新高考数学一轮复习讲义 第39讲 圆的方程、直线与圆的位置关系（原卷版）

第39讲圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）题型目录一览①圆的方程②点与圆的位置关系③与圆有关的轨迹问题④直线与圆相交⑤直线与圆相切、相离一、知识点梳理一、知识点梳理一、圆的基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．二、圆的基本性质、定理与公式1．圆的四种方程（1）圆的标准方程：SKIPIF1<0，圆心坐标为（a，b），半径为SKIPIF1<0（2）圆的一般方程：SKIPIF1<0，圆心坐标为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0（3）圆的直径式方程：若SKIPIF1<0，则以线段AB为直径的圆的方程是SKIPIF1<0（4）圆的参数方程：①SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）；②SKIPIF1<0的参数方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数，SKIPIF1<0为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．2．点与圆的位置关系判断（1）点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系：①SKIPIF1<0点P在圆外；②SKIPIF1<0点P在圆上；③SKIPIF1<0点P在圆内．（2）点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系：①SKIPIF1<0点P在圆外；②SKIPIF1<0点P在圆上；③SKIPIF1<0点P在圆内．三、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交四、直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离，则SKIPIF1<0：SKIPIF1<0直线与圆相交，交于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0直线与圆相切；SKIPIF1<0直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由SKIPIF1<0，消元得到一元二次方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0判别式为SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0直线与圆相交；SKIPIF1<0直线与圆相切；SKIPIF1<0直线与圆相离．【常用结论】关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0．（2）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0（3）过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的圆的切线方程为SKIPIF1<0（4）求过圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0的圆的切线方程时，应注意理解①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为SKIPIF1<0，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于SKIPIF1<0的方程，求出SKIPIF1<0值．若求出的SKIPIF1<0值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的SKIPIF1<0值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一圆的方程策略方法求圆的方程的两种方法【典例1】已知圆SKIPIF1<0过三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的圆心和半径分别为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．若方程SKIPIF1<0表示圆，则SKIPIF1<0实数的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则圆心SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知直线SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的对称轴，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其外接圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．以点SKIPIF1<0为圆心，且与直线SKIPIF1<0相切的圆的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．圆C：SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的圆的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．关于x、y的方程SKIPIF1<0表示一个圆的充要条件是（

）.A．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<08．已知圆SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形SKIPIF1<0的面积为（

）．A．6 B．12 C．14 D．189．过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且圆心在直线SKIPIF1<0上的圆与SKIPIF1<0轴相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4二、填空题10．已知圆SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．11．已知圆SKIPIF1<0的半径为3，则SKIPIF1<0.12．请写出一个过点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0相切的圆的标准方程，为．13．在平面直角坐标系中，过SKIPIF1<0四点的圆的方程为.14．圆心与圆SKIPIF1<0的圆心重合，且过点SKIPIF1<0的圆的方程为．15．已知圆C：SKIPIF1<0，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．16．在平面直角坐标系中，经过直线SKIPIF1<0与两坐标轴的交点及点SKIPIF1<0的圆的方程为．题型二点与圆的位置关系策略方法判断集合关系的三种方法在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．【典例1】“m<1”是“点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【题型训练】一、单选题1．设圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点个数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上都有可能2．已知两直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点在圆SKIPIF1<0的内部，则实数k的取值范围是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0外一点，则直线SKIPIF1<0与该圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定4．已知圆SKIPIF1<0，直线l：SKIPIF1<0，若l与圆O相交，则（

）．A．点SKIPIF1<0在l上 B．点SKIPIF1<0在圆O上C．点SKIPIF1<0在圆O内 D．点SKIPIF1<0在圆O外5．已知点SKIPIF1<0在圆C：SKIPIF1<0的外部，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题6．若坐标原点在圆SKIPIF1<0的内部，则实数SKIPIF1<0的取值范围为.7．已知圆SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，并且点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则满足条件的点SKIPIF1<0的个数为.8．设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则SKIPIF1<0的最大值为.题型三与圆有关的轨迹问题策略方法求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．【典例1】已知直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于原点对称，若直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．已知A，B是SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上的两个动点，P是线段SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则点P的轨迹方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．在平面内，SKIPIF1<0是两个定点，SKIPIF1<0是动点，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线3．平面直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0为等腰三角形的点SKIPIF1<0个数为（

）A．0 B．2 C．3 D．44．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，过动点P分别作圆SKIPIF1<0、圆SKIPIF1<0的切线PA，PB（A，B为切点），使得SKIPIF1<0，则动点P的轨迹方程为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于原点对称，若直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知圆SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0，若平面内一个动点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离是它与点SKIPIF1<0距离的SKIPIF1<0倍，则SKIPIF1<0的面积的最大值为（

