2014-2018全国各省文科立体几何大题真题

第页）2014-2018全国各省文科立体几何大题真题一、解答题（共35小题；共455分）1.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=6， （1）求证：FG∥（2）求证：平面BED⊥（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．2.如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G． （1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．3.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为 （1）证明MN∥（2）求四面体N-BCM的体积．4.如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90∘，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且 （1）证明：平面ACD⊥（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=23DA5.如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M分别为 （1）求证：VB（2）求证：平面MOC⊥（3）求三棱锥V-ABC的体积．6.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC （1）证明：PO⊥平面（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．7.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD （1）求证：PE⊥BC；（2）求证：平面PAB⊥（3）求证：EF∥9.如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． 1.证明：AC⊥BD； 2.已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．10.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD （1）证明：直线BC（2）若△PCD面积为27，求四棱锥P-ABCD11.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且 （1）证明：平面PAB⊥（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，且四棱锥P-ABCD的体积为12.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥（3）当PA∥平面BDE13.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面 （1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（2）求证：PD⊥平面（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．14.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1 （1）证明：A1（2）设M是OD的中点，证明：平面A15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥ （1）求证：DC⊥平面（2）求证：平面PAB⊥（3）设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥16.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥ （1）已知AB=BC，AE=EC．求证：AC⊥FB；（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥17.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△DʹEF的位置． （1）证明：AC⊥HDʹ；（2）若AB=5，AC=6，AE=54，ODʹ=2218.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD， （1）证明：MN∥（2）求四面体N-BCM的体积．19.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为5π6，A （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B120.如图，在四棱锥中P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90 （1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥（2）证明：平面PAB⊥平面21.如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P-AOC的体积，并求异面直线PA与OE所成角的余弦值． 22.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．23.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示， （1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；（3）证明：直线DF⊥平面24.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2， （1）求三棱锥P-ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC25.如图，三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （1）求证：BD∥（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥26.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3． （1）证明：BC∥（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C到平面PDA的距离．27.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD （1）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体（2）记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求28.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E， （1）证明：平面AEF⊥（2）若直线A1C与平面A1ABB29.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1． （1）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面（2）求三棱锥P-ABC体积的最大值；（3）若BC=2，点E在线段PB上，求CE+OE30.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，∠BAD= （1）求证：FG∥（2）求证：平面BED⊥（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.31.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面 （1）证明：平面AEC⊥（2）若∠ABC=120∘，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为32.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=25， （1）求证：EF∥（2）求证：平面AE（3）求直线A1B133.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，A1A=4， （1）证明：A1（2）求直线A1B和平面34.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=π2，点D，E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F （1）证明：AB⊥平面（2）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长．35.如图（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=BC=12AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE （1）证明：CD⊥平面（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，四棱锥A答案第一部分1.（1）设BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，因为G是BC的中点，所以OG∥DC，且又因为EF∥AB，所以EF∥OG，且EF=OG，即四边形所以FG∥因为FG⊄平面BED，所以FG∥

（2）在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60由余弦定理可得BD=3，进而得∠ADB=90∘又因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂所以BD⊥平面因为BD⊂平面所以平面BED⊥

（3）因为EF∥所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面由（2）知AH⊥平面所以直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD=1，DE=3，AE=6，由余弦定理得cos所以sin∠ADE=所以AH=AD⋅5在Rt△AHB中，sin所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为562.（1）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD．因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE．所以AB⊥平面故AB⊥PG．又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点．

（2）如图，在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由（1）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=2由题设可得PC⊥平面PAB，所以DE∥因此PE=23PG由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PE=22在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=13.（1）取PB中点Q，连接AQ，NQ．因为N是PC中点，NQ∥BC，且又AM=23AD=所以QN∥AM，且所以AQNM是平行四边形．所以MN∥又MN⊄平面PAB，AQ⊂平面PAB，所以MN∥

（2）由（1）QN∥所以VN-BCM所以VN-BCM4.（1）由已知可得，∠BAC=90∘，又BA⊥AD，所以AB⊥平面又AB⊂平面所以平面ACD⊥

（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32又BP=DQ=2所以BP=22作QE⊥AC，垂足为E，则QE∥DC，由已知及（1）可得DC⊥平面所以QE⊥平面ABC，因此，三棱锥Q-ABP的体积为V5.（1）因为O，M分别为，AB，VA的中点，所以OM∥又因为VB⊄平面又因为MO⊂平面所以VB∥

