2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）2．（5分）若{aA．b→+c→，b→，-b→-c→ B．a→3．（5分）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为fA．5f B．214f C．4f4．（5分）“点（a，b）在圆x2+y2＝1外”是“直线ax+by+2＝0与圆x2+y2＝1相交”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（）A．6种 B．12种 C．18种 D．24种6．（5分）A，B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（xi，yi）．A小组根据表中数据，直接对（x，y）作线性回归分析，得到：回归方程ŷ=0.4699x+0.235，决定系数R2＝0.8732．B小组先将数据按照变换u＝x2，v＝y2进行整理，再对u，v作线性回归分析，得到：回归方程v̂=-0.5006u+0.4922A．0.4699x﹣y+0.235＝0 B．0.5006x+y﹣0.4922＝0 C．0.5006xD．x7．（5分）设A，B，C，D是半径为1的球O的球面上的四个点．设OA→+OB→+OC→A．3 B．72 C．4 D．8．（5分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的一点，记I为△PF1F2的内心．直线PI交A．12 B．22 C．34二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则（）A．x1是f（x）的一个极大值点 B．x2是f（x）的一个极小值点 C．x3是f（x）的一个极大值点 D．x4是f（x）的一个极小值点（多选）10．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则（）A．事件B与事件C互斥 B．P(AB)=5C．P(B|A)=2D．事件A与事件C相互独立（多选）11．（5分）设双曲线C：x2a-y2a2-a+4A．双曲线C离心率的最小值为4 B．离心率最小时双曲线C的渐近线方程为3x±y=0C．若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则|AC|＝|BD| D．若a＝1，点A处的切线与两条渐近线交于点E，F，则S△EOF为定值（多选）12．（5分）已知曲线f(x)=xex，g(x)=lnxxA．曲线f（x）在x＝0处的切线与曲线g（x）在x＝1处的切线平行 B．若直线y＝a与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=1C．曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点 D．若直线y＝a与曲线f（x）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），与曲线g（x）交于点B（x2，y2），C（x3，y3），则x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（x﹣y）（x+y）8展开式中，x3y6项的系数为．14．（5分）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K=|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f（x）＝cos（x﹣1）﹣lnx，则曲线y＝f15．（5分）已知数列{an}满足a2＝8，an=[2(-1)n+n]an-1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝log2（a2n+2•a2n﹣1）﹣log2（a2n•16．（5分）设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f（x+1）＞f（2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD中，AE→=λAB→，AH→=λAD（1）求证：E、F、G、H四点共面．（2）若λ=13，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用OA→、OB→、OC→18．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n（1）求数列{an}的通项公式．（2）若{an}中的部分项abn组成的数列{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，∠A1AC＝60°，A1B=6（1）证明：平面A1ACC1⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）单位：人出行方式国际大都市中小型城市合计偏好地铁_____20100偏好其他60__________合计_____60_____（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p②设第n次David选择共享单车的概率为qn，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82821．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．（1）求抛物线C的标准方程．（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．①求证：直线CD过定点；②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．22．（12分）设函数f（x）＝（x﹣1）2ex﹣ax，若曲线f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣2x+b．（1）求实数a，b的值．（2）证明：函数f（x）有两个零点．（3）记f′（x）是函数f（x）的导数，x1，x2为f（x）的两个零点，证明：f′(x

