新高考数学一轮复习讲义 第46讲 直线与抛物线（原卷版）

第46讲直线与抛物线（精讲）题型目录一览①直线与抛物线的位置关系②抛物线中的弦长问题③抛物线中的中点弦问题一、知识点梳理一、知识点梳理1.直线与抛物线的位置关系设直线SKIPIF1<0，抛物线:SKIPIF1<0，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程SKIPIF1<0①若k≠0，当SKIPIF1<0>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当SKIPIF1<0=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当SKIPIF1<0<0时，直线与抛物线相离，无交点.②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.

因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.2.抛物线的弦长当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与抛物线C相交于SKIPIF1<0两个不同的点，则弦长SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3.抛物线的中点弦设交点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入抛物线两式相减，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0设线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理，对于抛物线SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<04.抛物线的切线过抛物线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0的切线方程是SKIPIF1<0.

过抛物线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0的切线方程是SKIPIF1<0.

【常用结论】直线AB过抛物线SKIPIF1<0的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)（2）弦长AB＝eq\f(2p,sin2α)（3）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥SKIPIF1<0＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.（4）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).（5）以AB为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一直线与抛物线的位置关系策略方法研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．【典例1】（单选题）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，抛物线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴正半轴上一点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．）过抛物线SKIPIF1<0的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与QF的长分别是p、q，则SKIPIF1<0为定值（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延长线交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为线段FN的中点，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．64．已知抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点为F，点P是抛物线准线上一动点，作线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为（）A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{1,2}5．）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别于抛物线交于点C，D．设直线AB，CD的斜率分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．26．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，若抛物线SKIPIF1<0的准线与圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<07．）抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0的准线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方），则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．SKIPIF1<08．已知直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0轴异侧两点SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0向SKIPIF1<0作垂线，垂足为SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，半径为3的圆上，则SKIPIF1<0（

）A．48 B．24 C．12 D．369．已知O为坐标原点，点SKIPIF1<0是抛物SKIPIF1<0的准线上一点，过点E的直线l与抛物线C交于A，B两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的准线为直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方），与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，SKIPIF1<0，M为抛物线C上位于第一象限的一点，且点M的横坐标小于2，则SKIPIF1<0的面积（

）A．有最大值SKIPIF1<0 B．有最小值SKIPIF1<0C．有最大值1 D．有最小值112．已知抛物线C：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦点为F，SKIPIF1<0为C上一动点，曲线C在点M处的切线交y轴于N点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．已知抛物线SKIPIF1<0的准线为SKIPIF1<0，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点P在l上的射影为SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．过点SKIPIF1<0与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条14．）已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0斜率为1的直线交抛物线于M，N两点，且SKIPIF1<0，若Q是抛物线上任意一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．115．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线SKIPIF1<0，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题16．已知点SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（

）A．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的面积最小值为2C．当SKIPIF1<0取到最大值时，直线AP与C相切D．当SKIPIF1<0取到最大值时，SKIPIF1<017．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0是抛物线上的两点，SKIPIF1<0为坐标原点，则（