（2）因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB，又因为平面VAB⊥平面ABC所以OC⊥平面所以平面MOC⊥

（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=2所以AB=2，OC=1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB又因为OC⊥平面所以VC-ABV又因为VV-ABC所以VV-ABC6.（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23连接OB．因为AB=BC=2所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=1由OP2+O由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=12AC=2，CM=所以OM=253所以点C到平面POM的距离为457.（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD因为BC⊥CD，BC⊂平面所以BC⊥平面CMD，故因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面而DM⊂平面故平面AMD⊥

（2）当P为AM的中点时，MC∥证明如下：连接AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥MC⊄平面PBD，所以MC∥8.（1）因为平面PAD⊥平面ABCD因为PA=PD，E为AD中点，所以PE⊥AD．又PE⊂平面所以PE⊥平面又BC⊂平面所以PE⊥BC．

（2）因为平面PAD⊥平面ABCD因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD，又CD⊂平面所以CD⊥平面所以CD⊥PA，又PA⊥PD，且PD∩CD=D，所以PA⊥平面又PA⊂平面所以平面PAB⊥

（3）取PC中点G，连FG，DG，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG为△PBC的中位线，所以FG∥BC，又E为AD的中点，四边形ABCD为矩形，所以ED∥BC，所以FG∥ED，所以四边形EFGD为平行四边形，所以EF∥又EF⊄平面PCD，所以EF∥9.1.取AC中点O，连接DO，BO，因为△ABC是正三角形，AD=CD，所以DO⊥AC，BO⊥AC，因为DO∩BO=O，所以AC⊥平面因为BD⊂平面所以AC⊥BD．2.法一：连接OE，由（1）知AC⊥平面因为OE⊂平面所以OE⊥AC，设AD=CD=2，则OC=OA=1所以O是线段AC垂直平分线上的点，所以EC=EA=CD=2由余弦定理得：cos∠CBD=即4+4-22×2×2=4+BE2因为BE<BD=2，所以BE=1，所以BE=ED，因为四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，因为BE=ED，所以S△DCE所以四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．法二：设AD=CD=2，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1所以BO=4-1因为BO所以BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，则C-1,0,0，D0,0,1，B0,设Ea,b,c，DE则a,b,c-1=λ解得E0,所以CE=1,3因为AE⊥EC，所以AE⋅由λ∈0,1，解得λ=所以DE=BE，因为四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，因为DE=BE，所以S△DCE所以四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．10.（1）四棱锥P-ABCD中，因为∠BAD=∠ABC=90所以BC∥因为AD⊂平面PAD，所以直线BC

（2）设AD=2x，则AB=BC=x，CD=2设O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为E，连接OE，由题意得，四边形ABCO为正方形，则CO⊥AD．因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩所以PO⊥AD，PO⊥平面因为CO⊂底面所以PO⊥CO，则OE=22x，PO=△PCD面积为27，可得：1即：12×72x×则V11.（1）因为在四棱锥P-ABCD中，∠BAP=∠CDP=90所以AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥所以AB⊥PD，因为PA∩PD=P，所以AB⊥平面因为AB⊂所以平面PAB⊥

（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连接PO，因为PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，所以PO⊥底面ABCD，且AD=a因为四棱锥P-ABCD的体积为83所以VP-ABCD解得a=2，所以PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=22，PO=所以PB=PC=4+4所以该四棱锥的侧面积为：S12.（1）由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面可得PA⊥平面由BD⊂平面可得PA⊥BD．

（2）由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，可得平面PAC⊥又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂即有BD⊥平面PAC，可得平面BDE⊥

（3）PA∥平面BDE且平面PAC∩可得PA∥又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=1由PA⊥平面可得DE⊥平面可得S△BDC则三棱锥E-BCD的体积为1313.（1）如图，由已知AD∥故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，因为AD⊥平面所以AD⊥PD，在Rt△PDA中，由已知，得AP=故cos∠DAP=所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为55

