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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的离心率为,抛物线的焦点坐标为,若,则双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.2.等比数列的各项均为正数,且,则()A.12 B.10 C.8 D.3.已知函数是上的偶函数,是的奇函数,且,则的值为()A. B. C. D.4.在空间直角坐标系中,四面体各顶点坐标分别为:.假设蚂蚁窝在点,一只蚂蚁从点出发,需要在,上分别任意选择一点留下信息,然后再返回点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是()A. B. C. D.5.设为抛物线的焦点,,,为抛物线上三点,若,则().A.9 B.6 C. D.6.已知,是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为A. B. C. D.7.记单调递增的等比数列的前项和为,若,,则()A. B. C. D.8.已知,则()A. B. C. D.9.函数的大致图象是()A. B.C. D.10.已知双曲线的一条渐近线方程是,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.11.中,角的对边分别为,若,,,则的面积为()A. B. C. D.12.设复数满足,在复平面内对应的点的坐标为则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,直三棱柱中,,,,P是的中点,则三棱锥的体积为________.14.已知是夹角为的两个单位向量,若,,则与的夹角为______.15.已知函数的定义域为R,导函数为,若,且,则满足的x的取值范围为______.16.三对父子去参加亲子活动,坐在如图所示的6个位置上,有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种(比如:B与D、B与C是相邻的,A与D、C与D是不相邻的).三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.18.(12分)某社区服务中心计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶5元,售价每瓶7元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:摄氏度℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间,需求量为500瓶;如果最高气温低于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温天数414362763以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为(单位:瓶)时,的数学期望的取值范围?19.(12分)已知正项数列的前项和.(1)若数列为等比数列,求数列的公比的值;(2)设正项数列的前项和为,若,且.①求数列的通项公式;②求证:.20.(12分)设函数,().(1)若曲线在点处的切线方程为,求实数a、m的值;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围;(3)关于x的方程能否有三个不同的实根?证明你的结论.21.(12分)已知椭圆的右顶点为,点在轴上,线段与椭圆的交点在第一象限,过点的直线与椭圆相切,且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.(Ⅰ)当为线段的中点时,求直线的方程;(Ⅱ)记的面积为,的面积为,求的最小值.22.(10分)若养殖场每个月生猪的死亡率不超过,则该养殖场考核为合格,该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月养殖量/千只33456791012月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1生猪死亡数/只293749537798126145(1)从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月,求恰好有2个月考核获得合格的概率;(2)根据1月到8月的数据,求出月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程(精确到0.001).(3)预计在今后的养殖中,月利润与月养殖量仍然服从(2)中的关系,若9月份的养殖量为1.5万只,试估计:该月利润约为多少万元?附:线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下:,参考数据:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
求出抛物线的焦点坐标,得到双曲线的离心率,然后求解a,b关系,即可得到双曲线的渐近线方程.【详解】抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以双曲线的渐近线方程为:y=±.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法,涉及抛物线的简单性质的应用.2、B【解析】
由等比数列的性质求得,再由对数运算法则可得结论.【详解】∵数列是等比数列,∴,,∴.故选:B.【点睛】本题考查等比数列的性质,考查对数的运算法则,掌握等比数列的性质是解题关键.3、B【解析】
根据函数的奇偶性及题设中关于与关系,转换成关于的关系式,通过变形求解出的周期,进而算出.【详解】为上的奇函数,,而函数是上的偶函数,,,故为周期函数,且周期为故选:B【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,函数的周期性的应用,属于基础题.4、C【解析】
将四面体沿着劈开,展开后最短路径就是的边,在中,利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体沿着劈开,展开后如下图所示:最短路径就是的边.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故选:C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理的内容,考查了学生的空间想象能力,属于中档题.5、C【解析】
设,,,由可得,利用定义将用表示即可.【详解】设,,,由及,得,故,所以.故选:C.【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题,考查学生等价转化的能力,是一道容易题.6、D【解析】
如图所示,设依次构成等差数列,其公差为.根据椭圆定义得,又,则,解得,.所以,,,.在和中,由余弦定理得,整理解得.故选D.7、C【解析】
先利用等比数列的性质得到的值,再根据的方程组可得的值,从而得到数列的公比,进而得到数列的通项和前项和,根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为为等比数列,所以,故即,由可得或,因为为递增数列,故符合.此时,所以或(舍,因为为递增数列).故,.故选C.【点睛】一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.8、D【解析】
根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于零小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为,所以,所以是减函数,又因为,所以,,所以,,所以A,B两项均错;又,所以,所以C错;对于D,,所以,故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小,两个式子比较大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性质得到大小关系,有时可以代入一些特殊的数据得到具体值,进而得到大小关系.9、A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正确答案.【详解】解:当时,,,所以,故可排除B,C;当时,,故可排除D.故选:A.【点睛】本题考查了函数图象,属基础题.10、D【解析】双曲线的渐近线方程是,所以,即,,即,,故选D.11、A【解析】
先求出,由正弦定理求得,然后由面积公式计算.【详解】由题意,.由得,.故选:A.【点睛】本题考查求三角形面积,考查正弦定理,同角间的三角函数关系,两角和的正弦公式与诱导公式,解题时要根据已知求值要求确定解题思路,确定选用公式顺序,以便正确快速求解.12、B【解析】
根据共轭复数定义及复数模的求法,代入化简即可求解.【详解】在复平面内对应的点的坐标为,则,,∵,代入可得,解得.故选:B.【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义,复数模的求法及共轭复数的概念,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
证明平面,于是,利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】平面,平面,,又.平面,是的中点,.