）A．64 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题8．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过动点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为切点），使得SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹方程为.9．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P满足SKIPIF1<0，则点P到点C距离的最大值为．10．已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点M满足SKIPIF1<0，则点M到直线SKIPIF1<0的距离可以是．（写出一个符合题意的整数值）11．已知O为坐标原点，M是抛物线SKIPIF1<0准线上的一点，点P在圆SKIPIF1<0上.若MP的中点在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的取值范围为.12．点P圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，O坐标原点，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的横坐标的取值范围为．13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0内一点，对圆O上任意一点P都有SKIPIF1<0为定值，则mn的值为．题型四直线与圆相交策略方法直线与圆的相交问题（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长SKIPIF1<0、弦心距SKIPIF1<0和半径SKIPIF1<0之间形成的数量关系SKIPIF1<0．（2）弦长问题=1\*GB3①利用垂径定理：半径SKIPIF1<0，圆心到直线的距离SKIPIF1<0，弦长SKIPIF1<0具有的关系SKIPIF1<0，这也是求弦长最常用的方法．=2\*GB3②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．=3\*GB3③利用弦长公式：设直线SKIPIF1<0，与圆的两交点SKIPIF1<0，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：SKIPIF1<0．【典例1】直线l：SKIPIF1<0截圆SKIPIF1<0所得的弦长等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定2．直线SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0的位置关系为（

）A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定3．已知圆C:x2+y2=1，直线SKIPIF1<0：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（

）A．（-3，1） B．（-SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0） C．（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0） D．（-SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）4．若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有两个交点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若圆SKIPIF1<0与y轴交于A，B两点，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所截得的弦长为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．37．过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且圆心在直线SKIPIF1<0上的圆与SKIPIF1<0轴相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．48．过点SKIPIF1<0作圆C：SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为A，B，则直线SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．圆SKIPIF1<0被过点SKIPIF1<0的直线截得的最短弦长为（

）A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．511．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知圆SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．若直线SKIPIF1<0把圆SKIPIF1<0分成长度为1：2的两段圆弧，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．若不等式SKIPIF1<0的解集为区间SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．215．设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，它们关于直线x＋my＋4＝0对称，且SKIPIF1<0，则直线PQ的方程为（

）A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1C．y＝x－1 D．y＝x＋1二、填空题16．若直线过点SKIPIF1<0且被圆SKIPIF1<0截得的弦长是6，则该直线的方程为.17．设直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，且弦SKIPIF1<0的长为2，则实数SKIPIF1<0的值是.18．已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于A、B两点．若SKIPIF1<0为直角三角形，则SKIPIF1<0的值为．19．已知圆SKIPIF1<0，直线l过点SKIPIF1<0，且交圆O于P，Q两点，使弦长SKIPIF1<0为整数的直线l共有条.20．已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于A，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0是圆上的一动点，则SKIPIF1<0面积的最大值是.21．过定点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0截圆C：SKIPIF1<0所得弦长小于3，则该直线斜率的取值范围为22．已知圆SKIPIF1<0，过点A（2，0）的直线l交圆C于M、N两点，且SKIPIF1<0，则直线l的方程是.题型五直线与圆相切、相离策略方法直线与圆相切、相离的问题（1）圆的切线方程的求法=1\*GB3①点SKIPIF1<0在圆上，法一：利用切线的斜率SKIPIF1<0与圆心和该点连线的斜率SKIPIF1<0的乘积等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．法二：圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于半径SKIPIF1<0．=2\*GB3②点SKIPIF1<0在圆外，则设切线方程：SKIPIF1<0，变成一般式：SKIPIF1<0，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出SKIPIF1<0．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程是SKIPIF1<0；过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程是SKIPIF1<0．过圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为SKIPIF1<0过曲线上SKIPIF1<0，做曲线的切线，只需把SKIPIF1<0替换为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0替换为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0替换为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0替换为SKIPIF1<0即可，因此可得到上面的结论．（3）关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．【典例1】已知直线SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的对称轴，过点SKIPIF1<0作圆C的一条切线，切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．7【典例2】已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相离，则实数m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．已知圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则圆C与直线l（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心2．已知SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0内一点，现有以SKIPIF1<0为中点的弦所在直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与圆相交 B．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与圆相离C．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与圆相离 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与圆相交3．已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或9 C．11或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，若l与⊙O相离，则（

）A．点SKIPIF1<0在l上 B．点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上C．点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内 D．点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外5．已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相离，则实数m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的切线，则切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若直线SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．59．已知点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的倾斜角为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知圆SKIPIF1<0，过直线SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线，切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知圆SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线上一点SKIPIF1<0在第一象限内，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．912．已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行时，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0