2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）【解答】解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．（5分）若{aA．b→+c→，b→，-b→-c→ B．a→【解答】解：-b则b→+c→，a→=12[(a→+b假设c→=λ(a→+(a→+b→故选：C．3．（5分）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为fA．5f B．214f C．4f【解答】解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f，公比为122的等比数列{an第四个单音的频率为a4故选：B．4．（5分）“点（a，b）在圆x2+y2＝1外”是“直线ax+by+2＝0与圆x2+y2＝1相交”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：①若点（a，b）在圆x2+y2＝1外，则a2+b2＞1，∵圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线ax+by+2＝0的距离d=|2|∴d与半径1的大小无法确定，∴不能得到直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交，∴充分性不成立，②若直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交，则圆x2+y2＝1的圆心（0，0）到直线ax+by+1＝0的距离d=|2|即a2+b2＞4，点（a，b）在圆x2+y2＝1外．∴点（a，b）在圆x2+y2＝1外是直线ax+by+1＝0与圆x2+y2＝1相交的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（）A．6种 B．12种 C．18种 D．24种【解答】解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有C3故选：C．6．（5分）A，B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（xi，yi）．A小组根据表中数据，直接对（x，y）作线性回归分析，得到：回归方程ŷ=0.4699x+0.235，决定系数R2＝0.8732．B小组先将数据按照变换u＝x2，v＝y2进行整理，再对u，v作线性回归分析，得到：回归方程v̂=-0.5006u+0.4922A．0.4699x﹣y+0.235＝0 B．0.5006x+y﹣0.4922＝0 C．0.5006xD．x【解答】解：由统计学知识可知，R2越大，拟合效果越好，又A小组的决定系数R2＝0.8732，B小组的决定系数R2＝0.9375，∴B小组的拟合效果好，则回归方程为v̂又u＝x2，v＝y2，∴y2＝﹣0.5006x2+0.4922，即0.5006x故选：C．7．（5分）设A，B，C，D是半径为1的球O的球面上的四个点．设OA→+OB→+OC→A．3 B．72 C．4 D．【解答】解：因为AD→+BD→+CD→=（OD→-OA且|OD→|＝1，所以|AD而|AD→+BD→+CD→|≤|而A，B，C，D在球面上，不可能共线，即AD→，BD→，所以|AD|+|BD|+|CD|＞|AD→且|AD|，|BD|，|CD|均小于直径长2，即|AD|+|BD|+|CD|＜6，综上，3＜|AD|+|BD|+|CD|＜6，根据选项可知A不符合．故选：A．8．（5分）设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的一点，记I为△PF1F2的内心．直线PI交A．12 B．22 C．34【解答】解：不妨设点P位于第一象限，如图所示，因为I为△PF1F2的内心，所以PA为∠F1PF2的角平分线，所以PF1PF2设|PF1|＝5t，则|PF2|＝3t，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|＝8t＝2a，可得t=a4，所以|PF又因为PF所以cos∠F1PF2=cos∠PF所以a2＝2c2，则e=c故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则（）A．x1是f（x）的一个极大值点 B．x2是f（x）的一个极小值点 C．x3是f（x）的一个极大值点 D．x4是f（x）的一个极小值点【解答】解：由图象可知，当x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x2＜x＜x4时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞x4时，f′（x）＜0，函数单调递减，故x1，x4是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，x3不是的极值点．故选：AB．（多选）10．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则（）A．事件B与事件C互斥 B．P(AB)=5C．P(B|A)=2D．事件A与事件C相互独立【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，以（m，n）为一个基本事件，则基本事件的总数为62＝36，事件A包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共15种，事件B包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种，事件C包含的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（6，1）、（6，2）、（6，3），共30种，对于A，事件B与事件C互斥，故A正确；对于B，事件AB包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种，所以，P(AB)=636=对于C，P(B|A)=n(AB)n(A)=对于D，P(A)=1536=事件AC包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（5，3）、（5，4）、（6，2）、（6，3），共9种，所以，P(AC)=936=故选：AC．