2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）i2022的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）A．6 B．6.5 C．7 D．5.53．（5分）向量a→与b→不共线，AB→=a→+kb→，AC→=la→+b→（A．k+l＝0 B．k﹣l＝0 C．kl+1＝0 D．kl﹣1＝04．（5分）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A．3π4 B．π2 C．π45．（5分）已知向量a→=(cosθ，sinθ)，b→=(2，-1)，若A．﹣3 B．-13 C．16．（5分）从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A．15 B．310 C．257．（5分）在△ABC中，下列命题正确的个数是（）①AB→②AB→③若（AB→-AC→）•（④AC→•AB→＞A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA•sinC，c＝3，则a的取值范围是（）A．（23，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）设复数z＝i+2i2，则下列结论正确的是（）A．z的共轭复数为2﹣i B．z的虚部为1 C．z在复平面内对应的点位于第二象限 D．|z+1|=（多选）10．（5分）下列说法中错误的是（）A．已知a→=(1，2)，b→=(1，1)，且aB．向量e1→=(2，-3)，C．若a→∥b→，则存在唯一实数D．非零向量a→和b→满足|a→|=|b（多选）11．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，事件C＝“两枚骰子出现点数和为8”，事件D＝“两枚骰子出现点数和为9”，则（）A．A与B互斥 B．C与D互斥 C．A与D独立 D．B与C独立（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝45°，c＝2，下列说法正确的是（）A．若a=3，△ABCB．若a＝3，△ABC有两解 C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2D．若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，13．（5分）设有两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi＝axi+b（i＝1，2…，n，其中a，b非零常数），若这两组数据的方差分别为σx2和σy2，则σx2和σy2之间的关系是．14．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．15．（5分）已知向量a→=(2，1)，b→=(x，2)，若b→在a→16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为．四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）设ω=-1（1）求证：1+ω+ω2＝0；（2）计算：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）．18．（12分）已知sinα=45，α∈(π2，π)（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cos（α+β）的值．19．（12分）为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到∠ACB＝∠DCB，∠ACD为钝角，AC＝5，AD＝7，sin∠ADC=2（1）求sin∠ACB的值；（2）若测得∠BDC＝∠BCD，求待测径长AB．20．（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，将笔试成绩按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．21．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．（1）求证：CD⊥AB；（2）当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．22．（12分）设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC（如图所示）．（1）求AB→（2）Q为线段AP1上一点，若AQ→=mAB（3）P为边BC上一动点，当PA→⋅PC

