2021年高考数学二轮解答题标准练-70分

2021年高考数学二轮解答题标准练

（70分）

[70分]解答题标准练（一）......................2

[70分]解答题标准练（二）......................9

[70分]解答题标准练（三）.....................17

[70分]解答题标准练（四）....................22

[70分]解答题标准练(一)

1.(2019・广州模拟)已知｛”“｝是等差数列，且1g0=0,1g3=1.

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

(2)若可，ak,四是等比数列｛九｝的前3项，求k的值及数歹！|｛斯+d｝的前〃项和.

解(1)数列｛斯｝是等差数列，设公差为乩

且1g0=0,1g424=1.

41=1,

则,

,ai+3d=10,

解得d=3,

所以Un—1+3(”-1)=3”一2.

(2)若以，”6是等比数列｛与｝的前3项，

则ai=ava6,

根据等差数列的通项公式得到ak=3k-2,

代入上式解得&=2；a\,a2,恁是等比数列｛d｝的前3项，0=1,4/2=4,

所以等比数列｛儿｝的公比为g=4.

由等比数列的通项公式得到为=4"」.

则诙+瓦=3”-2+4"一|,

故S„=(l+l)+(4+4l)H-----F(3〃-2+4"r)

.(3〃-1)4"-1

=2+4-1

=%-%+/(4”-1).

2.(2019•湖南六校联考)如图，A8CD是边长为2的菱形，ZDAB=60°,ABCD,

F£)J_平面ABC。，EB=2FD=4.

(1)求证：EF±AC；

(2)求几何体EFABCD的体积.

⑴证明连接BO,

E

平面ABC。，EBJ_平面ABCD,

C.EB//FD,

:.E,F,D,B四点共面，

：.AC±EB.

设DBQAC=O,

为菱形，：.AC±DB.

又DBCEB=B,DB,EBU平面EFDB,

."CJ•平面EFDB,

；EFU平面EFDB,J.ACLEF.

(2)解,:EB〃FD,EB1.BD.

J.EFDB为直角梯形，

在菱形ABC。中，

N£)AB=60°,AB=2,BD=2,AO=CO=小,

...梯形EFDB的面积S=(2+；)X2=6,

：AC_L平面EFDB,

VEFAHCD=VC-EFDB+VA-EFDB

=；SXAO+gsxco=4小.

3.（2019•济宁模拟）已知椭圆C：，+/=36>0）的离心率为坐，且椭圆C过点仔，用.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点的直线/与椭圆C交于4B两点,且与圆：/+）2=2交于E,尸两点,

求HBHEFp的取值范围.

解（1）由已知可得5=坐，

3

-b2

所以足2

所以椭圆C的方程为尹・

将点修孝）代入方程得/=2,即〃=3,

所以椭圆C的标准方程为亨+、=1.

(2)由(1)知椭圆的右焦点为(1,0).

①若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x=l,

不妨设A0,平)，8(1,—乎)，£(1,1),尸(1,-D，

2

所以依8|=半，|EF『=4,\AB\-\EF\=^^;

②若直线/的斜率存在，设直线/的方程为

设4(为，yi),8(x2,”)，

=1,

联立直线/与椭圆方程得

可得Q+BSM—Gdx+BR—GnO,

mii6—3/16

则曾+M=肃2制及=天不

所以|AB|=y（l+F）（XLX2）2

=4（+耳（磊卜4><奔]

4小（M+1）

―2+3F'

固

因为圆心(0,0)到直线/的距离d=

、矛+1

所以|£/平=4(2-含，=茎*,

4小（储+1）4（必+2）

所以|48卜|印2=

2+3lc•F+1

16小（产+2）_16小公+2

2+3标=3Z+2

因为后G[0,+°°),

所以(穹叵，16/5],

综上，■硝班2的取值范围是1

4.下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额），（单位：万元），其中年份代码x

=年份一2013.