（多选）11．（5分）设双曲线C：x2a-y2a2-a+4A．双曲线C离心率的最小值为4 B．离心率最小时双曲线C的渐近线方程为3x±y=0C．若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则|AC|＝|BD| D．若a＝1，点A处的切线与两条渐近线交于点E，F，则S△EOF为定值【解答】解：由题意可得e2=a2+4a=所以e2=a2+4a=a+4a≥2m⋅此时双曲线方程是x22-y26=1设直线为x＝my+n代入双曲线C：x可得（m2a2﹣m2a+4m2）y2+2mn（a2﹣a+4）y+n2（a2﹣a+4）﹣a（a2﹣a+4）＝0，又双曲线的渐近线方程为x2直线方程代入可得（m2a2﹣m2a+4m2）y2+2mn（a2﹣a+4）y+n2（a2﹣a+4）＝0，∵直线l与双曲线右支交于两点A，B，与渐近线交于两点C，D，A在B，C两点之间，∴AB、CD的中点重合，∴|AC|＝|BD|，故C正确．当a＝1，双曲线的方程为x2-y24=1，双曲线的渐近线方程为设A（m，n），故双曲线在A（m，n）的切线方程为mx-14与y＝2x联立可得E的横坐标为44m-2n与y＝﹣2x联立可得E的横坐标为44m+2n∴S△EOF=12|OE|•|OF|•sin∠EOF==52×1616m2-4n2×故选：BCD．（多选）12．（5分）已知曲线f(x)=xex，g(x)=lnxxA．曲线f（x）在x＝0处的切线与曲线g（x）在x＝1处的切线平行 B．若直线y＝a与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=1C．曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点 D．若直线y＝a与曲线f（x）交于点A（x1，y1），B（x2，y2），与曲线g（x）交于点B（x2，y2），C（x3，y3），则x【解答】解：对于A选项：f（0）＝0，f′(x)=x′⋅ex所以曲线f（x）在x＝0处的切线为：y＝x；同理g（1）＝0，g′(x)=1-lnxx2，g′（1）＝1，曲线g（x）在x＝1处的切线为y即曲线f（x）在x＝0处的切线与曲线g（x）在x＝1处的切线平行，正确；对于B选项：f′(x)=1-xex，令f′（x所以曲线f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f(1)=1又当x→﹣∞时f（x）→﹣∞，当x→+∞时f（x）→0，若直线y＝a与曲线f（x）仅有一个公共点，则a=1e或对于C选项：曲线g（x）的定义域为：（0，+∞），g′(x)=1-lnx令g′（x）＝0，解得x＝e，所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且g(1)=0，g(e)=1所以曲线f（x）与曲线g（x）的大致图像为：易知当x∈（0，1）时，f（x）＞0，g（x）＜0，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（0，1）上无交点；当x∈[1，e]时，f（x）单调递减，g（x）单调递增，且f(1)=1f（e）＝e1﹣e＜g（e）＝e﹣1，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（1，e）上有一个交点；当x∈（e，+∞）时，记h（x）＝x﹣lnx，h′(x)=1-1x，当x＞e时h′（即h（x）在（e，+∞）上单调递增，即h（x）＞h（e）＝e﹣1＞0，即x＞lnx＞1，又曲线f（x）在（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（lnx），即xe即f（x）＜g（x）恒成立，即曲线f（x）与曲线g（x）在区间（e，+∞）上没有交点；所以曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点，正确；对于D选项：当直线y＝a经过曲线f（x）与g（x）的交点时，恰好有3个公共点，且0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，x1由f（x1）＝f（x2）＝f（lnx2），所以x1＝lnx2，由g(x2)=g(即x1故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（x﹣y）（x+y）8展开式中，x3y6项的系数为﹣28．【解答】解：（x﹣y）（x+y）8＝x（x+y）8﹣y（x+y）8，二项展开式x（x+y）8的通项为xC8rx8-ryr=C8r令r=6k+1=6，解得r=6k=5，因此，x3y6项的系数为故答案为：﹣28．14．（5分）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率K=|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f（x）＝cos（x﹣1）﹣lnx，则曲线y＝f【解答】解：因为f（x）＝cos（x﹣1）﹣lnx，所以f′(x)=-sin(x-1)-1x，则f′(1)=-11-sin0=-1所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的曲率为K=|f″(1)|故答案为：0．15．（5分）已知数列{an}满足a2＝8，an=[2(-1)n+n]an-1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝log2（a2n+2•a2n﹣1）﹣log2（a2n•【解答】解：因为an=[2(-1)所以an所以bn＝log2（a2n+2•a2n﹣1）﹣log2（a2n•a2n+1）=log=log＝log2（2n+4）﹣log2（2n+2）所以Sn因为Sn﹣5＞0，所以log22n+44＞5=lo因为n∈N*，所以正整数n的最小值为63．故答案为：63．16．