2022-2023学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）等比数列{an}中，a1＝16，a2a4＝16，则a5＝（）A．1 B．2 C．4 D．82．（5分）直线x+y+1＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．12 B．1 C．22 3．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x3的系数为（）A．8 B．10 C．80 D．1604．（5分）试验测得四组成对数据（xi，yi）的值分别为（﹣1，﹣1），（0，1），（1，2），（2，4），由此可得y关于x的经验回归方程为ŷ=1.6x+â根据经验回归方程预测，当A．8.4 B．8.6 C．8.7 D．95．（5分）甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛结束），如果每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），乙获胜的概率为1﹣p，则甲选手以3：1获胜的概率为（）A．C32p3C．C43p3(1-p) D．6．（5分）如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（）A．0.25m B．0.5m C．1m D．2m7．（5分）把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，O，E，F分别为AC，AD，BC的中点，则折纸后∠EOF的大小为（）A．60° B．90° C．120° D．150°8．（5分）直线l与两条曲线y＝ex+1和y＝ex+1均相切，则l的斜率为（）A．12 B．1 C．2 D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在区间（x2，x3）上单调递减 B．f（x）在x＝x2处取得极大值 C．f（x）在区间（a，b）上有2个极大值点 D．f（x）在x＝x1处取得最大值（多选）10．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则（）A．AC⊥B1D B．A1C1∥平面B1CD C．三棱锥C1﹣B1CD的体积为16D．C1到平面B1CD的距离为2（多选）11．（5分）设A、B是随机试验的两个事件，P(A)=23，P(B)=3A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．P(A|B)=2D．P(（多选）12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1（﹣1，﹣1），F2（1，1），动点P满足|PF1|+|PF2|＝4，则（）A．P的轨迹方程为x2B．P的轨迹关于直线y＝x对称 C．△PF1F2的面积的最大值为2 D．P的横坐标的取值范围为[-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知直线l的一个方向向量a→=(m，1，3)，平面α的一个法向量b→=(1，n，1)，若l∥α，则m+14．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)15．（5分）甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有种承包方式（用数字作答）．16．（5分）毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，则第n次生长得到的小正方形的周长的和为；11次生长后所有小正方形（包括第一个正方形）的周长的总和为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a1，a2，a5成等比数列，且S6＝36．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记Tn=118．（12分）随着全球新能源汽车市场蓬勃发展，中国在十余年间实现了“弯道超车”，新能源汽车产量连续7年位居世界第一．某新能源汽车企业改进并生产了某款纯电动车，该款电动车有白色和红色．为研究购车顾客的性别是否与其购买的车辆颜色有关，公司研究团队利用随机抽样的方法收集了购买该车型的男生和女生各60人的数据，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：性别车辆颜色白色红色女生4020男生5010（1）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联？（2）现从上述购买白色车辆的90名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取9人，从购买红色车辆的30名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取3人，并从这12人中依次抽取2人作为幸运嘉宾，求第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆的概率．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82819．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，D为棱AC的中点，BD⊥AA1，平面BB1D交A1C1于点E．（1）证明：四边形BB1ED是矩形；（2）若AA1＝AC，∠A1AC＝60°，求平面ABB1A1与平面BB1ED的夹角的余弦值．20．（12分）某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动．抽奖箱中有4个蓝球和4个红球，这些球除颜色外完全相同．有以下两种抽奖方案可供选择：初始奖池摸球方式奖励规则方案A30元不放回摸3次，每次摸出1个球每摸出一个红球，奖池金额增加50元，在抽奖结束后获得奖池所有金额方案B有放回摸3次，每次摸出1个球每摸出一个红球，奖池金额翻倍，在抽奖结束后获得奖池所有金额（1）若顾客选择方案A，求其所获得奖池金额X的分布列及数学期望．（2）以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案A还是方案B？21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）﹣1．（1）当m＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求m的取值范围．22．（12分）已知点N在曲线C：x28+y26=1上，O（1）求Γ的方程：（2）已知点P在曲线C上，点A，B在曲线Γ上，若四边形OAPB为平行四边形，则其面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由

