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文档简介
陕西省西安交通大附属中学2024年十校联考最后数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.袋子中装有4个黑球和2个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的条件下,随机地从袋子中摸出三个球.下列事件是必然事件的是()A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球B.摸出的三个球中至少有一个球是白球C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球D.摸出的三个球中至少有两个球是白球2.运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是⊙O的直径,CD,EF是⊙O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8.则图中阴影部分的面积是(
)A. B. C. D.3.下列函数中,当x>0时,y值随x值增大而减小的是()A.y=x2 B.y=x﹣1 C. D.4.向某一容器中注水,注满为止,表示注水量与水深的函数关系的图象大致如图所示,则该容器可能是()A. B.C. D.5.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-5m+3=0有一个根为1,则m的值为A.1 B.3 C.0 D.1或36.某经销商销售一批电话手表,第一个月以550元/块的价格售出60块,第二个月起降价,以500元/块的价格将这批电话手表全部售出,销售总额超过了5.5万元.这批电话手表至少有()A.103块 B.104块 C.105块 D.106块7.如图,函数y=kx+b(k≠0)与y=(m≠0)的图象交于点A(2,3),B(-6,-1),则不等式kx+b>的解集为()A. B. C. D.8.下列计算结果是x5的为()A.x10÷x2B.x6﹣xC.x2•x3D.(x3)29.下列命题是真命题的是()A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行B.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧D.若三角形的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ac+bc+ab,则该三角形是正三角形10.某班体育委员对本班学生一周锻炼(单位:小时)进行了统计,绘制了如图所示的折线统计图,则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是()A.10 B.11 C.12 D.13二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE=_____.12.一元二次方程2x2﹣3x﹣4=0根的判别式的值等于_____.13.已知m=,n=,那么2016m﹣n=_____.14.把抛物线y=2x2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的新的抛物线的表达式是_____.15.如图,在边长相同的小正方形网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB与CD相交于点P,则tan∠APD的值为______.16.如图,某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形DAB的面积为__________.17.已知是锐角,那么cos=_________.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动.甲网店销售的A商品的成本为30元/件,网上标价为80元/件.“双十一”购物活动当天,甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客,问该店平均每次降价率为多少时,才能使A商品的售价为39.2元/件?据媒体爆料,有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动,存在欺诈行为.“双十一”活动之前,乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致,一周可售出1000件A商品.在“双十一”购物活动当天,乙网店先将A商品的网上标价提高a%,再推出五折促销活动,吸引了大量顾客,乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%,“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元,求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价.19.(5分)如图,在△AOB中,∠ABO=90°,OB=1,AB=8,反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA,AB于点C和点D,且△BOD的面积S△BOD=1.求反比例函数解析式;求点C的坐标.20.