年份代码X1234

线下销售额y95165230310

⑴已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2019年该百货零售企

业的线下销售额；

⑵随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀

疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55

位男顾客、50位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中

对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能

否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持

的态度与性别有关？

参考公式及数据：

〃一一

Zr渺一〃xy

Ai-IAA

b—------------------,a=y—hx,

-HX2

i=\

1______n(ad—bc¥______

K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

尸（心》心）0.150.100.050.0250.0100.005

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.879

解(1)由题意得x=2.5,y=200,jE]X?=30,

4

渺=2355,

i-l

4_______

的n/A海W―4*2355-4X2.5X200

一"4/2=30—4X2.52

所以a=y-bx=200-71X2.5=22.5,

所以y关于x的线性回归方程为y=71x+22.5.

由于2019—2013=6,

所以当x=6时，y=71X6+22.5=448.5,

所以预测2019年该百货零售企业的线下销售额为448.5万元.

(2)由题意可得2X2列联表如下:

持乐观态度持不乐观态度总计

男顾客104555

女顾客203050

总计3075105

c105X(10X30-45X20)2

故群的观测值k=一<：乂<八乂2八乂71/=6.109,

由于6.109>5.024,所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的

线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.

5.己知函数/)=e*(sinx一加+2a—e),其中a£R,e=2.71828…为自然对数的底数.

(1)当〃=0时，讨论函数火x)的单调性；

⑵当时，，求证：对任意的工£[0,+°°)，A.v)<o.

⑴解当。=0时，Ax)=ev(sinx-e),

f(x)=ex(sinx+cosx-e)

=e1也sin(x+：)-e<0,

.\/U)在(-8,+8)上单调递减.

(2)证明要证e"(sinx—加+24—©)<0对任意的+8)恒成立，

即证sinX—ax2+2a—e<0对任意的x£[0,+8)恒成立，

令g(a)=(2—x2)〃+sinx-e,

即证当I，1时，

g(a)=(2—x2)4+sinx—e<0恒成立，

gGRsinx-l+l—e<0,①

即证彳⑵2成立.

、g(l)=sinx—f+2—e<0,②

Vsinx+l<e,

・••①式成立.

现证明②式成立：

令力(x)=sinx—d+2—e,hr(x)=cosx—2x,

设存在xo£[O,+8),

使得〃'（xo）=cosxo—2xo=O,

则O<xo<^,

在（0,沏）上单调递增，在[沏，+8）上单调递减，

/i（x）max=h（xo）=sin&—焉+2-e

.cos2xo,八

=sin沏--一十2一e

sin2A•（）.,2

41sinXo।e.

•O*^x（）<d，•♦sinxoG（°，2），

S'^~+sin^0+4-e<y^—e<0,即②式得证.

综上所述，当xG[0,+8）时，犬x）<0恒成立.

6.已知直线/经过点P（l,2）,倾斜角a=*圆C的极坐标方程为p=2吸cos（。一；）.

（1）写出直线/的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；

⑵若直线/与圆C相交于A,B两点,求线段AB的中点M到点P的距离.

（..兀

x=1+rcos

解（1）直线/的参数方程为《

[y=2+?si吟，

即j（f为参数，fCR）.

y^2+2

由2=2媳3（。一；），

得p=2cos9+2sin0,

：.f，=2pcose+2〃sin0,

.,.f+）2=2x+2y,

...圆C的直角坐标方程为（x—Ip+G—1）2=2.

整理得P+r-l=O,zf=5>0,

设A,8两点对应的参数分别为人，殳,

则力+介=-1,

7.已知函数应¥)=/一|x|+3.

⑴求不等式式x)23x的解集；

X

(2)若关于x的不等式,/U)—/W5+。恒成立，求实数。的取值范围.

解(1)当x20时，犬X)=X2-X+323X,

即x2—4x+3》0,

解得x23或xWI,所以x23或OWxWl；

当x<0时，段)=/+彳+323万，

此时不等式f-2x+320恒成立，所以x<0.