2022-2023学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）等比数列{an}中，a1＝16，a2a4＝16，则a5＝（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：因为{an}是等比数列，依题意a1＝16，a2a4＝a1a5＝16，所以a5＝1．故选：A．2．（5分）直线x+y+1＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为（）A．12 B．1 C．22 【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y+1＝0的距离d=1故直线x+y+1＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为2r2故选：D．3．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x3的系数为（）A．8 B．10 C．80 D．160【解答】解：展开式的通项公式Tk+1=C5k（2x）k=C5当k＝3时，T4=C53•23x3＝80x3，即故选：C．4．（5分）试验测得四组成对数据（xi，yi）的值分别为（﹣1，﹣1），（0，1），（1，2），（2，4），由此可得y关于x的经验回归方程为ŷ=1.6x+â根据经验回归方程预测，当A．8.4 B．8.6 C．8.7 D．9【解答】解：由条件可知，x=-1+0+1+24回归直线过点(x，y)=(1所以回归直线方程为ŷ=1.6当x＝5时，ŷ故选：C．5．（5分）甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛结束），如果每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），乙获胜的概率为1﹣p，则甲选手以3：1获胜的概率为（）A．C32p3C．C43p3(1-p) D．【解答】解：甲选手以3：1获胜，说明前3场中甲赢了两场，输了一场，且第四场甲赢，故所求概率为C3故选：A．6．（5分）如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（）A．0.25m B．0.5m C．1m D．2m【解答】解：以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：设此抛物线方程为x2＝2py（p＞0），依题意点（2，0.5）在此抛物线上，所以2p⋅12=4，解得p故选：D．7．（5分）把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，O，E，F分别为AC，AD，BC的中点，则折纸后∠EOF的大小为（）A．60° B．90° C．120° D．150°【解答】解：折起后的图形如下图所示，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，又平面ABC⊥平面ADC，平面ABC∩平面ADC＝AC，BO⊂平面ABC，∴BO⊥平面ADC，∴OD，OC，OB三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标：O（0，0，0），A（0，﹣1，0），D（1，0，0），E(12，-12，0)，∴OE→又0°≤＜OE∴＜OE∴∠EOF＝120°．故选：C．8．（5分）直线l与两条曲线y＝ex+1和y＝ex+1均相切，则l的斜率为（）A．12 B．1 C．2 D．【解答】解：由y＝ex+1，可得y′＝ex；由y＝ex+1，可得y′＝ex+1，设两个切点分别为(x1，ex1+1)故x1＝x2+1，由x1≠x2，所以k=ex2故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）在区间（x2，x3）上单调递减 B．f（x）在x＝x2处取得极大值 C．f（x）在区间（a，b）上有2个极大值点 D．f（x）在x＝x1处取得最大值【解答】解：由导函数的图象可知：x∈[a，x2）时f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（x2，x3）时f′（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（x3，b]时f′（x）≥0，f（x）单调递增．故A，B正确，C，D错误．故选：AB．（多选）10．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则（）A．AC⊥B1D B．A1C1∥平面B1CD C．三棱锥C1﹣B1CD的体积为16D．C1到平面B1CD的距离为2【解答】解：建立如图所示坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），B1（1，0，1），D（0，1，0），∵AC→∴AC→∴AC⊥B1D，A选项正确；设平面B1CD法向量为n→∵B1∴y-z=0-x+y-z=0令x＝0，则y＝1，z＝1，可得平面B1CD法向量为n→∵A1∴A1C1→⋅n→=1×0+1×1+0×1=1，故A1C∵B1∴S三棱锥C1﹣B1CD的体积为：VC1-∵CC1→=(0，0，1)，平面B1则点C1到平面B1CD的距离为d=|n→故选：ACD．