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推广第六章一元函数微积分二元函数微积分注意:善于类比,区别异同二元函数微积分

第六章第一节一、平面点集二、二元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性二元函数的基本概念一、平面点集1.邻域点集称为点P0的

邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为2.

区域(1)

内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:

若存在点P

的某邻域U(P)

E,

若存在点P的某邻域U(P)∩E=,

若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点;则称P为E

的边界点.的外点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.(2)

聚点若对任意给定的

,点P

的去心邻域内总有E

中的点,则称P

是E

的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E

的边界点)D(3)开区域及闭区域

若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;

连通的开集称为开区域

,简称区域;。。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作

E;例如，在平面上开区域闭区域

二、二元函数的概念引例:

圆柱体的体积

定量理想气体的压强定义1.

设D为非空平面点集,点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域.映射称为定义在

D

上的二元函数,记作例如,

二元函数定义域为圆域说明:

二元函数

z=f(x,y),(x,y)

D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面

.三、二元函数的极限定义2.

设二元函数邻域内有定义.称A

为函数在点P0(x0,y0)

的某个去心若存在常数A,记作时,都有成立,则对任意正数

,总存在正数

,使得当例1.

设求证:证:故总有要证

若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例2.

讨论函数函数四、二元函数的连续性如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果否则不连续,此时称为间断点

.则称二元函数连续.连续,定义3.

设二元函数邻域内有定义.在点P0(x0,y0)

的某个去心例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,

函数上间断.

故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切二元初等函数在定义区域内连续.若f(P)在有界闭区域D

上连续,则在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭区域上二元连续函数有与一元函数类似的如下性质:解:原式例3.求例4.

求函数的连续域.解:

练习题：

证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集2.二元函数的概念二元函数图形一般为空间曲面有3.二元函数的极限4.二元函数的连续性1)函数2)闭区域上的二元

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