2022-2023学年江苏省南京市九校联合体高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）i2022的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：∵i2022＝i2＝﹣1．故选：B．2．（5分）数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为（）A．6 B．6.5 C．7 D．5.5【解答】解：由题意可知，共有10个数字，则第60百分位数的位置为10×60%＝6，即在第6位和第7位上的数字和的平均数5+62故选：D．3．（5分）向量a→与b→不共线，AB→=a→+kb→，AC→=la→+b→（A．k+l＝0 B．k﹣l＝0 C．kl+1＝0 D．kl﹣1＝0【解答】解：∵a→，b→不共线，∴la∴存在实数λ，使a→∴λl=1k=λ，∴kl故选：D．4．（5分）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（）A．3π4 B．π2 C．π4【解答】解：依题意，设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l＝1，则l2＝r2+h2＝1，底面周长为2πr=1则r=1∴h=1-(∴该圆锥的表面积为S＝πr2+πrl=π故选：A．5．（5分）已知向量a→=(cosθ，sinθ)，b→=(2，-1)，若A．﹣3 B．-13 C．1【解答】解：因为向量a→=(cosθ，sinθ)，b→所以﹣cosθ﹣2sinθ＝0，可得tanθ=-1则tan(θ+π故选：C．6．（5分）从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A．15 B．310 C．25【解答】解：从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，共有C5而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有4，6，8和4，8，10以及6，8，10，共3种，故这三条线段能构成一个三角形的概率为P=3故选：B．7．（5分）在△ABC中，下列命题正确的个数是（）①AB→②AB→③若（AB→-AC→）•（④AC→•AB→＞A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①AB→-AC②AB→+BC③若（AB→-AC→）•（所以|AB→|=|AC→④AC→•AB→＞但是则△ABC不一定是锐角三角形．所以④不正确．故选：B．8．（5分）已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B﹣sin2A＝sinA•sinC，c＝3，则a的取值范围是（）A．（23，2） B．（1，2） C．（1，3） D．（3【解答】解：∵sin2B﹣sin2A＝sinA•sinC，∴由正弦定理可得b2﹣a2＝ac，∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，又c＝3，∴可得a=3∵锐角△ABC中，B∈（0，π2所以cosB∈（0，1），所以a=31+2cosB因为cosC=a所以a2+b2＞c2，又b2﹣a2＝ac，所以2a2+ac﹣c2＞0，所以2a2+3a﹣9＞0，即（2a﹣3）（a+3）＞0，解得a＞所以a∈（32故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）设复数z＝i+2i2，则下列结论正确的是（）A．z的共轭复数为2﹣i B．z的虚部为1 C．z在复平面内对应的点位于第二象限 D．|z+1|=【解答】解：z＝i+2i2＝﹣2+i，对于A，z=-2-i，故A对于B，z的虚部为1，故B正确，对于C，z在复平面内对应的点（﹣2，1）位于第二象限，故C正确，对于D，z+1＝﹣2+i+1＝﹣1+i，则|z+1|=(-1)2故选：BCD．（多选）10．（5分）下列说法中错误的是（）A．已知a→=(1，2)，b→=(1，1)，且aB．向量e1→=(2，-3)，C．若a→∥b→，则存在唯一实数D．非零向量a→和b→满足|a→|=|b【解答】解：A.a→+λb→=(1+λ，2+λ)，∵a→与a→∴1+λ+2(2+λ)＞02+λ-2(1+λ)≠0，解得λ＞-53∴λ∈(-53，0)∪(0，+∞)B．∵e1→=4e2→，∴C．若a→∥b→，且b→≠0D．如图，作OA→=a∵|a→|=|∴a→与a→+故选：ACD．（多选）11．（5分）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A＝“第一枚出现奇数点”，事件B＝“第二枚出现偶数点”，事件C＝“两枚骰子出现点数和为8”，事件D＝“两枚骰子出现点数和为9”，则（）A．A与B互斥 B．C与D互斥 C．A与D独立 D．B与C独立【解答】解：对于A，记（x，y）表示事件“第一枚点数为x，第二枚点数为y”，则事件A包含事件（1，2），事件B也包含事件（1，2），所以A∩B≠∅，故A与B不互斥，故A错误；对于B，事件C包含的基本事件有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5件，事件D包含的基本事件有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）共4件，故C∩D＝∅，即C与D互斥，故B正确；对于C，总的基本事件有6×6＝36件，事件A的基本事件有3×6＝18件，故P(A)=18由选项B知P(D)=4而事件AD包含的基本事件有（3，6），（5，4）共2件，故P(AD)=2所以P（AD）＝P（A）P（D），故A与D独立，故C正确；对于D，事件B的基本事件有6×3＝18件，故P(B)=1836=12而事件BC包含的基本事件有（2，6），（4，4），（6，2）共3件，故P(BC)=3所以P(B)P(C)=12×536=5故选：BC．（多选）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝45°，c＝2，下列说法正确的是（）A．若a=3，△ABCB．若a＝3，△ABC有两解 C．若△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是(2D．