]如图,边长a6=AB,半径OA=R,作OM⊥AB于M,设边心距OM=r,在RtAOM中,∵正六边形的中心角为60°,∴∠AOM=30°,∴OA=2AM,而AB=2AM,∴AB=OA=R.r=R2-∴S=6S△AOB=6×12×AB×OM=332有关正多边形的计算,都要作出它的半径和边心距为辅助线,从而将问题转化为解直角三角形的问题.变式训练半径为2的圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距之比为.

[答案]1∶2探究点2画正多边形典例2(1)画一个半径为2cm的圆的内接正七边形;(2)画一个半径为3cm的圆的内接正十二边形.[解析](1)作法:在半径为2cm的☉O中,用量角器画α=360°7≈51°,这个角所对的弧就是圆的1(2)作法:在半径为3cm的☉O上,以半径的长在圆上依次截取弦长等于半径的弧,再作各弧的相应弦的垂直平分线,各平分线与圆相交,这些点和前面的6等分圆的点就把圆12等分,依次连接各等分点,就得到半径为3cm的圆接正十二边形(如图2).(1)不管用什么方法画正多边形,关键是将圆进行等分.用量角器等分时,其画法的根据是:正n边形的圆心角都等于360°(2)用量角器等分圆周是一种简单而常用的方法,它适用于画任意正多边形,但作的是近似图形;尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法,但有很大的局限性,不能将圆任意等分,它只适应于作某些特殊的正多边形.如正三边形、六边形、十二边形、二十四边形、…、正四边形、正八边形、正十六边形等.变式训练如图,已知半径为R的☉O,用多种工具多种作法作出它的圆内接正三角形.[解析]方法一:(1)用量角器画圆心角∠AOB=120°,∠BOC=120°;(2)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图1所示.方法二:(1)用量角器画圆心角∠BOC=120°;(2)在☉O上用圆规截取AC=(3)连接AC,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图2所示.方法三:(1)作直径AD;(2)以D为圆心,以OA为半径画弧,交☉O于B,C;(3)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图3所示.三、板书设计正多边形与圆1.正多边形计算有关正多边形的计算,都要作出它的半径和边心距为辅助线,从而将问题转化为解直角三角形的问题.2.画正多边形方法:(1)用量角器——平分圆心角(可作任一正多边形);(2)尺规——作特殊的正多边形(正三、四、六、八、十二、二十四边形等