(8分)已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A,B两点(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为C,直线y=x+3与x轴交于点D.(1)求抛物线的顶点C的坐标及A,B两点的坐标;(2)将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度,再向左平移t(t>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点E在△DAC内,求t的取值范围;(3)点P(m,n)(﹣3<m<1)是抛物线y=x2﹣6x+9上一点,当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时,求m,n的值.21.(10分)如图,在⊙O中,弦AB与弦CD相交于点G,OA⊥CD于点E,过点B的直线与CD的延长线交于点F,AC∥BF.(1)若∠FGB=∠FBG,求证:BF是⊙O的切线;(2)若tan∠F=,CD=a,请用a表示⊙O的半径;(3)求证:GF2﹣GB2=DF•GF.22.(10分)如图,已知⊙O经过△ABC的顶点A、B,交边BC于点D,点A恰为的中点,且BD=8,AC=9,sinC=,求⊙O的半径.23.(12分)先化简,再求值:,其中满足.24.(14分)张老师在黑板上布置了一道题:计算:2(x+1)2﹣(4x﹣5),求当x=和x=﹣时的值.小亮和小新展开了下面的讨论,你认为他们两人谁说的对?并说明理由.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、A【解析】
根据必然事件的概念:在一定条件下,必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.【详解】A、是必然事件;B、是随机事件,选项错误;C、是随机事件,选项错误;D、是随机事件,选项错误.故选A.2、A【解析】【分析】作直径CG,连接OD、OE、OF、DG,则根据圆周角定理求得DG的长,证明DG=EF,则S扇形ODG=S扇形OEF,然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆,即可求解.【详解】作直径CG,连接OD、OE、OF、DG.∵CG是圆的直径,∴∠CDG=90°,则DG==8,又∵EF=8,∴DG=EF,∴,∴S扇形ODG=S扇形OEF,∵AB∥CD∥EF,∴S△OCD=S△ACD,S△OEF=S△AEF,∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=,故选A.【点睛】本题考查扇形面积的计算,圆周角定理.本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键.3、D【解析】A、、∵y=x2,∴对称轴x=0,当图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增大;而在对称轴左侧,y随着x的增大而减小,故此选项错误B、k>0,y随x增大而增大,故此选项错误C、B、k>0,y随x增大而增大,故此选项错误D、y=(x>0),反比例函数,k>0,故在第一象限内y随x的增大而减小,故此选项正确4、D【解析】
根据函数的图象和所给出的图形分别对每一项进行判断即可.【详解】由函数图象知:随高度h的增加,y也增加,但随h变大,每单位高度的增加,注水量h的增加量变小,图象上升趋势变缓,其原因只能是水瓶平行于底面的截面的半径由底到顶逐渐变小,故D项正确.故选:D.【点睛】本题主要考查函数模型及其应用.5、B【解析】
直接把x=1代入已知方程即可得到关于m的方程,解方程即可求出m的值.【详解】∵x=1是方程(m﹣1)x2+x+m2﹣5m+3=0的一个根,∴(m﹣1)+1+m2﹣5m+3=0,∴m2﹣4m+3=0,∴m=1或m=3,但当m=1时方程的二次项系数为0,∴m=3.故答案选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的运算.6、C【解析】试题分析:根据题意设出未知数,列出相应的不等式,从而可以解答本题.设这批手表有x块,550×60+(x﹣60)×500>55000解得,x>104∴这批电话手表至少有105块考点:一元一次不等式的应用7、B【解析】
根据函数的图象和交点坐标即可求得结果.【详解】解:不等式kx+b>的解集为:-6<x<0或x>2,
故选B.【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题关键是注意掌握数形结合思想的应用.8、C【解析】解:A.x10÷x2=x8,不符合题意;B.x6﹣x不能进一步计算,不符合题意;C.x2x3=x5,符合题意;D.(x3)2=x6,不符合题意.故选C.9、D【解析】
根据真假命题的定义及有关性质逐项判断即可.【详解】A、真命题为:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项错误;B、真命题为:对角线相等且互相垂直的四边形是正方形或等腰梯形,故本选项错误;C、真命题为:平分弦的直径垂直于弦(非直径),并且平分弦所对的弧,故本选项错误;D、∵a2+b2+c2=ac+bc+ab,∴2a2+2b2+2c2-2ac-2bc-2ab=0,∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,∴a=b=c,故本选项正确.故选D.【点睛】本题考查了命题的真假,熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键,当命题的条件成立时,结论也一定成立的命题叫做真命题;当命题的条件成立时,不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题.熟练掌握所学性质是解答本题的关键.10、B【解析】