综上所述，原不等式的解集为{x|x》3或xWl}.

(2)/U)—fW恒成立，

即一|x|+3Wf+a恒成立，

Y

即g+a+823恒成立,

*/^+a+|x|=^+a+楙+楙

25+4—5+f=同+f冽〃1，

当且仅当x=O时，等号成立，

同》3,解得”23或aW—3.

故实数a的取值范围是(-8,-3]U[3,+8).

[70分]解答题标准练（二）

I.（2019•天一大联考）已知△4BC的内角月，B,C的对边分别为a,h,c,小（“cos。-6）=

asinC.

⑴求角A；

（2）若。=2巾，6=4,求c及△ABC的面积.

解（1）由题意及正弦定理可得

小（sinAcosC—sinB）=sinAsinC.

'：A+B+C^it,

B=n—（A+Q,

.*.,\/3[sinAcosC-sin（＞4+Q]=sinAsinC,

即一V5cosAsinC=sinAsinC,

又sinOO,tanA=一小,

t'OvAv兀,；・A=亨.

⑵由余弦定理可得/=/+于一26CCOSA,

整理得<r+4c-12=0,

解得c=2或c=—6（舍去）.

2.(2019・沈阳模拟)如图，在四棱锥P—ABC。中，PAmABCD,底面488是等腰梯形,

AD//BC,AC1BD.

(1)证明：BDLPC-,

(2)若AD=4,BC=2,设ACn2D=O,且/尸。。=60。，求四棱锥「一ABC。的体积.

⑴证明因为以1■平面4BCE>,BOU平面ABCD,

所以PALBD.

又AC_L8£>,PA,AC是平面以C内的两条相交直线，

所以平面PAC.

而PCU平面B4C,所以3£>_LPC

⑵解连接。P,由⑴知，平面%C,

由POU平面以C知，BDLPO.

在RtAPOD中，

因为/如0=小

所以NOPO=*得PD=2DO.

又因为四边形ABCO为等腰梯形，ACA.BD,

所以△A。。，ZiBOC均为等腰直角三角形.

从而梯形4BCD的高为泰力+38c=3,

于是梯形ABCD的面积S=1x(4+2)X3=9.

OD--^AD—2\[2,

在等腰直角三角形AOO中,

所以「。=2。。=4啦，PA=y]PD2~AD2=4.

故四棱锥P-ABCD的体积为

y=；XSX必=；X9X4=12.

3.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩

x与物理成绩y如下表：

数学成绩X145130120105100

物理成绩y110901027870

数据表明y与x之间有较强的线性关系.

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)该班一名同学的数学成绩为110分，利用(1)中的回归方程，估计该同学的物理成绩；

(3)本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学

优秀率与物理优秀率分别为50%和60%,且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀

但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物

理优秀有关？

Z(四一x)(.y/-y)

人/=]八_A_

参考数据：b=--------------------,a=y—bx.

£(A-i-X)2

Z=1

)_______n(ad—be辛_____

K(a+b)(c-\-d)(a+c)(b+d)1

尸(心》6.635)=0.01,尸(群》10.828)=0.001.

解(1)由题意可知工=120,7=90,

5__

Z(XLx)8—y)=(145-120)(110-90)+(130-120)X(90-90)+(120-120)(102-90)+

/=1

(105-120)(78-90)+(100-120)(70-90)

=500+0+0+180+400=1080,

5-

2(即一x)2=(145—120)2+(130—120)2+(120-120)2+(105—120)2+(100—120)2

/=1

=625+100+0+225+400=1350,

故号携=,=0.8.

a=90-120X0.8=-6,

故线性回归方程为y=0.8x—6.

A

⑵将尤=110代入上述方程，得y=0.8X110-6=82.

(3)由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36.

抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，

故全班数学优秀但物理不优秀的共6人.

于是可以得到如下2X2列联表：

物理优秀物理不优秀总计

数学优秀24630

数学不优秀121830

总计362460

丁目,60X(24><18—12X6)2

于K--30X30X36X24-=10>6-635>

因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.

4.(2019・长沙一中、常德一中等六校联考)如图，椭圆C：的右焦点为F,过点尸

的直线/与椭圆交于A,B两点，直线加x=4与x轴相交于点E,点M在直线〃上，且满

足轴.

⑴当直线/与x轴垂直时，求直线AM的方程;

(2)证明：直线AM经过线段EF的中点.

⑴解由。=^^=1,

.X

3

**•直线AM的方程为y—1=—(x—1),

即2x+2v-5=0.

⑵证明当直线/垂直于y轴时，线段所在直线AM上，符合题意,

当直线/不垂直于y轴时，

设直线/的方程为犬=冲+1,

f"=l，

由『3得3(加):+1)2+4户12,

[x=my+1,

即(3m2+4R2+6my—9=0.

A=(6相>+36(3m2+4)>0.

设A3，y\),8(x2,》2),

,—6m-9

则M％+”=藐4丁小=就彳，

的中点为[I，0),M(4,y2),

又?nyi一亍义”一歹1=，〃％”一+")

-9m3-6m

3/n2+42*3病+4

；.A,N,M三点共线，

直线AM经过线段EF的中点.

5.(2019・安庆模拟)设函数段)=『+4x+2,g(x)=fe'[T(x)-2],其中fGR.函数段)的图象在

点A(-*/(一5)处的切线与函数g(x)的图象在点仇0,g(0))处的切线互相垂直.

⑴求f的值；

(2)若依(尤)》纨x)在xd[—2,+8)上恒成立，求实数上的取值范围.

解⑴由,/(x)=f+4x+2得，，(x)=2x+4.

于是g(x)=reU'(x)-2]=2W(x+1),

所以g'(x)=2fe、(x+2).

函数_/U)的图象在点一器，/(一„处的切线与函数g(x)的图象在点B(0,g(0))处的切线互

相垂直,

所以/(一/)g'(6=一1，

即_(，々=_|'f=l.

(2)/(x)=f+4x+2,g(x)=2e%x+l).

设函数F(x)=依(x)—2/(x)

=2&e*(x+1)—2/—8x—4(x2—2),

贝UP(x)=kgfM-2fr(x)

=2tev(x+l)+2tev-4x-8=2(x+2)(tev-2).

由题设可知尸(0)20,即女，2.

2

令尸(x)=0得xi=ln12=—2.

①若一2<nW0,则2WA<2e2,

此时xG(—2,xi)时，F'(x)<0,xG(xi,+8)时，

F'(x)>0,即F(x)在(一2,汨)上单调递减，在但，+8)上单调递增，所以尸(x)在工=制处取

最小值F(xi).

而F(xt)=2ke''(XI+1)—2XT-8内一4

—4xi+4—2x?—8为一4=-2%I(XI+2)20.

.•.当x)一2时，尸(x)》F(xi)20,

即依(x)24U)恒成立.

②若为=-2,则Jl=2e2,

此时F'(x)=2(x+2)(2ev+2-2)0,

.•.F(x)在[-2,+8)上单调递增，而尸(一2)=0,

...当x2一2时，F(x)20,即仅(x)20(x)恒成立.

③若xi<—2,则k>2e2时，

尸(x)在[-2,+8)上单调递增，

此时F(—2)=—2左-2+4=—2e-2(Jl-2e2)<0.

当x》一2时，Ag(x)》"x)不能恒成立.

综上所述，上的取值范围是[2,2e2].