（5分）设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f（x+1）＞f（2x）成立的【解答】解：由f(x)=2|x+2|+cos(所以g（x）关于y轴对称，所以f（x）关于x＝﹣2对称，当x≥0时，g′(x)=2当x∈[0，2]时，因为sin(π2x)≥0，所以g当x∈（2，+∞）时，g′(x)＞2所以g（x）在上单调[0，+∞）递增，在（﹣∞，0）上单调递减，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，由f（x+1）＞f（2x）得|x+1+2|＞|2x+2|，即（x+3）2＞（2x+2）2，解得-5所以使得f（x+1）＞f（2x）成立的x的取值范围是(-5故答案为：(-5四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD中，AE→=λAB→，AH→=λAD（1）求证：E、F、G、H四点共面．（2）若λ=13，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用OA→、OB→、OC→【解答】（1）证明：因为EH→FG→所以EH→=λ1-λFG→，则EH→∥FG（2）解：由（1）知，EH→=13BDEH、FG不在同一条直线上，EH∥FG，则EMMG=EHFG=当λ=13时，AE→=1因为CG→=23CD所以，OM=418．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n（1）求数列{an}的通项公式．（2）若{an}中的部分项abn组成的数列{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn【解答】解：（1）设差数列{an}的公差为d，则由S4＝4S2，a可得4a1+6d=8a1（2）由an＝2n﹣1，得ab又由{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，得所以bn=219．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，∠A1AC＝60°，A1B=6（1）证明：平面A1ACC1⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值．【解答】（1）证明：取AC中点M，连接A1M，BM，则BM⊥AC．∵AA1＝AC，∠A1AC＝60°，∴△A1AC为等边三角形，∴A1M⊥AC，∵A1M=BM=3∴A1M2+BM2=∵AC∩BM＝M，∴A1M⊥平面ABC，∵A1M⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面ABC．（2）解：由题可知二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值与二面角A1﹣AB﹣C正弦值相等．∵A1M⊥平面ABC，过M作MN⊥AB于点N，连接A1N，∴∠A1NM即为所求二面角A1﹣AB﹣C的平面角，∵A1M=3∴sin∠A故二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值为2520．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）单位：人出行方式国际大都市中小型城市合计偏好地铁_____20100偏好其他60__________合计_____60_____（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p②设第n次David选择共享单车的概率为qn，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【解答】解：（1）列联表如下：出行方式国际大都市中小型城市合计首选地铁8020100首选其他6040100合计14060200零假设为H0：城市规模与出行偏好地铁无关，χ2根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；（2）①证明：第n段行程上David坐地铁的概率为pn，则当n≥2时，第n﹣1段行程上David坐地铁的概率为pn﹣1，不坐地铁的概率为1﹣pn﹣1，则pn从而pn又p1-14=34②由①可知pn则p5=34(-13)421．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．（1）求抛物线C的标准方程．（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．①求证：直线CD过定点；②求△PAB与△PCD面积之和的最小值．【解答】解：（1）由题意，当直线AB垂直于x轴时，x1=p2，代入抛物线方程得y则|AB|＝2p，所以2p＝2，即p＝1，所以抛物线C：y2＝2x．（2）①设C（x3，y3），D（x4，y4），直线AB：x=my+1与抛物线C：y2＝2x联立，得y2﹣2my﹣1＝0，因此y1+y2＝2m，y1y2＝﹣1．设直线AC：x＝ny+1，与抛物线C：y2＝2x联立，得y2﹣2ny﹣2＝0，因此y1+y3＝2n，y1y3＝﹣2，则y3=-2所以kCD=y因此直线CD：x＝2m（y﹣y3）+x3，由对称性知，定点在x轴上，令y＝0得，x=-2my=2(所以直线CD过定点Q（2，0）．②因为S△PABS△PCD所以S△PAB当且仅当m＝0时取到最小值5222．（12分）设函数f（x）＝（x﹣1）2ex﹣ax，若曲线f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣2x+b．（1）求实数a，b的值．（2）证明：函数f（x）有两个零点．（3）记f′（x）是函数f（x）的导数，x1，x2为f（x）的两个零点，证明：f′(x【解答】解：（1）由题意可得f′（x）＝（x2﹣1）ex﹣a，由切线方程可知其斜率为﹣2，所以f′(0)=-2，f(0)=b，，解得a=1（2）证明：由f（x）＝0可得（x﹣1）2ex﹣x＝0，所以(x-1)函数f（x）有两个零点即函数g(x)=(x-1)g′(x)=(x-1)(2+1当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．又g（0）＝1＞0，g(1)=-1e＜0所以g（0）g（1）＜0，g（1）g（2）＜0，由零点存在定理可得∃x1∈（0，1）使得g（x1）＝0，∃x2∈（1，2）使得g（x2）＝0，所以函数f（x）有两个零点．（3）证明：由（1）（2）知f（x）＝（x﹣1）2ex﹣x，可得f′（x）＝（x2﹣1）ex﹣1且0＜x1＜1＜x2＜2．要证明f′(x1+即证明x1+x2＞2．