根据统计图中的数据可以求得本班的学生数,从而可以求得该班这些学生一周锻炼时间的中位数,本题得以解决.【详解】由统计图可得,本班学生有:6+9+10+8+7=40(人),该班这些学生一周锻炼时间的中位数是:11,故选B.【点睛】本题考查折线统计图、中位数,解答本题的关键是明确题意,会求一组数据的中位数.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、【解析】
∵在Rt△ABC中,BC=6,sinA=∴AB=10∴.∵D是AB的中点,∴AD=AB=1.∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A∴△ADE∽△ACB,∴即解得:DE=.12、41【解析】
已知一元二次方程的根判别式为△=b2﹣4ac,代入计算即可求解.【详解】依题意,一元二次方程2x2﹣3x﹣4=0,a=2,b=﹣3,c=﹣4∴根的判别式为:△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×(﹣4)=41故答案为:41【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为△=b2﹣4ac是解决问题的关键.13、1【解析】
根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的幂的积,然后化简从而得到m=n,再根据任何非零数的零次幂等于1解答.【详解】解:∵m===,∴m=n,∴2016m-n=20160=1.故答案为:1【点睛】本题考查了同底数幂的除法,积的乘方的性质,难点在于转化m的分母并得到m=n.14、y=1(x﹣3)1﹣1.【解析】
抛物线的平移,实际上就是顶点的平移,先求出原抛物线的顶点坐标,再根据平移规律,推出新抛物线的顶点坐标,根据顶点式可求新抛物线的解析式.【详解】∵y=1x1的顶点坐标为(0,0),∴把抛物线右平移3个单位,再向下平移1个单位,得新抛物线顶点坐标为(3,﹣1),∵平移不改变抛物线的二次项系数,∴平移后的抛物线的解析式是y=1(x﹣3)1﹣1.故答案为y=1(x﹣3)1﹣1.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移,其规律是是:将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)1+k
(a,b,c为常数,a≠0),确定其顶点坐标(h,k),在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.15、1【解析】
首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACP∽△BDP,然后由相似三角形的对应边成比例,易得DP:CP=1:3,即可得PF:CF=PF:BF=1:1,在Rt△PBF中,即可求得tan∠BPF的值,继而求得答案.【详解】如图:,连接BE,∵四边形BCED是正方形,∴DF=CF=12CD,BF=1∴BF=CF,根据题意得:AC∥BD,∴△ACP∽△BDP,∴DP:CP=BD:AC=1:3,∴DP:DF=1:1,∴DP=PF=12CF=1在Rt△PBF中,tan∠BPF=BFPF∵∠APD=∠BPF,∴tan∠APD=1.
故答案为:1【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,三角函数的定义.此题难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,注意转化思想与数形结合思想的应用.16、【解析】
设扇形的圆心角为n°,则根据扇形的弧长公式有:,解得所以17、【解析】
根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长,再根据勾股定理求出另一直角边的长,由三角函数的定义直接解答即可.【详解】由sinα==知,如果设a=x,则c=2x,结合a2+b2=c2得b=x.∴cos==.故答案为.【点睛】本题考查的知识点是同角三角函数的关系,解题的关键是熟练的掌握同角三角函数的关系.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)平均每次降价率为30%,才能使这件A商品的售价为39.2元;(2)乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为1元.【解析】
(1)设平均每次降价率为x,才能使这件A商品的售价为39.2元,根据原标价及经过两次降价后的价格,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论;(2)根据总利润=每件的利润×销售数量,即可得出关于a的一元二次方程,解之取其正值即可得出a的值,再将其代入80(1+a%)中即可求出结论.【详解】(1)设平均每次降价率为x,才能使这件A商品的售价为39.2元,根据题意得:80(1﹣x)2=39.2,解得:x1=0.3=30%,x2=1.7(不合题意,舍去).答:平均每次降价率为30%,才能使这件A商品的售价为39.2元.(2)根据题意得:[0.5×80(1+a%)﹣30]×10(1+2a%)=30000,整理得:a2+75a﹣2500=0,解得:a1=25,a2=﹣1(不合题意,舍去),∴80(1+a%)=80×(1+25%)=1.答:乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为1元.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.19、(1)反比例函数解析式为y=;(2)C点坐标为(2,1)【解析】