若△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是(0，【解答】解：由A＝45°，c＝2，过点B作BD⊥AC，垂足为D.BD＝csinA＝2×sin45°=2由a=3满足2＜3a＝3≥2时，△ABC只有一解．若△ABC为钝角三角形，则C或B为钝角，则0＜b＜2或b＞22若△ABC为直角三角形，则C或B为直角，则b=2，b＝22若△ABC为锐角三角形，则2＜b＜22综上可得：只有AC正确．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，13．（5分）设有两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi＝axi+b（i＝1，2…，n，其中a，b非零常数），若这两组数据的方差分别为σx2和σy2，则σx2和σy2之间的关系是σy2＝a2σx2．【解答】解：∵两组数据：x1，x2，…xn与y1，y2，…yn，它们之间存在关系式：yi＝axi+b即第二组数据是第一组数据的a倍还要整体加上b，在一列数字上同时加上一个数字方差不变，而同时乘以一个数字方差要乘以这个数字的平方，∴σx2和σy2之间的关系是σy2＝a2σx2，故答案为：σy2＝a2σx2，14．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为2π3【解答】解：边长为a＝5、b＝7、c＝8的三角形ABC中，cosB=5B∈（0，π），∴B=π∴△ABC的最大角C与最小角A的和为π﹣B=2π故答案为：2π315．（5分）已知向量a→=(2，1)，b→=(x，2)，若b→在a→方向上的投影向量为a【解答】解：∵a→∴a→•b→=2x+2，|a∴b→在a→方向上的投影向量为a→∵b→在a→方向上的投影向量为∴2x+25=1，∴x故答案为：3216．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为12，该纸片，上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH使得点E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为100π3【解答】解：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x（x＞0）cm，则OI=x因为该四棱维的侧面积是底面积的2倍，所以4×x2×(6-设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，如图，则QP=QC=R，OC=22所以R2=(23所以外接球的表面积为S=4π(故答案为：100π3四、解答题：本题共6小题，其中第17题10分，其余各题为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）设ω=-1（1）求证：1+ω+ω2＝0；（2）计算：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）．【解答】（1）证明：∵ω=-12∴ω2=-1∴1+ω+ω2＝1+（-12+3（2）解：（1+ω﹣ω2）（1﹣ω+ω2）＝[1-12+32i﹣（-1=(1+3＝1﹣2＝﹣1．18．（12分）已知sinα=45，α∈(π2，π)（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cos（α+β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵sinα=45，α∈(π2∴tanα=sinαcosα=-4（Ⅱ）∵cosβ=-513，β是第三象限角，∴sinβ故cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=6319．（12分）为测量地形不规则的一个区域的径长AB，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到∠ACB＝∠DCB，∠ACD为钝角，AC＝5，AD＝7，sin∠ADC=2（1）求sin∠ACB的值；（2）若测得∠BDC＝∠BCD，求待测径长AB．【解答】解：（1）在△ACD中，由正弦定理可得：ACsin∠ADC则sin∠ACD=265，因为∠ACB＝∠DCB所以cos∠ACD=-15，所以（2）在△ACD，由余弦定理可得：cos∠ACD=-1解得：CD＝4或CD＝﹣6（舍去），因为∠BDC＝∠BCD，所以BD＝BC，在△BCD，cos∠BDC=cos∠BCD=10由余弦定理可得：cos∠BDC=10解得：BD=BC=10cos∠BDC=105，sin∠BDC=155，cos∠ADB＝cos（∠BDC﹣∠ADC）＝cos∠BDCcos∠ADC+sin∠BDCsin∠ADC=10在△ABD，由余弦定理可得：AB故AB=1520．（12分）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，将笔试成绩按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（2）应聘者笔试成绩的众数为：70+802应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（3）由频率分布直方图可知：[90，100]中有：200×0.15＝30，[80，90）中有：200×0.2＝40，[70，80）中有：200×0.3＝60，[60，70）中有：200×0.2＝40，设分数线定为x，则x∈[60，70），（70﹣x）×0.02×200+30+40+60＝150，解得x＝65．