令h（x）＝g（x）﹣g（2﹣x）（0＜x＜1），则h′(x)=g′(x)+g′(2-x)=(x-1)(2+1因此h（x）单调递减，则h（x）＞h（1）＝0．因此h（x1）＞0，即g（x1）＞g（2﹣x1），又0＜x1＜1＜x2＜2，又g（x2）＝g（x1）；所以g（x2）＞g（2﹣x1），又x2，2﹣x1∈（1，2），且g（x）在（1，2）上单调递增，因此x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2．命题得证．2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）集合A＝{x|ax＝1}，B={y|y=x-1}且A∩B＝A，则A．[0，+∞） B．（0，1] C．[1，+∞） D．（0，1）2．（5分）若直线a在平面α内，直线b在平面α外，则“b⊥a”是“b⊥α”的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件3．（5分）数列{an}首项为1，接下来3项为13，再接下来5项为15，再后面7项为17，以此类推A．115 B．117 C．1194．（5分）已知一组成对数据（xi，yi）（i＝1，2，…，6）中y关于x的一元非线性回归方程y＝bx2+1，已知i=16xi2=12，i=1A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣35．（5分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．足球由32块黑白相间的皮革缝制而成，其中，黑色的皮块呈正五边形，每一块黑皮的周围都5块白皮相连；而白色的皮块呈正六边形，每一块白皮的周围分别连着3块黑皮、3块白皮．若制作一个半径为10cm的足球（正多边形近似看作平面正多边形），则一块黑皮面积约为_____cm2．（注：边长为a的正五边形面积≈1.7a2，边长为a的正六边形面积≈2.6a2，取3.14）（）A．32.44 B．31.92 C．30.51 D．29.496．（5分）复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝4，则|z|的取值范围是（）A．[3，2] B．[1，2] C．[2，3] D．[1，3]7．（5分）双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）右焦点为F，离心率为e，PO→=kA．﹣9 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣38．（5分）已知a=sin32，b=2A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分。（多选）9．（5分）已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，下列说法正确的是（）A．若an＝bn能成立，则Sn＝Tn能成立 B．若an＝bn能成立，则Sn＝Tn恒成立 C．若an＝bn恒成立，则Sn＝Tn恒成立 D．若Sn＝Tn恒成立，则an＝bn恒成立（多选）10．（5分）双曲线C：x24-A．该双曲线渐近线为y=±5B．过点（3，0）的直线与双曲线C交于A、B两点，若|AB|＝5，则满足的直线有1条 C．与双曲线C两支各有一个交点的直线斜率可以是1.1 D．过点P能作4条仅与双曲线C有一个交点的直线（多选）11．（5分）函数f（x）＝kx﹣|sinx|在（0，+∞）上有两个零点α，β（α＜β），下列说法正确的是（）A．β∈(5πB．tanβ-α=sinα+sinβC．tan(β+πD．f（x）在（0，2π）上有2个极值点x1，x2且x2﹣x1＝π（多选）12．（5分）半径为2的球A上有三个点B，C，P，BC＝2，三棱锥A﹣PBC的顶角均为锐角，二面角P﹣BC﹣A的平面角为α，E为边BC上一动点，则（）A．若PB＝PC＝2，则cosα=3B．若PB＝PC＝2，则cosα=1C．若∠PAE的最小值等于α，则三棱锥P﹣ABC体积最小为396D．若∠PAE的最小值等于α，则三棱锥P﹣ABC体积最小为15三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）a→=（2，1），b→=（1，﹣1），则a→14．（5分）椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点（2，0）且上顶点到x轴的距离为1，直线m过点(1，12)15．（5分）为了纪念世界地球日，复兴中学高三年级参观了地球自然博物馆，观后某班级小组7位同学合影，若同学A与同学B站在一起，同学C站在边缘，则同学C不与同学A或B相邻的概率为．16．（5分）5320的因数有个，从小到大排列后，第24个因数为．四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，D1O＝OB，体积为14π9（1）求AB；（2）劣弧AB上是否存在M使OB1∥平面AD1M．猜想并证明．18．（12分）△ABC内角A，B，C满足2cosB+1tanA（1）求C﹣A的大小；（2）D、E分别为AB、BC上的点，DE→=23AC→，且19．（12分）p，q，n∈N*，2p﹣1＝3q﹣2＝an，递增数列{an}前n项和为Sn．（1）证明：{an}为等比数列并求Sn；（2）记bn=an+Cn15，∁n为使bn∈20．（12分）过（2，0）的直线与C1：y2＝4x交于A，B两点，直线OA、OB与C2：x2+λx+y2＝0（λ≠0）分别交于C、D．（1）证明：CD中点在x轴上；（2）若A、B、C、D四点共圆，求|AB|所有可能取值．21．（12分）人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩X人，在Ⅱ时期生孩Y人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．X服从0﹣1分布且P（x＝0）=15．Y012Ppp+qp﹣q现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为124；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为16；若在Ⅰ时期生了1个男，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为（1）求Y的期望与方差；（2）由数据zi（i＝1，2，…，n）组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为a：b，分别为xi（i＝1，2，…，k）与yi（i＝1，2，…，m），k+m＝n，总体本点与两个分层样本点均值分别为z，x，y，方差分别为s02，s12，22．（12分）A（﹣1，0），B（1，0），P（a，b），kPA+kPB＝λ（λ＞0）．（1）若λ＝1，a∉（0，1），证明：eb＞a；（2）是否存在λ使eb＝a有且仅有一组解，若存在，求λ取值集合；若不存在，请说明理由．