）A．抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点到SKIPIF1<0轴距离的最小值为3D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<018．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的准线与SKIPIF1<0轴的交点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．存在一点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，使得SKIPIF1<0C．存在这样的直线SKIPIF1<0使SKIPIF1<0成立 D．SKIPIF1<019．已知抛物线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交抛物线于SKIPIF1<0两点，分别过SKIPIF1<0两点作抛物线的切线，两条切线相交于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为弦SKIPIF1<0的中点，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0轴B．若直线SKIPIF1<0过抛物线的焦点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0一定在抛物线的准线上C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0三、填空题20．已知A，B为抛物线SKIPIF1<0上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，过点A，B的直线斜率为SKIPIF1<0，若点P的横坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.21．已知抛物线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0的平分线过点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为．22．已知SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，过直线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的取值范围为．23．已知过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，过点SKIPIF1<0作抛物线的切线SKIPIF1<0，切点是SKIPIF1<0（在SKIPIF1<0轴的上方），直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的倾斜角分别是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为．24．若SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0在第二象限内一点，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，抛物线在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），则SKIPIF1<0的面积为.25．已知SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点．若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0．26．已知抛物线SKIPIF1<0是抛物线上的点，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0且与抛物线交于点SKIPIF1<0（异于点SKIPIF1<0），抛物线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0面积的最小值是.27．已知抛物线C：SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交C于A，B两点，C在A，B两点处的切线交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若点M到直线AB的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．四、解答题28．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，圆SKIPIF1<0，过C上一点SKIPIF1<0作C的切线，该切线经过点SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)若与C相切的直线l，与E相交于P，Q两点，求SKIPIF1<0面积的最大值．29．）设抛物线方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0分别与抛物线相切于SKIPIF1<0两点，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴下方，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方.(1)当点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0；(2)点SKIPIF1<0在抛物线上，且在SKIPIF1<0轴下方，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0的重心在SKIPIF1<0轴上，求SKIPIF1<0的最大值.（注：SKIPIF1<0表示三角形的面积）30．设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0是坐标原点，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与抛物线交于SKIPIF1<0两点，延长SKIPIF1<0分别交抛物线于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点.(1)求直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围；(2)求SKIPIF1<0的最小值.31．已知拋物线SKIPIF1<0，过其焦点SKIPIF1<0作两条相互垂直且不平行于SKIPIF1<0轴的直线，分别交抛物线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0.(1)若直线SKIPIF1<0的斜率为2，求直线SKIPIF1<0的方程；(2)求线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程.32．）过点SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线l与抛物线SKIPIF1<0相切于点N，且SKIPIF1<0.(1)求抛物线C的方程；(2)斜率为SKIPIF1<0的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线SKIPIF1<0，使得点Q关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0恒与P，N共线，若存在，求出SKIPIF1<0的方程，若不存在，说明理由.33．已知SKIPIF1<0,曲线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的曲线SKIPIF1<0的所有弦中，最小弦长为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)过点M的直线与曲线C1交于A、B两点，曲线C1在A、B两点处的两条切线交于点P，求点P的轨迹C2；(3)在（2）的条件下，N是平面内的动点，动点Q是C2上与N距离最近的点，满足SKIPIF1<0的动点N的轨迹为C3；并判断是否存在过M的直线l，使得l与C1、l与C3的四个交点的横坐标成等差数列，说明理由.34．如图，矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，以某动直线SKIPIF1<0为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点SKIPIF1<0都落在SKIPIF1<0上，记为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的轨迹是曲线SKIPIF1<0.

(1)建立恰当的直角坐标系，求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.35．已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）上的一点SKIPIF1<0到准线的距离为1．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)若正方形SKIPIF1<0的三个顶点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，求这种正方形面积的最小值．36．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是抛物线上一点，且SKIPIF1<0.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l：SKIPIF1<0，点B是l与y轴的交点，过点ASKIPIF1<0作与l平行的直线SKIPIF1<0，过点A的动直线SKIPIF1<0与抛物线C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线SKIPIF1<0于点M，N，证明：SKIPIF1<0．37．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的准线的距离之和为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点到SKIPIF1<0轴的距离是4.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)当SKIPIF1<0时，设抛物线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线交于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.题型二抛物线中的弦长问题策略方法有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．【典例1】（单选题）已知点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，过点SKIPIF1<0的直线交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则抛物线SKIPIF1<0的准线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，过点SKIPIF1<0的直线交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线SKIPIF1<0与坐标轴交于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0及准线SKIPIF1<0依次相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间），若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与SKIPIF1<0及抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．6 C．8 D．105．已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上任意一点，且点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0距离的最小值为SKIPIF1<0．若直线过SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0中点的横坐标为（

）A．2 B．3 C．4 D．66．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的一个焦点重合，过焦点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两不同点，抛物线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点处的切线相交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的横坐标为4，则弦长SKIPIF1<0（