故分数线为65．21．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．（1）求证：CD⊥AB；（2）当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．【解答】解：（1）在三棱锥A﹣BCD中，面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，又CD⊥BC，CD⊂面BCD，∴CD⊥面ABC，又∵AB⊂面ABC，∴CD⊥AB；（2）取BC中点F，连接AF，DF，如图，所以AF⊥BC，面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，因为AF⊂平面ABC，于是得AF⊥平面BCD，∠ADF是AD与平面BCD所成角，即∠ADF＝45°，令BC＝2，则DF＝AF=3，因CD⊥BC，即有DC=2，由（1）知DC⊥AC，则有AD＝BD过C作CO⊥AD于O，在平面ABD内过O作OE⊥AD交BD于点E，从而得∠COE是二面角C﹣AD﹣B的平面角，Rt△ACD中，CO=AC⋅CDAD=2△ABD中，由余弦定理得cos∠EDO=A∴DE=ODcos∠EDO=62，OE=DE2-OD△COE中，由余弦定理得cos∠COE=C∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为101022．（12分）设△ABC是边长为1的正三角形，点P1，P2，P3四等分线段BC（如图所示）．（1）求AB→（2）Q为线段AP1上一点，若AQ→=mAB（3）P为边BC上一动点，当PA→⋅PC【解答】解：（1）原式=A在△ABP1中，由余弦定理，得AP所以AB→（2）易知BP1→=1因为Q为线段AP1上一点，设AQ→所以m=1（3）①当P在线段BP2上时（不含P2），此时PA→②当P在线段P2C上时（不含P2），PA→要使当PA→⋅PC→最小，则P必在线段设|PC→|=x，由于AP2⊥BC，则PA→⋅PC→=|PA→|⋅|PC→|cos∠APC=|PC当x=14时，即当P为P3时，PA2022-2023学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z=i1-i，则A．12 B．-12 2．（5分）设全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则{﹣2}＝（）A．A∩B B．A∪B C．A∩（∁UB） D．（∁UA）∩B3．（5分）在边长为3的正方形ABCD中，DE→=2ECA．﹣5 B．5 C．15 D．254．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sinA：sinB：sinC＝4：5：6，则cosA＝（）A．-916 B．916 C．-5．（5分）函数f（x）＝x+2x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）6．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且a∥平面α，则“b⊥α”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）一组样本数据x1，x2，x3，…，x8的平均数为m，标准差为3．另一组样本数据x1，x2，x3，…，x8，m的平均数为x，标准差为s，则（）A．x=m，s＞3 B．x=m，s＜3 C．x≠m，s＞38．（5分）某船在海面上航行至A处，测得山顶P位于其正西方向且仰角为45°，该船继续沿南偏东30°的方向航行5百米至B处，测得山顶P的仰角为30°，则该山顶高于海面（）A．2.5百米 B．5百米 C．52百米 D．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）在△ABC中，M为边AB的中点，则（）A．AB→+AC→C．CM→=CA（多选）10．（5分）关于函数f(x)=sin(2x+πA．最小正周期为π B．f(πC．图象关于点(π3D．在[0，π（多选）11．（5分）同时抛掷两枚硬币，记“出现两个正面”为事件A，“出现两个反面”为事件B，则（）A．A+B为必然事件 B．AB为不可能事件 C．A与B为互斥事件 D．A与B为独立事件（多选）12．（5分）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠D1A1B1＝60°，AA1＝A1B1＝A1D1＝2，M，N分别为棱BB1，B1C1的中点，则（）A．D1N⊥BC B．A1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为34C．三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的表面积为28π3D．点A1到平面AMN的距离为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某学生8次素养测试的成绩统计如下：72，76，78，82，86，88，92，98，则该组数据的第80百分位数为．14．（5分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为．15．