2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）集合A＝{x|ax＝1}，B={y|y=x-1}且A∩B＝A，则A．[0，+∞） B．（0，1] C．[1，+∞） D．（0，1）【解答】解：∵集合A＝{x|ax＝1}，B={y|y=x-1}且A∩B＝∴A⊆B，∵B＝{y|y≥0}，当a＝0时，A＝∅，符合题意；当a＞0时，A＝{x|x=1当a＜0时，A＝{x|x=1综上，a的取值范围是[0，+∞）．故选：A．2．（5分）若直线a在平面α内，直线b在平面α外，则“b⊥a”是“b⊥α”的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【解答】解：只有b⊥a不能推出b⊥α，充分性不成立，b⊥α，直线a在平面α内，直线b在平面α外，则b⊥a，必要性成立，故“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．故选：D．3．（5分）数列{an}首项为1，接下来3项为13，再接下来5项为15，再后面7项为17，以此类推A．115 B．117 C．119【解答】解：由题意可知，数列{an}的项数构成以1为首项，以2为公差的等差数列，记为{bn}，则bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，前n项和为n(1+2n-1)2=n令n2＝100可得n＝10，而原数列有b1个1b1，b2个1b2，…b故a100=1故选：C．4．（5分）已知一组成对数据（xi，yi）（i＝1，2，…，6）中y关于x的一元非线性回归方程y＝bx2+1，已知i=16xi2=12，i=1A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：∵i=16xi∴16i=16则3＝2b+1，解得b＝1．故选：B．5．（5分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．足球由32块黑白相间的皮革缝制而成，其中，黑色的皮块呈正五边形，每一块黑皮的周围都5块白皮相连；而白色的皮块呈正六边形，每一块白皮的周围分别连着3块黑皮、3块白皮．若制作一个半径为10cm的足球（正多边形近似看作平面正多边形），则一块黑皮面积约为_____cm2．（注：边长为a的正五边形面积≈1.7a2，边长为a的正六边形面积≈2.6a2，取3.14）（）A．32.44 B．31.92 C．30.51 D．29.49【解答】解：由题意知，黑白皮块的个数比为3：5，所以黑皮有32×3又因为边长为a的正五边形面积≈1.7a2，边长为a的正六边形面积≈2.6a2，π＝3.14，所以12×1.7a2+20×2.6a2＝4×3.14×102，解得a2=1256所以1.7a2＝29.49．故选：D．6．（5分）复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝4，则|z|的取值范围是（）A．[3，2] B．[1，2] C．[2，3] D．[1，3]【解答】解：∵复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝4，∴复数z对应的点的轨迹是以F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点，两条坐标轴为对称轴，长轴长为4的椭圆，即2a＝4，解得a＝2，∴该椭圆的短轴长b=4-1|z|表示椭圆上的点到原点的距离，则|z|的最大值为椭圆的长半轴a，最小值为短半轴b，故|z|的取值范围为[3，2]．故选：A．7．（5分）双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）右焦点为F，离心率为e，PO→=kA．﹣9 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣3【解答】解：由题意，右焦点F（c，0），由PO→=kFO→（k＞1），可得P（kc，0），|PF|＝（以P为圆心，|PF|长为半径的圆的方程为：（x﹣kc）2+y2＝（k﹣1）2c2，(x-kc)2+y2=(k-1)2c2b2x2-a2y2=a2由圆与双曲线有公共点，所以△≥0，即4k2c2a4﹣4c2a2（2kc2﹣c2﹣b2）≥0，结合b2＝c2﹣a2，化简可得（k﹣1）[（k+1）a2﹣2c2]≥0，∵k＞1，∴（k+1）a2﹣2c2≥0，即k≥2e2﹣1，所以k﹣8e≥2e2﹣8e﹣1＝2（e﹣2）2﹣9，当e＝2时，取得最小值﹣9．故选：A．8．（5分）已知a=sin32，b=2A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【解答】解：由已知得a=sin32=cos(因为y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，且0＜π2-32所以cos(π2-32令f（x）＝x﹣sinx，x∈（0，+∞），则f′（x）＝1﹣cosx＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，即x＞sinx，所以a=sin32＜32令g(x)=cosx-(1-12x令h(x)=x-16x令m(x)=1-12x2-cosx，则m′（x令n（x）＝﹣x+sinx，则当x≥0时，n′（x）＝﹣1+cosx≤0，所以n（x）在x≥0内单调递减，所以m′（x）＝n（x）＜n（0）＝0，所以m（x）在x≥0内单调递减，所以h′（x）＝m（x）＜m（0）＝0，所以h（x）在x≥0内单调递减，所以g'（x）＝h（x）＜h（0）＝0，所以g（x）在x≥0内单调递减，所以g（x）＜g（0）＝0，即cosx≤1-12x所以c=cos12＜1-12×14+124×1综上：a＜c＜b．