新高考数学一轮复习讲义 第26讲 复数（原卷版）

第26讲复数（精讲）题型目录一览①复数的有关概念②复数的四则运算③复数的模长④复数相等和共轭复数⑤复数的几何意义⑥复数的三角形式一、知识点梳理一、知识点梳理一、复数的概念=1\*GB3①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，SKIPIF1<0叫虚数单位，满足SKIPIF1<0（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．=2\*GB3②两个复数SKIPIF1<0相等SKIPIF1<0（两复数对应同一点）=3\*GB3③复数的模：复数SKIPIF1<0的模，其计算公式SKIPIF1<0二、复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，叫z的模；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的共轭复数SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数SKIPIF1<0对应平面内的点SKIPIF1<0；（2）复数SKIPIF1<0对应平面向量SKIPIF1<0；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数SKIPIF1<0的模SKIPIF1<0表示复平面内的点SKIPIF1<0到原点的距离．三、复数的三角形式（1）复数的三角表示式一般地，任何一个复数SKIPIF1<0都可以表示成SKIPIF1<0形式，其中SKIPIF1<0是复数SKIPIF1<0的模；SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0轴的非负半轴为始边，向量SKIPIF1<0所在射线（射线SKIPIF1<0）为终边的角，叫做复数SKIPIF1<0的辐角．SKIPIF1<0叫做复数SKIPIF1<0的三角表示式，简称三角形式．（2）辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差SKIPIF1<0的整数倍．规定在SKIPIF1<0范围内的辐角SKIPIF1<0的值为辐角的主值．通常记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．（3）三角形式下的两个复数相等两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．（4）复数三角形式的乘法运算①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即SKIPIF1<0．（5）复数三角形式的除法运算两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即SKIPIF1<0．【常用结论】①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．②SKIPIF1<0．二、题型分类精讲二、题型分类精讲题型一复数的有关概念策略方法解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b．(2)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝eq\x\to(z)；③z∈R⇔z2≥0．(3)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0．【典例1】（单选题）已知i为虚数单位，若复数SKIPIF1<0是纯虚数，则实数a等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【题型训练】一、单选题1．复数SKIPIF1<0的虚部为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．162．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的虚部是（

）A．2 B．2i C．1 D．i3．复数z满足SKIPIF1<0，则z的实部是（

）A．－1 B．1 C．－3 D．34．复数SKIPIF1<0，则复数SKIPIF1<0的实部和虚部分别是（

）A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i5．设复数SKIPIF1<0的实部与虚部互为相反数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．36．已知复数SKIPIF1<0是纯虚数，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．12 C．SKIPIF1<0 D．37．若复数SKIPIF1<0是纯虚数，则SKIPIF1<0（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1题型二复数的四则运算策略方法复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．【典例1】（单选题）若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．若复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是虚数单位），则z=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0为虚数单位，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．若复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．08．若复数SKIPIF1<0所对应的点在第四象限，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型三复数的模长策略方法SKIPIF1<0【典例1】（单选题）已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．5【题型训练】一、单选题1．已知复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．102．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．104．若复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．55．已知SKIPIF1<0为虚数单位，且复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．27．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为虚数单位），则复数SKIPIF1<0的虚部为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．10 C．SKIPIF1<0 D．210．设复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0为纯虚数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，虚数SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<012．复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2题型四复数相等和共轭复数策略方法解决与集合的新定义有关问题的一般思路(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在z，eq\x\to(z)，|z|中至少含有两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z．(3)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．【典例1】（单选题）已知SKIPIF1<0为虚数单位，复数SKIPIF1<0，其中a，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例2】（单选题）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．已知复数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的共轭复数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．102．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．23．已知复数z满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．24．已知复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．25．复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知i是虚数单位，设复数z的共轭复数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．若复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为虚数单位，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的虚部为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知i为虚数单位，若复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．112．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．已知复数SKIPIF1<0是复数SKIPIF1<0的共轭复数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．214．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的共轭复数的虚部为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<015．）已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），则复数SKIPIF1<0的虚部为（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．217．已知SKIPIF1<0（a，SKIPIF1<0，i为虚数单位），则复数SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．618．复数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位），则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型五复数的几何意义策略方法与复数几何意义相关的问题的一般解法【典例1】在复平面中，复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为虚数单位）对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【题型训练】一、单选题1．已知复数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为虚数单位，则复数SKIPIF1<0在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知复数z满足SKIPIF1<0，则复数z在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知复数z的共轭复数SKIPIF1<0，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知SKIPIF1<0，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知复数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是虚数单位），则SKIPIF1<0在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7．已知复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为虚数单位），则复数SKIPIF1<0在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．若复数SKIPIF1<0，则复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若复数SKIPIF1<0在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知复数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在复平面内对应的点关于实轴对称，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知SKIPIF1<0，则复数z在复平面上对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．）复数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0在复平面内对应的点为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．在复平面内，复数SKIPIF1<0对应的点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．已知SKIPIF1<0，其中a，b为实数，则在复平面内复数SKIPIF1<0对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型六复数的三角形式策略方法一般地，任何一个复数SKIPIF1<0都可以表示成SKIPIF1<0形式，其中SKIPIF1<0是复数SKIPIF1<0的模；SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0轴的非负半轴为始边，向量SKIPIF1<0所在射线（射线SKIPIF1<0）为终边的角，叫做复数SKIPIF1<0的辐角．SKIPIF1<0叫做复数SKIPIF1<0的三角表示式，简称三角形式．【典例1】（单选题）把复数SKIPIF1<0化三角形式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练】一、单选题1．欧拉公式SKIPIF1<0（e为自然对数的底数，SKIPIF1<0为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则SKIPIF1<0（

）A．-1 B．1 C．-SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．复数SKIPIF1<0的辐角主值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．欧拉是SKIPIF1<0世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为自然对数的底数，SKIPIF1<0为虚数单位)被称为“数学中的天桥”，将复数､指数函数､三角函数联系起来了.当SKIPIF1<0时，可得恒等式（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0