（5分）满足z2∈R，|z﹣i|＝1的一个复数z＝．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=2π3，a＝4，D为BC的中点，AD=2，则△ABC四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在85cm～105cm为三类树，底部周长在105cm～125cm为二类树，底部周长大于或等于125cm为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长（单位：cm），数据均落在85cm～135cm之间，按照[85，95），[95，105），[105，115），[115，125），[125，135]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）估计该片经济林中二类树约占多少；（2）将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，M，N分别为AB，AC的中点．（1）证明：MN∥平面PBC；（2）证明：平面PMN⊥平面PAB．19．（12分）已知向量a→=(3（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f(α2)=-20．（12分）某校知识竞赛分初赛、复赛两轮．某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲的成绩（分）10090120130105115乙的成绩（分）9512511095100135（1）试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象；（2）初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛．若某参赛者会5道中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3（1）求B；（2）若a=1，b=3，点M在边AC上，连接BM并延长至点D，且∠ADC=2π3．求△ACD22．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥DC，BC⊥侧面ABB1A1，AB＝2，AA1＝A1B1＝BB1＝BC＝CD＝1，E为CD的中点，F为棱AB上的点，C1F∥平面ADD1A1．（1）证明：平面C1EF∥平面ADD1A1；（2）求AF；（3）求二面角C1﹣AB﹣C的大小．

2022-2023学年江苏省南通市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z=i1-i，则A．12 B．-12 【解答】解：z=i∴z的实部为-1故选：B．2．（5分）设全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则{﹣2}＝（）A．A∩B B．A∪B C．A∩（∁UB） D．（∁UA）∩B【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝{﹣1，0，1，2}，A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，故AB错误；A∩（∁UB）＝{﹣2}，故C正确；（∁UA）∩B＝{3}，故D错误．故选：C．3．（5分）在边长为3的正方形ABCD中，DE→=2ECA．﹣5 B．5 C．15 D．25【解答】解：如图，DE→=2EC∴AE→=2又DA＝DC＝3，DA⊥DC，∴AC→故选：C．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sinA：sinB：sinC＝4：5：6，则cosA＝（）A．-916 B．916 C．-【解答】解：sinA：sinB：sinC＝4：5：6，则由正弦定理可设，a＝4k，b＝5k，c＝6k，故cosA=b故选：D．5．（5分）函数f（x）＝x+2x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2）【解答】解：因为f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝﹣1+1由函数零点的存在性定理，函数f（x）＝x+2x的零点所在的区间为（﹣1，0）故选：C．6．（5分）已知a，b是两条不同的直线，且a∥平面α，则“b⊥α”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：a∥平面α，若”b⊥α”，显然可以得到“a⊥b”，若“a⊥b”，b也有可能在α上，不能推出”b⊥α”，所以”b⊥α”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）一组样本数据x1，x2，x3，…，x8的平均数为m，标准差为3．另一组样本数据x1，x2，x3，…，x8，m的平均数为x，标准差为s，则（）A．x=m，s＞3 B．x=m，s＜3 C．x≠m，s＞3【解答】解：因为m=x所以x1+x2+⋯+x8＝8m，则x=因为32s2=19[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+…+（x8﹣m）2+（m﹣m）=19[（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+…+（x8﹣m）2+0又19所以s2＜9，解得s＜3，则x=m，s故选：B．8．