3正方形的性质与判

第页3正方形的性质与判定基础闯关全练拓展训练1.已知四边形ABCD,则下列说法正确的是()A.若AB∥CD,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形B.若AC⊥BD,AC=BD,则四边形ABCD是矩形C.若AC⊥BD,AB=AD,CB=CD,则四边形ABCD是菱形D.若AB=BC=CD=AD,则四边形ABCD是正方形2.如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是边BM、CM的中点,当AB∶AD=时,四边形MENF是正方形.

能力提升全练拓展训练1.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变.当∠B=90°时,如图①,测得AC=2.当∠B=60°时,如图②,AC=()A.2B.2C.6D.222.(2019江苏徐州中考)如图,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别在边AD、CD上,若∠EBF=45°,则△EDF的周长等于.

3.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若∠DAC=∠EAD+∠AED,求证:四边形ABCD是正方形.三年模拟全练拓展训练1.(2019上海虹口二模,6,★☆☆)下列命题中,正确的是()A.四边相等的四边形是正方形B.四角相等的四边形是正方形C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.对角线相等的菱形是正方形2.(2019江苏徐州三模,25,★★☆)如图,D是线段AB的中点,C是线段AB的垂直平分线上的一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.(1)求证:DE=DF;(2)当CD与AB满足怎样的数量关系时,四边形CEDF为正方形?请说明理由.3.(2019山东青岛实验中学二模,21,★★☆)如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.(1)证明:△EFD≌△GFB;(2)试判断四边形EBGD的形状,并说明理由;(3)当△ABC是时,四边形EBGD是正方形(不用说明理由).

4.(2019河南平顶山实验中学第一次月考,23,★★★)(1)如图①,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,说明理由;(2)如图②,在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=12∠BAD时,EF=BE+DF成立吗?请直接写出结论五年中考全练拓展训练1.(2019湖南郴州中考,8,★☆☆)如图,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF为直角三角形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是()A.7B.8C.72D.732.如图,在正方形ABCD的外侧作等边△ADE,则∠BED的度数为°.