）A．16 B．26 C．14 D．247．过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方）两点，交SKIPIF1<0的准线于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上的一点，若以抛物线的焦点SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0为半径的圆交抛物线的准线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0等于（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<09．设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0.斜率为SKIPIF1<0的直线经过焦点SKIPIF1<0，交抛物线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交准线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的两侧）.若SKIPIF1<0，则抛物线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知过抛物线C：SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．411．已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若SKIPIF1<0，则点E到y轴的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与抛物线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，过点SKIPIF1<0作抛物线准线的垂线，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的角平分线与抛物线的准线交于点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、多选题13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0与抛物线C相交所得弦长为SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0与抛物线C交于M，N两点，则SKIPIF1<0C．过点SKIPIF1<0恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点D．抛物线C上的点到直线SKIPIF1<0的最短距离为SKIPIF1<014．设抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，准线l与x轴的交点为D，A，B两点在C上，直线SKIPIF1<0依次经过点A，B，D，直线AF与C的另一个交点为E，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．已知抛物线SKIPIF1<0的顶点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0，焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0交抛物线于SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的左边），则（

）A．SKIPIF1<0B．若直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．线段SKIPIF1<0的最小值为2D．若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<016．已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是抛物线上两点，下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0的最小值为2B．若SKIPIF1<0，则线段MN的中点P到x轴的距离为6C．若直线MN过点F，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为8三、填空题17．根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线SKIPIF1<0，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则SKIPIF1<0.18．过原点的一条直线与圆SKIPIF1<0相切，交曲线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为．19．已知抛物线SKIPIF1<0，过原点SKIPIF1<0且斜率为1的直线与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的焦点．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为．20．过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，从点SKIPIF1<0分别向准线SKIPIF1<0作垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则弦SKIPIF1<0的长为.21．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则SKIPIF1<0的最小值是.22．已知抛物线SKIPIF1<0，焦点为SKIPIF1<0，准线与x轴的交点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0点的直线与抛物线交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.23．已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的准线为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，分别过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足依次为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0.24．已知抛物线SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与y轴相切，直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点（A，B两点在x轴的同一侧），若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则弦长SKIPIF1<0的取值范围为．四、解答题25．已知抛物线SKIPIF1<0的准线方程是SKIPIF1<0.(1)求抛物线的方程；(2)设直线SKIPIF1<0与抛物线相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，求实数k的值.26．已知SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上一点．(1)求抛物线SKIPIF1<0的准线方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的倾斜角互补，求SKIPIF1<0的值．27．已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)设抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0垂直的直线与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积.28．已知直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最小值．29．过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0在第一象限），当直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．(1)求抛物线的方程；(2)已知SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0面积最小时，求点SKIPIF1<0的横坐标．30．已知点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，记SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆与抛物线SKIPIF1<0的准线相切．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)记抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求弦SKIPIF1<0的长．31．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.32．）点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点，SKIPIF1<0为坐标原点，过点SKIPIF1<0作垂直于SKIPIF1<0轴的直线SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的准线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点的两个不同的点，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线．33．设抛物线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与C交于A，B两点，且SKIPIF1<0.(1)求p；(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最小值.34．已知抛物线E：SKIPIF1<0的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，SKIPIF1<0．(1)求抛物线E的方程；(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．35．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0的标准方程；(2)设线段SKIPIF1<0的中垂线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0两点处的切线相交于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0两点到直线SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.36．已知拋物线SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0．(1)若抛物线SKIPIF1<0的准线与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是过SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0的弦，求SKIPIF1<0的最小值；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是拋物线SKIPIF1<0上互异的三个点，且SKIPIF1<0点异于原点．若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的弦长都为2，且SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的坐标．题型三抛物线中的中点弦问题策略方法设交点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入抛物线两式相减，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0设线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理，对于抛物线SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0【典例1】（单选题）直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．3【题型训练】一、单选题1．已知抛物线C：SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线l与抛物线C交于A，B两点，若SKIPIF1<0，则直线l的斜率是（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知直线l交抛物线SKIPIF1<0于M，N两点，且MN的中点为SKIPIF1<0，则直线l的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<03．如图，已知抛物线E：SKIPIF1<0的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，SKIPIF1<0轴于点N.若四边形SKIPIF1<0的面积等于8，则E的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知抛物线SKIPIF1<0，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0的面积等于3，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1