（5分）某船在海面上航行至A处，测得山顶P位于其正西方向且仰角为45°，该船继续沿南偏东30°的方向航行5百米至B处，测得山顶P的仰角为30°，则该山顶高于海面（）A．2.5百米 B．5百米 C．52百米 D．5【解答】解：如图所示：设山顶高于海面的距离为h，由题意，∠PAC＝45°，∠PBC＝30°，所以AC=htan45=h在△ABC中，AB＝5，∠CAB＝120°，由余弦定理得BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos120°，即(3h)2=h解得h＝5或h＝﹣2.5（舍去），所以该山顶高于海面5百米．故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）在△ABC中，M为边AB的中点，则（）A．AB→+AC→C．CM→=CA【解答】解：选项A，由向量加法的平行四边形法则可知，AB→+AC选项B，由向量减法，MA→-MC选项C，由M为AB中点，可得AM→即CM→=CA选项D，由M为AB中点，可得AM→=MB故选：BCD．（多选）10．（5分）关于函数f(x)=sin(2x+πA．最小正周期为π B．f(πC．图象关于点(π3D．在[0，π【解答】解：选项A，T=2π2=π选项B，f（π2）＝sin（2×π2+π选项C，∵f（π3）＝sinπ＝0，∴（π3，0）是f（x选项D，当x∈[0，π6]时，2x+π3∈[π∴f（x）＝sin（2x+π3）的最大值为1．故故选：ACD．（多选）11．（5分）同时抛掷两枚硬币，记“出现两个正面”为事件A，“出现两个反面”为事件B，则（）A．A+B为必然事件 B．AB为不可能事件 C．A与B为互斥事件 D．A与B为独立事件【解答】解：同时抛掷两枚硬币的所有结果：正正，反反，正反，反正，共4个基本事件；A+B不是必然事件，所以A不正确；事件A与事件B不能同时发生，所以AB为不可能事件，所以B正确；显然A与B是互斥事件，所以C正确；A与B是同一个事件中不同的情况，所以不是独立事件，所以D不正确；故选：BC．（多选）12．（5分）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠D1A1B1＝60°，AA1＝A1B1＝A1D1＝2，M，N分别为棱BB1，B1C1的中点，则（）A．D1N⊥BC B．A1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为34C．三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的表面积为28π3D．点A1到平面AMN的距离为2【解答】解：对于A选项，连接B1D1，D1N，因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，且A1B1＝A1D1＝2，则A1B1C1D1为菱形，因为∠D1A1B1＝60°，则∠B1C1D1＝60°，且B1C1＝C1D1＝2，故△B1C1D1为等边三角形，因为N为B1C1的中点，则D1N⊥B1C1，因为BB1∥CC1且BB1＝CC1，则四边形BB1C1C为平行四边形，所以，BC∥B1C1，故D1N⊥BC，故A正确；对于B选项，过点C在平面ABCD内作CE⊥AB，垂足为点E，连接A1E1，因为AA1⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，CE⊥AA1，因为CE⊥AB，AB∩AA1＝A，AB、AA1⊂平面AA1B1B，则CE⊥平面AA1B1B，所以A1C与平面AA1B1B所成角为∠CAE．因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，故∠BAC＝30°，由余弦定理可得AC==22+因为CE⊥AB，则CE=12AC=3，因为AA1⊥平面ABCD，AC则AA1⊥AC，所以，A1C=A因为CE⊥平面AA1B1B，A1E⊂平面AA1B1B，则CE⊥A1E，所以A1所以，cos∠CA1E=A1EA1C=134，即A1C与平面AA对于C选项，如下图所示：圆柱O1O2的底面圆直径为2r，母线长为h，则O1O2的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O为圆柱O1O2的外接球球心．且有（2r）2+h2＝（2R）2，可将直三棱柱ABD﹣A1B1D1置于圆柱O1O2内，使得△A1B1D1、△ABD的外接圆分别为圆O1，圆O2，如图所示：因为AB＝AD＝2，∠DAB＝60°，则△ABD为等边三角形，故圆O2的直径为2r=AB所以，三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的直径为2R=(2r所以，三棱柱ABD﹣A1B1D1的外接球的表面积为π⋅(2R)2=π×(对于D选项，连接A1M，A1N，如下图所示：因为AA1⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则AA1⊥AB，又因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，则四边形AA1B1B为矩形，所以，S△AA1M=1因为CC1∥BB1，CC1⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，则CC1∥平面AA1B1B，所以，点C1到平面AA1B1B的距离等于CE=3因为点N为B1C1的中点，则点N到平面AA1B1B的距离为12所以，VN-A因为四边形AA1B1B为矩形，则AB⊥BM，因为AB＝2，BM＝1，则AM=4B2在△A1B1N，A1B1＝2，B1N＝1，∠A1B1N＝120°，由余弦定理可得A1N=A因为AA1⊥平面A1B1C1D1，A1N⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥A1N，所以，AN=A所以，cos∠AMN=A则sin∠AMN=1-co所以，S△AMN=12AM•MNsin∠AMN设点A1到平面AMN的距离为d，由VA1-AMN=VN-AA1M，得13即A1到平面AMN的距离为2，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某学生8次素养测试的成绩统计如下：72，76，78，82，86，88，92，98，则该组数据的第80百分位数为92．