(1)由S△BOD=1可得BD的长,从而可得D的坐标,然后代入反比例函数解析式可求得k,从而得解析式为y=;(2)由已知可确定A点坐标,再由待定系数法求出直线AB的解析式为y=2x,然后解方程组即可得到C点坐标.【详解】(1)∵∠ABO=90°,OB=1,S△BOD=1,∴OB×BD=1,解得BD=2,∴D(1,2)将D(1,2)代入y=,得2=,∴k=8,∴反比例函数解析式为y=;(2)∵∠ABO=90°,OB=1,AB=8,∴A点坐标为(1,8),设直线OA的解析式为y=kx,把A(1,8)代入得1k=8,解得k=2,∴直线AB的解析式为y=2x,解方程组得或,∴C点坐标为(2,1).20、(1)C(2,0),A(1,4),B(1,9);(2)<t<5;(2)m=,∴n=.【解析】分析:(Ⅰ)将抛物线的一般式配方为顶点式即可求出点C的坐标,联立抛物线与直线的解析式即可求出A、B的坐标.(Ⅱ)由题意可知:新抛物线的顶点坐标为(2﹣t,1),然后求出直线AC的解析式后,将点E的坐标分别代入直线AC与AD的解析式中即可求出t的值,从而可知新抛物线的顶点E在△DAC内,求t的取值范围.(Ⅲ)直线AB与y轴交于点F,连接CF,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥x轴于点N,交DB于点G,由直线y=x+2与x轴交于点D,与y轴交于点F,得D(﹣2,0),F(0,2),易得CF⊥AB,△PAB的面积是△ABC面积的2倍,所以AB•PM=AB•CF,PM=2CF=1,从而可求出PG=3,利用点G在直线y=x+2上,P(m,n),所以G(m,m+2),所以PG=n﹣(m+2),所以n=m+4,由于P(m,n)在抛物线y=x2﹣1x+9上,联立方程从而可求出m、n的值.详解:(I)∵y=x2﹣1x+9=(x﹣2)2,∴顶点坐标为(2,0).联立,解得:或;(II)由题意可知:新抛物线的顶点坐标为(2﹣t,1),设直线AC的解析式为y=kx+b将A(1,4),C(2,0)代入y=kx+b中,∴,解得:,∴直线AC的解析式为y=﹣2x+1.当点E在直线AC上时,﹣2(2﹣t)+1=1,解得:t=.当点E在直线AD上时,(2﹣t)+2=1,解得:t=5,∴当点E在△DAC内时,<t<5;(III)如图,直线AB与y轴交于点F,连接CF,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥x轴于点N,交DB于点G.由直线y=x+2与x轴交于点D,与y轴交于点F,得D(﹣2,0),F(0,2),∴OD=OF=2.∵∠FOD=90°,∴∠OFD=∠ODF=45°.∵OC=OF=2,∠FOC=90°,∴CF==2,∠OFC=∠OCF=45°,∴∠DFC=∠DFO+∠OFC=45°+45°=90°,∴CF⊥AB.∵△PAB的面积是△ABC面积的2倍,∴AB•PM=AB•CF,∴PM=2CF=1.∵PN⊥x轴,∠FDO=45°,∴∠DGN=45°,∴∠PGM=45°.在Rt△PGM中,sin∠PGM=,∴PG===3.∵点G在直线y=x+2上,P(m,n),∴G(m,m+2).∵﹣2<m<1,∴点P在点G的上方,∴PG=n﹣(m+2),∴n=m+4.∵P(m,n)在抛物线y=x2﹣1x+9上,∴m2﹣1m+9=n,∴m2﹣1m+9=m+4,解得:m=.∵﹣2<m<1,∴m=不合题意,舍去,∴m=,∴n=m+4=.点睛:本题是二次函数综合题,涉及待定系数法,解方程,勾股定理,三角形的面积公式,综合程度较高,需要学生综合运用所学知识.21、(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.【解析】
(1)根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA,然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°,从而推出∠FBG+∠OBA=90°,从而得到OB⊥FB,再根据切线的定义证明即可.(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠ACF=∠F,根据垂径定理可得CE=CD=a,连接OC,设圆的半径为r,表示出OE,然后利用勾股定理列式计算即可求出r.(3)连接BD,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF,然后求出∠DBG=∠F,从而求出△BDG和△FBG相似,根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG2,然后代入等式左边整理即可得证.【详解】解:(1)证明:∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∵
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