6.在平面直角坐标系xQy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲

[x=2cos0,7

线C的参数方程为.(。为参数)，直线/的极坐标方程为修

[y=sinziUcosuzsinu

(1)求曲线C和直线/的直角坐标方程，并求出曲线C上到直线/的距离最大的点尸的坐标；

(2)求曲线C的极坐标方程，并设A,8为曲线C上的两个动点，且a•而=0,求|矗|2的取

值范围.

解(1)曲线C的直角坐标方程为4+丫2=1,直线/的直角坐标方程为x-2)，-2=0,

则曲线C上的点到直线/的距离

|2cos0—2sin0-2\

〃=奉

|2sin。-2cos。+2|

=忑

=靠gin。-0+1],

当。=平时，d最大，

此时，一也，坐)

(2)曲线C的极坐标方程为p2cos20+4p2sin20=4,

44

即"9cos20+4sin2^3sin2<9+f

设A3,6)，即2,。+?,

f44

则"B[2=PT+/=3sin2(9+1+3COS2®+1

20_「16

=9--------GT5

4sin220+4

即画的取值范围为[冬5.

7.设函数/U)=|2x+l|+2|x—a|.

(1)若a=2,试求的解集；

(2)若a>0,且关于x的不等式7(x)<3x有解，求实数。的取值范围.

1

x<——

解⑴由。=2得，①J2，

、一(2x+1)—2(x-2)26,

得xW—：3；

2

②J无解；

、2x+1—2(x—2)26,

③[|x2>x2+,l+2(x—2)己6,得'X与g’

综上，不等式的解集为(-8,-1

-4x—1+2。，x<-2»

⑵3="+2a,―9/。，

、4x+l—2。，x>a.

要使7U)<3x有解，

则只需2a+l<3a,即a>l.

所以实数a的取值范围为(1,+8).

[70分]解答题标准练（三）

l.ZXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知('-sinC)cosA=sinAcosC,a=2.

⑴求4;

(2)求AABC的面积的最大值.

解(1)因为Qb—sinC)cosA=sinAcosC,

I/?cosA

所以］Z?cos4=sinCeosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,所以公巾B=1，

由正弦定理得卷=卷=熹,

近0osA2cosA

加以2sinB=2sinA=LsinA=cosA,

TT

又AW(0,it),所以A=1

(2)由余弦定理a2=/>2+c2—2feccosA得,

b2+cr=yl2bc+4,

因为P+d》2bc.

所以小加

解得6cW2(2+/)，

所以S<MBc=3%csinA=乎力cW坐X2(2-

所以△ABC面积的最大值为也+l.

2.（2019•成都市实验外国语学校模拟）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为

1,2,345的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽

取一球，若抽到的小球编号为3,则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖

金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两次.

（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；

（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率.

解（1）由题意得，该顾客有放回的抽奖两次的所有可能结果为：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),

(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共有25种.

设''该顾客两次抽奖后都没有中奖”为事件A,则事件A包含的结果为(1,1),(1,5),(5』)，

(5,5),共4种，

4

所以尸(4)=行.

即该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率为六.

(2)两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况:

①第一次奖金为100元，第二次没有获奖，其包含的结果为(3,1),(3,5)；

②第一次没中奖，第二次奖金为100元，其包含的结果为(1,3),(5,3)；

③两次各获奖金50元，包含的结果有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4).

综上，两次抽奖奖金之和为100元包含8种结果.

故所求概率为P=^,

即该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为福.

3.(2019•河南名校联盟联考)如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形,

AD//BC,AB±BC,AB=AO=1,BC=2,PB_L平面ABC。，PB=l.

(1)求证：CDLPD；

(2)求四棱锥P-ABCD的表面积.

(1)证明在梯形ABC。中，易求BD=®P£>=小，PA=®

"：BC=2,：.BC2=Cb2+BD2,：.CD±BD.

:尸8平面ABCD,：.PBA.CD,

又PBCBD=B,PB,BDU平面PBD,

.,.CD_L平面PBD.

又P£)u平面PBD,J.CDLPD.