故答案为:【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式,属于基础题.14、【解析】
依题意可得,再根据求模,求数量积,最后根据夹角公式计算可得;【详解】解:因为是夹角为的两个单位向量所以,又,所以,,所以,因为所以;故答案为:【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律,以及夹角的计算,属于基础题.15、【解析】
构造函数,再根据条件确定为奇函数且在上单调递减,最后利用单调性以及奇偶性化简不等式,解得结果.【详解】依题意,,令,则,故函数为奇函数,故函数在上单调递减,则,即,故,则x的取值范围为.故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题.16、192【解析】
根据题意,分步进行分析:①,在三对父子中任选1对,安排在相邻的位置上,②,将剩下的4人安排在剩下的4个位置,要求父子不能坐在相邻的位置,由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意,分步进行分析:①,在三对父子中任选1对,有3种选法,由图可得相邻的位置有4种情况,将选出的1对父子安排在相邻的位置,有种安排方法;②,将剩下的4人安排在剩下的4个位置,要求父子不能坐在相邻的位置,有种安排方法,则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法种;故答案为:【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)根据,分别是,的中点,即可证明,从而可证平面;(2)先根据为正三角形,且D是的中点,证出,再根据平面平面,得到平面,从而得到,结合,即可得证.【详解】(1)∵,分别是,的中点∴∵平面,平面∴平面.(2)∵为正三角形,且D是的中点∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,面面垂直的性质等,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,中档题.18、(1)见解析;(2)【解析】
(1)X的可能取值为300,500,600,结合题意及表格数据计算对应概率,即得解;(2)由题意得,分,及,分别得到y与n的函数关系式,得到对应的分布列,分析即得解.【详解】(1)由题意:X的可能取值为300,500,600故:六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列为300500600(2)由题意得.1°.当时,利润此时利润的分布列为.2.时,利润此时利润的分布列为.综上的数学期望的取值范围是.【点睛】本题考查了函数与概率统计综合,考查了学生综合分析,数据处理,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.19、(1);(2)①;②详见解析.【解析】
(1)依题意可表示,,相减得,由等比数列通项公式转化为首项与公比,解得答案,并由其都是正项数列舍根;(2)①由题意可表示,,两式相减得,由其都是正项并整理可得递推关系,由等差数列的通项公式即可得答案;②由已知关系,表示并相减即可表示递推关系,显然当时,成立,当,时,表示,由分组求和与正项数列性质放缩不等式得证.【详解】解:(1)依题意可得,,两式相减,得,所以,因为,所以,且,解得.(2)①因为,所以,两式相减,得,即.因为,所以,即.而当时,,可得,故,所以对任意的正整数都成立,所以数列是等差数列,公差为1,首项为1,所以数列的通项公式为.②因为,所以,两式相减,得,即,所以对任意的正整数,都有.令,而当时,显然成立,所以当,时,,所以,即,所以,得证.【点睛】本题考查由前n项和关系求等比数列公比,求等差数列通项公式,还考查了由分组求和表示数列和并由正项数列放缩证明不等式,属于难题.20、(1),;(2);(3)不能,证明见解析【解析】
(1)求出,结合导数的几何意义即可求解;(2)构造,则原题等价于对任意恒成立,即时,,利用导数求最值即可,值得注意的是,可以通过代特殊值,由求出的范围,再研究该范围下单调性;(3)构造并进行求导,研究单调性,结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】(1),,曲线在点处的切线方程为,,解得.(2)记,整理得,由题知,对任意恒成立,对任意恒成立,即时,,,解得,当时,对任意,,,,,即在单调递增,此时,实数的取值范围为.(3)关于的方程不可能有三个不同的实根,以下给出证明:记,,则关于的方程有三个不同的实根,等价于函数有三个零点,,当时,,记,则,在单调递增,,即,,在单调递增,至多有一个零点;当时,记,则,在单调递增,即在单调递增,至多有一个零点,则至多有两个单调区间,至多有两个零点.因此,不可能有三个零点.关于的方程不可能有三个不同的实根.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理,考查了转化与化归的数学思想,属于难题.21、(Ⅰ)直线的方程为(Ⅱ)【解析】
(1)设点,利用中点坐标公式表示点B,并代入椭圆方程解得,从而求出直线的方程;(2)设直线的方程为:,表示点,然后联立方程,利用相切得出,然后求出切点,再设出设直线的方程,求出点,利用两点坐标,求出直线的方程,从而求出,
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