（2）因为AD⊥平面PDC，直线所以AD⊥PD，又因为BC∥所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC=B，且PB⊂平面PBC，所以PD⊥平面

（3）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，因为PD⊥平面故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由于AD∥故BF=AD=1，由已知，得CF=BC-BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，DF=16+4=2所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5514.（1）取B1D1中点G，连接A因为四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，所以四棱柱ABCD-A1B1C1D所以四边形OCGA所以A1因为A1O⊄所以A1

（2）四棱柱ABCD-A1B1C1D因为M是OD的中点，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1又BD⊂所以BD⊥A因为四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，所以AO⊥BD，因为M是OD的中点，E为AD的中点，所以EM⊥BD，因为A1所以BD⊥平面因为BD∥所以B1因为B1所以平面A15.（1）因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，AC∩PC=C，所以DC⊥平面

（2）因为AB∥DC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．又AC∩PC=C，所以AB⊥平面又AB⊂平面PAB，所以

（3）棱PB上存在点F，使得PA∥取PB中点F，连接EF，CE，CF．又因为E为AB的中点，所以EF∥又因为PA⊄平面CEF，所以PA∥16.（1）连接DE，因为EF∥BD，所以EF与因为AE=EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC；同理可得BD⊥AC．又因为BD∩DE=D，所以AC⊥平面又因为FB⊂平面所以AC⊥FB．

（2）设FC的中点为I，连接GI，HI．在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥又EF∥所以GI∥在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥又GI∩HI=I，所以平面GHI∥因为GH⊂平面所以GH∥17.（1）由已知得AC⊥BD，AD=CD．又由AE=CF得AEAD故AC∥由此得EF⊥HD，EF⊥HDʹ，所以AC⊥HDʹ．

（2）由EF∥AC得由AB=5，AC=6得DO=BO=A所以OH=1，DʹH=DH=3．于是ODʹ故ODʹ⊥OH．由（1）知AC⊥HDʹ，又AC⊥BD，BD∩HDʹ=H，所以AC⊥平面BHDʹ，于是又由ODʹ⊥OH，AC∩OH=O，所以ODʹ⊥平面又由EFAC=DH五边形ABCFE的面积S=1所以五棱锥Dʹ-ABCFE的体积V=118.（1）由已知条件，得AM=2取BP的中点T，连接AT，TN．因为N为PC的中点，所以TN∥BC，所以TN=AM．又AD∥所以TN∥AM，且故四边形AMNT为平行四边形，所以MN∥因为AT⊂平面PAB，所以MN∥

（2）因为PA⊥平面ABCD，N为所以N到平面ABCD的距离为12取BC的中点E，连接AE．因为AB=AC=3，所以AE⊥BC，AE=A因为AM∥所以点M到BC的距离为5，故S△BCM所以四面体N-BCM的体积VN-BCM19.（1）由题意可知，圆柱的母线长l=1，底面半径r=1．圆柱的体积V=π圆柱的侧面积S=2π

（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则O所以∠COB或其补角为O1B1由A1B1长为π由AC长为5π6，可知∠AOC=5所以异面直线O1B1与OC20.（1）取棱AD的中点MM∈平面PAD理由如下：因为AD∥BC，所以BC∥AM，且所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥又AB⊂平面PAB，所以CM∥

（2）由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为AD∥BC，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面从而PA⊥BD．因为AD∥BC，所以BC∥MD，且所以四边形BCDM是平行四边形．所以BM=CD=1所以BD⊥AB．又AB∩AP=A，所以BD⊥平面又BD⊂平面所以平面PAB⊥平面21.VP-AOC因为AC∥OE，所以∠PAC为异面直线PA与由PO=2，OA=OC=1，得PA=PC=5，AC=在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC=故异面直线PA与OE所成角的余弦值为101022.（1）交线围成的正方形EHGF如图．

（2）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，E因为四边形EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10．于是MH=EH2-EM故S四边形A1因为长方体被平面α分为两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97（723.（1）点F，G，H的位置如图所示．

（2）平面BEG证明如下：因为六面体ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，又FG∥EH，所以BC∥EH，于是四边形BCHE为平行四边形．所以BE∥又CH⊂平面ACH，所以BE∥同理BG∥又BE∩BG=B，所以平面BEG