⑵解由(1)知6义小=坐

又,：DA〃BC,BC1AB,P8_L平面ABC£),

：./\PAD,/\PBA,△P8C都为直角三角形.

♦♦'△PAD-2，)△出8—2，।,3悌形A8CD—2・

四棱锥P-ABCD的表面积为坐+坐+；+1+,=逅土半土乌

4.已知椭圆C：=1(a>〃>0)的两个焦点分别为Fi,点尸是椭圆上的任意一点，且

IPQHP&I的最大值为4,椭圆C的离心率与双曲线，一£=1的离心率互为倒数.

(1)求椭圆C的方程;

过点户作两条直线/1，，2与圆。+1)2+户+《|)相切且分别交椭圆

于M,N,求证：直线MN的斜率为定值.

(1)解设椭圆的焦距为2c,

由题意知|尸尸小IPBIW(中加;仍码｝=层=4,

所以a=2.

由双曲线3一石=1的离心率为"4(12=2,

可知椭圆C的离心率为今

即5=寺，解得c=l,序=3,

所以椭圆C的方程为3+1=1.

(2)证明点《一1,|)在椭圆C上，显然两直线八，b的斜率存在，设为％I,k2,M(xi,%),

N(X2,竺)，由于直线与圆(x+l)2+y2=r2(0＜，y|')相切，可知心=—k2,

3

直线-

2

3

厂5=ki(x+D，

可得(3+46]+8k1(左1+4Gi+„—12=0,

诉n,的(%+[一*12—+3

所以为-1—一3+46’Xi~3+4后，

Q】、)—4好+12e+3

所以及=一讦福一，

_24公

为一及=讦诵,

-8好+6

又为+X2=F7拓

y\~y2=k\(x\+xi)-\-lk\

仁8M+6)必

=k{3+4后广2%尸讦诟

⑵I

、Vi—\?23+4后1

可知直线MN的斜率为k-_型=—^=一5

X|—X2-24故2

3+4后

故所求的直线MN的斜率为定值一；.

5.己知函数fix)=/—x—y[x.

(I)求函数y=«x)的零点的个数；

(2)令g(x)=景宝+lnx,若函数y=g(x)在(0,f内有极值，求实数。的取值范围.

解(1)函数y(x)的定义域为[0,+8).

因为40)=0,

所以x=0为y=y(x)的一个零点，

当x>0时，./(力=乂/一1

设9(x)=f-1—七，

贝i]9,(x)=2x+.qp>°，

所以夕(x)在(0,+8)上单调递增,

又夕(1)=—1<0,矶2)=3—亚>0,

故夕(x)在(0,+8)上有唯一零点，且在(1,2)内,

所以y=/m)在[0，+8)有且仅有2个零点.

a^+ax,

(2W)=.^w：+lnx

办(x+1)一__q_

x(x+1)(》一1)+11l+lnX,

定义域为(0,l)U(l,+8),

屋a)=；_G^

(2+〃)x+1

=~X(LIp-，

设〃(x)=f—(2+a)x+1,

要使y=g(x)在(o，§内有极值,

则/l(x)=o有两个不同的根X],X2,且有一根在I

所以/=(2+〃)2—4>0,解得a>0或a<—4,

不妨设0<为<],又X1M=1,

所以04]<[<e<T2,

又人(0)=1,则只需破卜0,

即5一(2+.)义9+1<0,

解得a>e+：-2,

所以a的取值范围为(e+P—2,+8)

6.(2019•汕尾质检)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为卜一于。为参数)，曲线

ly=2t

x=1+v2cosa,

厂伍为参数)，以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

{y=l+\2sina

标系.

⑴求曲线C和。2的极坐标方程；

(2)直线/的极坐标方程为6=全直线/与曲线Ci和C2分别交于不同于原点的4B两点，

求|AB|的值.