3.(2019湖南邵阳中考,20,★★☆)如图所示,已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB.(1)求证:平行四边形ABCD是矩形;(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.核心素养全练拓展训练1.在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1,D1E1E2B2,A2B2C2D2,D2E3E4B3,A3B3C3D3,…按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3、…在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3∥……,则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是()A.122014B.1222.如图①所示,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起,现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.(1)如图②所示,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;(2)若三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.3正方形的性质与判定基础闯关全练拓展训练1.答案AA.若AB∥CD,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形,故此选项正确;B.若AC⊥BD,AC=BD,无法得到四边形ABCD是矩形,故此选项错误;C.若AC⊥BD,AB=AD,CB=CD,无法得到四边形ABCD是菱形,故此选项错误;D.若AB=BC=CD=AD,无法得到四边形ABCD是正方形,故此选项错误.故选A.2.答案1∶2解析当AB∶AD=1∶2时,四边形MENF是正方形.∵AB∶AD=1∶2,AM=DM,AB=CD,∴AB=AM=DM=DC,∵∠A=∠D=90°,∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°,∴∠BMC=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°,∴∠MBC=∠MCB=45°,∴BM=CM.∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点,∴BE=CF=ME=MF,NF∥BM,NE∥CM,∴四边形MENF是平行四边形,∵ME=MF,∠BMC=90°,∴四边形MENF是正方形.能力提升全练拓展训练1.答案A易知题图①为正方形,AC为其对角线,由2BC2=AC2得BC=2.易知题图②为菱形,∠B=60°,连接AC,∴△ABC为等边三角形,∴AC=BC=2.故选A.2.答案4解析将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAC'的位置,∵∠BAC'+∠BAD=180°,∴C'、A、D三点共线.∵∠ABC=90°,∠EBF=45°,∴∠FBC+∠EBA=45°.∵∠FBC=∠C'BA,∴∠C'BA+∠EBA=45°,∴∠EBF=∠EBC'=45°.在△EBF和△EBC'中,FB∴△EBF≌△EBC',∴EF=EC',又CF=AC',∴EF=EA+AC'=EA+FC,∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DA+DC=4.3.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO=12∵EA=EC,∴EO⊥AC,即BD⊥AC,∴平行四边形ABCD是菱形.(2)∵∠1=∠EAD+∠AED,∠DAC=∠EAD+∠AED,∴∠1=∠DAC,∴AO=DO.由(1)知四边形ABCD是菱形,∴AC=2AO,DB=2DO,∴AC=BD,∴菱形ABCD是正方形.三年模拟全练拓展训练1.答案DA错误,四边相等的四边形是菱形;B错误,四角相等的四边形是矩形,不一定是正方形;C错误,对角线垂直的平行四边形是菱形;D正确,符合正方形的判定定理.故选D.2.解析(1)证明:∵CD垂直平分AB,∴AC=CB,∴△ABC是等腰三角形,∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠BCD.∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠DEC=∠DFC=90°,∴∠EDC=∠FDC,在△DEC与△DFC中,∠∴△DEC≌△DFC(ASA),∴DE=DF.(2)当AB=2CD时,四边形CEDF为正方形.理由如下:∵AD=BD,AB=2CD,∴AD=BD=CD.∴∠ACD=45°,∠DCB=45°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,∴四边形DECF是矩形.又∵DE=DF,∴四边形CEDF是正方形.3.解析(1)证明:∵EG垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD,∴∠EBD=∠EDB,∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC,∴∠EDF=∠GBF,在△EFD和△GFB中,∠∴△EFD≌△GFB.(2)四边形EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD,由(1)知△EFD≌△GFB,∴ED=BG,∴BE=ED=DG=GB,∴四边形EBGD是菱形.(3)当△ABC是直角三角形,即∠ABC=90°时,四边形EBGD是正方形,根据有一个角是直角的菱形是正方形可以得出.4.解析(1)证明:如图,在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°.把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADE',∵∠ADF=∠ADE'=90°,∴F、D、E'三点共线,∴∠E'AF=90°-45°=45°=∠EAF,在△AFE和△AFE'中,AF∴△AFE≌△AFE'(SAS),∴EF=FE'=DE'+DF=BE+DF.(2)EF=BE+DF成立.理由如下:如图,因为AB=AD,所以可以将△ABE绕点A逆时针旋转到△ADE'的位置,连接E'F.∵∠B+∠ADF=180°,∠B=∠E'DA,∴∠E'DF=∠E'DA+∠ADF=180°,∴E'、D、F三点共线,∵∠BAE+∠DAF=∠EAF,∠E'AD=∠BAE,∴∠E'AF=∠EAF,在△FAE和△FAE'中,AF∴△FAE≌△FAE'(SAS),∴EF=FE'=DE'+DF=BE+DF.五年中考全练拓展训练1.答案C如图,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD.在△ABE和△CDF中,AB∴△ABE≌△CDF(SSS),∴∠ABE=∠CDF.∵∠BAE+∠DAG=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∴∠ABE=∠DAG=∠CDF,同理,∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH,∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°,∴∠DGA=90°,同理,∠CHB=90°.在△ABE和△DAG中,∠∴△ABE≌△DAG(AAS),∴AE=DG,BE=AG,同理AE=DG=CF=BH=5,BE=AG=DF=CH=12,∴EG=GF=FH=EH=12-5=7,∴EF=72.2.答案45解析在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,在等边△ADE中,AD=AE,∠DAE=60°,∴AB=AE,∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°,∴∠BEA=12×(180°-∠∴∠BED=60°-15°=45°.3.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.(2)AB=AD或AC⊥BD,答案不唯一.理由:∵四边形ABCD是矩形,AB=AD,∴四边形ABCD是正方形.或∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD,∴四边形ABCD是正方形.核心素养全练拓展训练1.答案D由已知得D1E1=B2E2,D2E3=B3E4,∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°,∴D1E1=C1D1×12=12,则B2C2=同理可得,B3C3=13=332故正方形AnBnCnDn的边长是33则正方形A2015