（3）连接FH，与EG交于点O，连接BD．因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面因为EG⊂平面所以DH⊥EG．又EG⊥FH，DH∩FH=H，所以EG⊥平面又DF⊂平面所以DF⊥EG．同理DF⊥BG．又EG∩BG=G，所以DF⊥平面24.（1）在△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=60又因为PA⊥面所以PA是三棱锥P-ABC的高，所以V

（2）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于则MN⊥面AC⊂此时M即为所找点，在△ABN中，易知AN=25.（1）证法一：如图，连接DG，CD，设CD∩GF=O，连接OH．在三梭台DEF-ABC中，AB=2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥又OH⊂平面FGH，所以BD∥证法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC=2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥又GH∩HF=H，所以平面FGH∥因为BD⊂平面所以BD∥

（2）如图，连接HE．因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥由AB⊥BC，得GH⊥BC．又H为BC的中点，所以EF∥HC，因此四边形EFCH是平行四边形．所以CF∥又CF⊥BC，所以HE⊥BC．又HE,GH⊂平面EGH，所以BC⊥平面又BC⊂平面所以平面BCD⊥26.（1）∵四边形ABCD为长方形，∴BC∥又BC⊄平面PDA，∴BC∥

（2）∵BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD且平面∴BC⊥平面∵PD⊂平面∴BC⊥PD．

（3）取CD的中点E，连接PE，AC．∵PD=PC，∴PE⊥CD，∴PE=P∵平面PDC⊥平面ABCD且∴PE⊥平面由（2）知BC⊥平面又AD∥∴AD⊥平面又PD⊂平面∴AD⊥PD．设点C到平面PDA的距离为h，则VC-PDA∴1∴h=S故点C到平面PDA的距离为3727.（1）因为PD⊥底面所以PD⊥BC．由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面因为DE⊂平面所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩BC=C，所以DE⊥平面由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠BCD，∠BCE，

（2）由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以V由（1）知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，所以V在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=V28.（1）证明：如图，因为三棱柱ABC-A所以AE⊥BB又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC,BC∩BB1于点B，因此AE⊥平面所以平面AEF⊥

（2）设AB的中点为D，连接A1D，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB．又三棱柱ABC-A所以CD⊥AA因此CD⊥平面A1ABB1，于是由题设，∠CA所以A1在RtAA1所以FC=1故三棱锥F-AEC的体积V=129.（1）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO．又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC．因为DO∩PO=O，所以AC⊥平面

（2）因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1．又AB=2，所以△ABC面积的最大值为12又因为三棱锥P-ABC的高PO=1，故三棱锥P-ABC体积的最大值为13

（3）解法一：在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90所以PB=1同理PC=2，所以PB=PC=BC在三棱锥P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCʹP，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，Cʹ共线时，CE+OE取得最小值．又因为OP=OB，CʹP=CʹB，所以OCʹ垂直平分PB，即E为PB的中点．从而OCʹ=OE+ECʹ=22+62解法二：在△POB中，PO=OB=1，∠POB＝所以∠OPB＝45∘同理，PC=2所以PB=PC=BC，所以∠CPB＝在三梭锥P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCʹP，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C'共线时，CE所以在△OCʹP中，由余弦定理得OC从而OCʹ=2+所以CE+OE的最小值为2+30.（1）取BD的中点为O，连接OE，OG．在△BCD中，因为G是BC的中点，所以OG∥DC，且又因为EF∥AB，所以EF∥OG，且从而四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥又FG⊄平面BED，所以FG∥

（2）在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60由余弦定理，得BD=3则∠ADB=90∘，即又平面AED⊥平面ABCD所以BD⊥平面又BD⊂平面所以平面BED⊥

（3）因为EF∥所以直线EF与平面BED所成的角就是直线AB与平面BED所成的角．过点A作AH⊥DE于点H，连接BH．因为平面BED⊥所以AH⊥平面BED，则∠ABH是直线AB与平面BED所成的角．在△ADE中，AD=1，DE=3，AE=6由余弦定理，得cos∠ADE=23，因为∠ADE因此AH=AD⋅sin在Rt△AHB中，sin所以直线AB与平面BED所成角的正弦值为5631.（1）因