(I2

解(1)曲线。的参数方程为，2,。为参数)，

J=2f

转换为普通方程为V=8x,

转换为极坐标方程为psin%=8cos9.

x=1+v2cosa,

厂(a为参数)，

(y=1+\2sina

22

转换为普通方程为x+y—2x—2y=01

转换为极坐标方程为p—2cos0—2sin0=0.

(2)设AQI,穿，8G2,

c兀

8cosw

16

所以"i=~

si吟

_兀IC.

p2=2cosq+2sin5=1+小,

13

所以IA间=bi-p2i=亍一小.

7.(2019・汕尾质检)已知於)=|2x+2|+|x-l|的最小值为t.

⑴求，的值；

(2)若实数m6满足2/+2〃=f,求*j■+昌]的最小值.

px+1,

解⑴/(x)=|2x+2|+|x—1|=卜+3,—l<r<l,

1-3xT,xW-1.

故当X=-1时，函数y(x)有最小值2,所以，=2.

⑵由⑴可知2a2+2/=2,

故/+1+/+2=4,

圻,,,11___<..11"2+1+-+2

所以/+1+/+2-。+[+/+2)4

,_Z>2+2,g2+l

2+a2+\+b2+2

=4Nl，

当且仅当片+1="+2=2,

即〃2=i,"=0时等号成立，

故〃]+万；2的最小值为L

[70分]解答题标准练(四)

1.已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos(2B+2C)+3cosA-1=0,

且△ABC的外接圆的直径为2.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积为2小，求△ABC的周长；

(3)当△ABC的面积取最大值时，判断△ABC的形状.

解(1)由题意知24+28+2C=27t,所以cos(2B+2C)+3cosA—1=cos2A+3cosA—1=0,

即2cos2A+3cosA—2=0,

解得cosA=-2(舍去)或cosA=g.

jr

又0<A<K,所以A=,

(2)由题意及正弦定理得瘾=2,

所以“=2sin：=小.

因为△ABC的面积S=/csinA=24§,所以从'=8,

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA

=S+c)2—3/?c=S+c)2—24=3,

所以/?+c=3小，

所以△ABC的周长为〃+〃+c="x/§+3，§=4、/§.

(3)由余弦定理得3=/+C2-2ACOSA》A,当且仅当b=c时等号成立，

所以S=T〃csinA=^bcW乎X3=^^,

当且仅当人=c时等号成立，

JT

故当△ABC的面积取最大值时，b=c,又A=],

所以AABC为等边三角形.

2.如图①，在长方形ABC。中，AB=；BC=也，E,尸分别为A。，BC的中点，G为ED的

中点，点”在线段A尸上，且满足凡将正方形4BFE沿EF折起，使得直线E尸与平

面48CC间的距离为1,得到如图②所示的三棱柱AED-BFC.

(1)求证："1.平面BED；

(2)若三棱锥G-HFC的体积为乎，求2的值.

⑴证明因为EFV/AB,ABCD,ABU平面ABC£>,所以EF〃平面ABCD

所以直线EF与平面ABCD间的距离等于点E到平面ABCD的距离.

由题意知EF_LAE,EFLED,又AECED=E,AEU平面4E£),E0U平面4E。，所以EF_L

平面AED,

因为EF〃AB,所以AB_L平面AEZ),

又ABU平面ABCO,所以平面4EDJ_平面A8CD

所以点E到平面ABCQ的距离即为点E到直线A。的距离.

在△AED中，过点E作EM_L4。于点M,如图所示.

则EM=1,AE=ED=用,易知AM=M£>=1,

所以AC=2,所以AE_LED

又EDJLEF,EFCAE=E,EFU平面4EF8,AEU平面AEFB,

所以ED_L平面AEFB,

又AFU平面AEFB,所以AF_LED

由题意知4尸J_EB,又EDCEB=E,EDU平面BED,

EBU平面BED,所以AFI.平面BED.