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分。（多选）9．（5分）已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，下列说法正确的是（）A．若an＝bn能成立，则Sn＝Tn能成立 B．若an＝bn能成立，则Sn＝Tn恒成立 C．若an＝bn恒成立，则Sn＝Tn恒成立 D．若Sn＝Tn恒成立，则an＝bn恒成立【解答】解：对于A，若{an}：0，0，0，1，1，1，…，{bn}：0，1，0，0，0，0，⋯，an＝bn能成立，Sn＝Tn也能成立，故A正确；对于B，若{an}：0，0，0，1，1，1，…，{bn}：0，1，0，0，0，0，…，an＝bn能成立，Sn＝Tn不能恒成立，故B错误；对于C，若an＝bn恒成立，则二者是相同数列，即Sn＝Tn恒成立，故C正确；对于D，若Sn＝Tn恒成立，则Sn﹣1＝Tn﹣1，当n≥2时，两式作差得an＝bn，当n＝1时，若S1＝T1，则a1＝b1，故D正确．故选：ACD．（多选）10．（5分）双曲线C：x24-A．该双曲线渐近线为y=±5B．过点（3，0）的直线与双曲线C交于A、B两点，若|AB|＝5，则满足的直线有1条 C．与双曲线C两支各有一个交点的直线斜率可以是1.1 D．过点P能作4条仅与双曲线C有一个交点的直线【解答】解：对于A，双曲线C：x24-y25对于B，由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，+∞），所以存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；对于C，由于双曲线的渐近线的斜率为±52，焦点在x若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈（-52，因为1.1∈（-52，52对于D，由于P（1，2）点在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：故过能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）函数f（x）＝kx﹣|sinx|在（0，+∞）上有两个零点α，β（α＜β），下列说法正确的是（）A．β∈(5πB．tanβ-α=sinα+sinβC．tan(β+πD．f（x）在（0，2π）上有2个极值点x1，x2且x2﹣x1＝π【解答】解：由于函数f（x）＝kx﹣|sinx|在（0，+∞）上有两个零点α，β（α＜β），故函数y＝kx，y＝|sinx|的图象在（0，+∞）上有两个不同的交点，作出函数y＝kx，y＝|sinx|的图象如图：要满足题意，需满足y＝kx与y＝|sinx|在（π，2π）间的图象相切，由图象可知α∈(0，π)，β∈(π，3当x∈（0，π]时，y＝sinx，当x∈（π，2π）时，y＝﹣sinx，由于α＜β，则设y＝kx与y＝|sinx|在（π，2π）间的图象相切时的切点为（β，﹣sinβ），此时y′＝﹣cosx，则k=-cosβ=-sinβ-0β-0，∴tanβ＝于是tan(β+π4)=对于A，当x∈（π，2π）时，f（x）＝kx+sinx，此时k=-cosβ，β∈(π，3由于f（β）＝kβ+sinβ＝0，即f（β）＝﹣βcosβ+sinβ＝0，令h(x)=-xcosx+sinx，x∈(π，3即h(x)=-xcosx+sinx，x∈(π，3h(5π4)=-故h（x）＝﹣xcosx+sinx在(5π4，32对于B，当x∈（0，π]时，f（α）＝kα﹣sinα＝0，即α=sinα当x∈（π，2π）时，tanβ＝β，f（β）＝kβ+sinβ＝0，即β=-sinβ故tanβ-α=β-α=-sinα+sinβk，对于D，当x∈（0，π]时，f（x）＝kx﹣sinx，f′（x）＝﹣cosβ﹣cosx＝cos（β﹣π）﹣cosx，β﹣π∈（0，π），当0＜x＜β﹣π时，f′（x）＜0，当β﹣π＜x＜π时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，β﹣π）单调递减，在（β﹣π，π）单调递增，即x＝β﹣π为函数在（0，π]内的一个极小值点；当x∈（π，2π）时，f（x）＝kx+sinx，f′（x）＝﹣cosβ+cosx，当π＜x＜β时，f′（x）＜0，当β＜x＜2π时，f′（x）＞0，即f（x）在（π，β）单调递减，在（β，2π）单调递增，即x＝β为函数在（π，2π）内的一个极小值点；即f（x）在（0，2π）上有2个极值点，设为x1，x2（x1＜x2），则x1＝β﹣π，x2＝β，故x2﹣x1＝π，D正确；故选：ACD．（多选）12．（5分）半径为2的球A上有三个点B，C，P，BC＝2，三棱锥A﹣PBC的顶角均为锐角，二面角P﹣BC﹣A的平面角为α，E为边BC上一动点，则（）A．若PB＝PC＝2，则cosα=3B．若PB＝PC＝2，则cosα=1C．若∠PAE的最小值等于α，则三棱锥P﹣ABC体积最小为396D．若∠PAE的最小值等于α，则三棱锥P﹣ABC体积最小为15【解答】解：如图所示：当PB＝PC＝2时，三棱锥A﹣PBC为正四面体，点A在底面BCP内的射影为△BCP的中心M，即AM⊥平面BCP，连接PM延长交BC于F，易知，F为BC的中点，连接AF，所以AF⊥BC，PF⊥BC，故二面角P﹣BC﹣A的平面角为∠AFM，即∠AFM＝α，在Rt△AMF中，AF=2sinπ3=所以cosα=MFAF=13如图所示：因为三棱锥A﹣PBC的顶角均为锐角，所以BP＜22，CP＜2因为点A在底面BCP内的射影为△BCP的外心M，即AM⊥平面BCP，过点A作AG⊥BC于G，连接MG，因为△ABC为等边三角形，所以G为BC的中点，又易知BC⊥平面AMG，所以二面角P﹣BC﹣A的平面角为∠AGM，即∠AGM＝α，因为VP-ABC=13×S△ABC根据三余弦定理可知，∠PAE的最小值为直线AP与平面ABC所成的角，即当P，M，G三点共线时（E，G重合），∠PAE最小，此时∠PAE＝∠AGM，且h＝2sin∠PAE最小，故PG＝AP＝2，而AG=3，所以三棱锥P﹣ABC体积最小为V故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）a→=（2，1），b→=（1，﹣1），则a→在b【解答】解：a→=（2，1），则a→⋅b故a→在b→上的投影向量为：故答案为：(114．