【解答】解：8×0.8＝6.4，故该组数据的第80百分位数为92．故答案为：92．14．（5分）已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为3π3【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则l=22π=2πr，解得r＝1，l∴圆锥的高h=l2-r2=3．∴圆锥的体积V故答案为3π15．（5分）满足z2∈R，|z﹣i|＝1的一个复数z＝0或2i．【解答】解：设z＝a+bi，z2＝a2﹣b2+2abi，|z﹣i|＝|a+（b﹣1）i|，根据题意，有ab＝0，a2+（b﹣1）2＝1，若a＝0，则b＝0或2，若b＝0，则a＝0，所以z＝0或2i．故答案为：0或2i．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=2π3，a＝4，D为BC的中点，AD=2，则△ABC的周长为4【解答】解：在△ABC中，由余弦定理有：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2+bc＝16，①∵D为BC的中点，∴AD→∴AD→∴b2+c2﹣bc＝8，②由①②解得：b2∴（b+c）2＝b2+c2+2bc＝12+2×4＝20，∴b+c=25，∴a+b+c=4+2∴△ABC的周长为4+25故答案为：4+25四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在85cm～105cm为三类树，底部周长在105cm～125cm为二类树，底部周长大于或等于125cm为一类树．为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长（单位：cm），数据均落在85cm～135cm之间，按照[85，95），[95，105），[105，115），[115，125），[125，135]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）估计该片经济林中二类树约占多少；（2）将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长．【解答】（1）解：因为10（0.007+0.018+0.039+a+0.015）＝1，解得a＝0.021，因为底部周长在105cm～125cm为二类树，由图知0.039×10+0.021×10＝0.6，则该片经济林中二类树木约占60%；（2）若将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，则90×0.07+100×0.18+110×0.39+120×0.21+130×0.15＝6.3+18+42.9+25.2+19.5＝111.9cm．故该经济林中树木的平均底部周长为111.9cm．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，M，N分别为AB，AC的中点．（1）证明：MN∥平面PBC；（2）证明：平面PMN⊥平面PAB．【解答】证明：（1）因为M，N分别为AB，AC的中点，所以MN∥BC，而MN不在面PBC，BC⊂面PBC，所以可证得：MN∥面PBC；（2）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥面PAB，由（1）可得MN∥BC，所以MN⊥面PAB，而MN⊂面PMN，所以可证得：平面PMN⊥平面PAB．19．（12分）已知向量a→=(3（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f(α2)=-【解答】解：（1）a→∴f(x)=sin(2x+π解-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∴f（x）的单调递增区间为[-π（2）f(α∵α∈(-π2，0)∴cos(α+π∴sinα=sin[(α+π20．（12分）某校知识竞赛分初赛、复赛两轮．某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人6次模拟测试的成绩，统计结果如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲的成绩（分）10090120130105115乙的成绩（分）9512511095100135（1）试根据以上数据比较两名同学的水平，并确定参加初赛的对象；（2）初赛要求如下：参赛者从5道试题中随机抽取3道作答，至少答对2道方可进入复赛．若某参赛者会5道中的3道，求该参赛者能进入复赛的概率．【解答】解：（1）甲的平均分：（100+90+120+130+105+115）÷6＝