⑵解过点H作”/，E尸于点/,如图所示,

则H/〃AE,易知H/_L平面GFC,

所以H/=(l-2)AE=，5(I-2).

贝“V陵雏G-HFC—VH-GFC—2义SAGFCXHI

=/x；x&xpx也(D=*,

解得2=今

3.由于往届高三年级数学学科的学习方式大都是“刷题——讲题——再刷题”的模式，效果

不理想，某市一中的数学课堂教改采用了“记题型——刷题——检测效果”的模式，并记录

了某学生的记题型时间f（单位：h）与检测效果y的数据如下表所示.

记题型时间th~1~~2~~3~~4~~5~~6~~~

检测效果），

⑴据统计表明，y与，之间具有线性相关关系，请用相关系数r加以说明（若仍》0.75,则认为

y与，有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；

（2）建立y关于/的线性回归方程，并预测该学生记题型8h的检测效果；

（3）在该学生检测效果不低于3.6的数据中任取2个，求检测效果均高于4.4的概率.

E(为一x)(y<—y)

参考公式：回归直线；=£+联中斜率和截距的最小二乘估计分别为Z=------------------------

E（为一x）2

E(Xi—x)8—>')

i=l

a—y—bx相关系数r=

__7_

参考数据：t=4,y=4.3,X(yi~y)2=7.08,

i=l

£彷-7)8—5)=14,[198.24F4.08.

i=\

7__

解⑴由题意得Z(L1=9+4+1+0+1+4+9=28,

i=l

Z(?Lt)8—y)

产i14

所以r=----1----/=i"0.99>0.75,

n_r,_028X7.08

A/Z(lt)2A/£8-y)2

所以y与r有很强的线性相关关系.

7__

Z(ti-t)ty,—y)

A

尸i14

(2)由(1)可得b==2g=0.5,

X(Lt)2

/=i

A___A

所以a~b7=4.3—0.5X4=2.3,

A

所以y关于f的线性回归方程为y=0.5f+2.3.

A

当，=8时，y=0.5X8+2.3=63,

所以预测该学生记题型8h的检测效果约为6.3.

(3)由题意知该学生检测效果不低于3.6的数据有5个，任取2个数据有(3.644),(36,4.8),

(3.6,5.2),(3.6,5.9),(4.4,4.8),(4.4,5.2),(4.4,5.9),(4.8,5.2),(4.8,5.9),(5.2,5.9),共10种

结果，其中检测效果均高于4.4的有(4.8,5.2),(4.8,5.9),(52,5.9),共3种结果，故所求概率

为春

4.已知椭圆C：动直线/过点4(0,1)且与椭圆C交于尸，Q两点.

⑴求弦PQ的中点M的轨迹方程；

(2)设。为坐标原点，问是否存在常数2,使得游•恁+5>•而为定值？若存在，求出2的

值；若不存在，请说明理由.

解(1)当直线/的斜率不存在时，易知点M(0,0).

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为)，=依+1,

「(XI,n),2(X2,”)，M(x,y)(y#O).

俨+2户4,

由.

y=kx+l9

得(2乒+1)1+4"一2=0,

/=(必)2+8(2斤+1)>0恒成立，

4K2

则XI+及=-2胃+1'制冷=-2必+「

-V|+.V22k

所以X①

22必+1'

r(一春川=■,②

①②两式联立，得*+29-2)，=0。/0).

又(0,0)适合上式，

故弦PQ的中点M的轨迹方程为』+2产—2》=0.

(2)当直线/的斜率存在时，由(1)知

XAPAQ+OPOQ

=x[jrix2+tyi—1）（J2—l）]+xix2+yi>'2

=（1+z）（llc）X\X2-\~k（x\+也）+1

（一2/1—4）我+（—22—1）

2^+1

z-1

2-2,

2产+1

所以当2=1时，一会与一2一2为定值-3.

当直线/的斜率不存在时，易知