（5分）椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点（2，0）且上顶点到x轴的距离为1，直线m过点(1，12)与椭圆E交于A，B两点且AB中点在坐标轴上，则直线【解答】解：已知椭圆E过点（2，0）且上顶点到x轴的距离为1，所以a＝2，b＝1，此时椭圆E：x24+易知12即点(1，12)此时直线m与椭圆E相交，当直线斜率不存在时，此时直线m的方程为x＝1，设A（1，y0），易得B（1，﹣y0），而AB中点为（1，0）在坐标轴上，所以x＝1符合题意；当直线斜率存在时，不妨设直线m：y-12=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，联立y-12=k(x-1)x24+y2=1，消去y并整理得（1+4k2）x由韦达定理得x1+x2=-(4-8k)k所以y1+y2＝k（x1+x2﹣2）+1=1-2k因为AB中点在坐标轴上，所以x1+x2＝0或y1+y2＝0，解得k＝0或k=1此时直线m的方程为y=12或y=综上，直线m的方程为y=12或y=12故答案为：y=12或y=1215．（5分）为了纪念世界地球日，复兴中学高三年级参观了地球自然博物馆，观后某班级小组7位同学合影，若同学A与同学B站在一起，同学C站在边缘，则同学C不与同学A或B相邻的概率为0.8．【解答】解：根据题意，先计算“同学A与同学B站在一起，同学C站在边缘”的情况数目：先让同学C站在边缘，有2种方法，再将同学A与同学B看成一个整体，与剩下4人排列，有种方法，故同学A与同学B站在一起，同学C站在边缘，共有2×240＝480种方法，再计算“同学A与同学B站在一起，同学C站在边缘，则同学C不与同学A或B相邻”的情况数目：若同学C不与同学A或B相邻的有：先让同学C站在边上，有2种方法，再让除ABC之外的4人去站剩下的4个位置，有种方法，最后让同学A与同学B组成的整体从与同学C不相邻的4个位置中选一个位置，有2×4＝8种方法，所以由分步乘法原理可得同学C不与同学A或B相邻的共有2×8×24＝384种方法，故要求的概率；故答案为：0.8．16．（5分）5320的因数有32个，从小到大排列后，第24个因数为280．【解答】解：根据题意，5320＝2×2×2×5×7×19，当5320的因数是1个质数时，有4种情况，当5320的因数是2个质数的乘积时，有1+C当5320的因数是3个质数的乘积时，有1+C当5320的因数是4个质数的乘积时，有1+C当5320的因数是5个质数的乘积时，有4种情况，当5320的因数是6个质数的乘积时，有1种情况，另外，其因数还有1，则5320的因数有4+7+8+7+4+1+1＝32个；按从小到大的顺序排列为：1，2，4，5，7，8，10，14，19，20，28，35，38，40，56，70，76，95，133，140，152，190，266，280，380，532，665，760，1064，1330，2660，5320；其第24个因数为280．故答案为：32；280．四、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，D1O＝OB，体积为14π9（1）求AB；（2）劣弧AB上是否存在M使OB1∥平面AD1M．猜想并证明．【解答】解：（1）由题意知，D1O＝OB＝2，设∠A1D1B1＝∠AOB＝α，上底的面积为S1，下底的面积为S2，则S1=12×1×1×α=α2所以该几何体的体积V=13（S1+S2+S1S2）•D1O=13（α2+2在△AOB中，由余弦定理得，AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB•cos∠AOB＝4+4﹣2×2×2×cos23π所以AB＝23．（2）不存在，证明如下：过点O作OB的垂线交劣弧AB于N，由（1）可知∠AOB=2π3，所以∠故以ON，OB，OD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），A(3，-1，0)，D1（0，0，2），B设M（2cosβ，2sinβ，0），其中-π6＜则OB1→=（0，1，2），AD设平面AD1M的法向量为n→=（x，y，z），则n→因为-π6＜β＜取x＝2sinβ+1，则y=3-2cosβ，z=3sinβ+cosβ若OB1∥平面AD1M，则OB即3-2cosβ+2（3sinβ+cosβ)=3+23sinβ=0=所以OB1∥平面AD1M不成立，故劣弧AB上不存在M使OB1∥平面AD1M．18．（12分）△ABC内角A，B，C满足2cosB+1tanA（1）求C﹣A的大小；（2）D、E分别为AB、BC上的点，DE→=23AC→，且【解答】解：（1）2cosB+1tanA=2sinB+3即2cosAcosB+cosA=2sinAsinB+3所以3sinA-cosA=2cos(A+B)，即2sin(A-所以sin(A-π因为0＜C＜π，则-π因为0＜A＜π，则-π所以A-π6=C-所以C-A=π3或综上所述，C-A=π（2）解：如下图所示：因为D、E分别为AB、BC上的点，DE→=23AC所以BDAB=BEBC=因为DE∥BC，则∠BDE＝∠A，∠CDE＝∠ACD，因为DE平分∠CDB，所以∠BDE＝∠CDE，则∠A＝∠ACD，故AD＝CD，所以∠BCD=∠ACB-∠A=π设AD＝m，则CD＝m，BD＝2m，其中m＞0，在△BCD中，由正弦定理可得CDsinB所以sinB=CDsin因为CD＜BD，则B为锐角，即0＜B＜π故cosB=1-si所以A+C=(π-B)∈(π因为A+C=C-π3+C=2C-故π4因为cos(2C-π又因为cos(2C-π所以cos(C-π19．（12分）p，q，n∈N*，2p﹣1＝3q﹣2＝an，递增数列{an}前n项和为Sn．（1）证明：{an}为等比数列并求Sn；（2）记bn=an+Cn15，∁n为使bn∈【解答】解：（1）证明：由于p，q，n∈N*，2p﹣1＝3q﹣2＝an，当p＝1，q＝1时，a1＝1；当p﹣1＝2k，k∈N时，2p﹣1依次取值为1，4，16，64，…，4k，…，（k∈N）时，总存在q∈N*，使得2p﹣1＝3q﹣2成立，证明该结论，只需证明4k+2能被3整除，由于4=3(C即4k+2能被3整除，即上述结论成立；当p﹣1＝2k+1，k∈