（多选）11．（5分）设A、B是随机试验的两个事件，P(A)=23，P(B)=3A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．P(A|B)=2D．P(【解答】解：因为P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=23+因为P(A)P(B)=23×34=1因为P(A|B)=P(AB)P(B)=因为P(AB)=1-P(AB)=1-1故选：BCD．（多选）12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F1（﹣1，﹣1），F2（1，1），动点P满足|PF1|+|PF2|＝4，则（）A．P的轨迹方程为x2B．P的轨迹关于直线y＝x对称 C．△PF1F2的面积的最大值为2 D．P的横坐标的取值范围为[-【解答】解：对于A，设P（x，y），则(x+1)2+(y+1)2+(x-1)2+(y-1)2=4对于B，由椭圆定义知P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，故F1，F2所在直线是椭圆的对称轴，故B正确．对于C，因为长半轴a＝2，半焦距c=2，所以短半轴b=当点P在短轴顶点上，∠F1PF2＝90°，此时△F1PF2的面积最大，最大值为2，故C正确．对于D，联立方程3x2+3y2-2xy-8=0x=m，得3y由Δ＝﹣8m2+24≥0，得-3≤m≤3故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）已知直线l的一个方向向量a→=(m，1，3)，平面α的一个法向量b→=(1，n，1)，若l∥α，则m+【解答】解：因为直线l的一个方向向量a→平面α的一个法向量b→=(1，n，1)且l∥所以a→⊥b→，所以a→所以m+n＝﹣3．故答案为：﹣3．14．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y【解答】解：因为双曲线C：x2a2-y所以ba所以离心率e=c故答案为：515．（5分）甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有60种承包方式（用数字作答）．【解答】解：由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有C61=6所以由分步乘法原理可得共有6×10＝60种方案，故答案为：60．16．（5分）毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，则第n次生长得到的小正方形的周长的和为(2)n+4；11次生长后所有小正方形（包括第一个正方形）的周长的总和为【解答】解：根据题意，每次生长的小正方形的个数，构成以2为首项，2为公比的等比数列，每次生长的小正方形的边长构成以22为首项，2每次生长的小正方形周长和依次构成等比数列，首项42，公比2故第n次生长得到的小正方形的周长的和为(211次生长后所有小正方形（包括第一个正方形）共12组，则其周长的总和为4+42故答案为：(2)n+4四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a1，a2，a5成等比数列，且S6＝36．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记Tn=1【解答】解：（1）因为a1，a2，a5成等比数列，S6＝36，所以(a1+d)2=所以an＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；（2）证明：由1aiai+1=得Tn由n∈N*，有12n+1＞0，所以1-118．（12分）随着全球新能源汽车市场蓬勃发展，中国在十余年间实现了“弯道超车”，新能源汽车产量连续7年位居世界第一．某新能源汽车企业改进并生产了某款纯电动车，该款电动车有白色和红色．为研究购车顾客的性别是否与其购买的车辆颜色有关，公司研究团队利用随机抽样的方法收集了购买该车型的男生和女生各60人的数据，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：性别车辆颜色白色红色女生4020男生5010（1）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联？（2）现从上述购买白色车辆的90名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取9人，从购买红色车辆的30名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取3人，并从这12人中依次抽取2人作为幸运嘉宾，求第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆的概率．附：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解答】解：（1）零假设为H0：购车顾客的性别与其购买的车辆颜色无关联．根据列表中的数据，经计算得到χ2根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．（2）由题得抽取的12人中，是男生且购买白色车辆的有5人．设A＝“第一次抽到的是男生且购买白色车辆”，B＝“第二次抽到的是男生且购买白色车辆”．P(A)=512，P(B|A)=411，由全概率公式P(B)=P(A)⋅P(B|A)+P(A得P(B)=5所以第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆概率为51219．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，D为棱AC的中点，BD⊥AA1，平面BB1D交A1C1于点E．（1）证明：四边形BB1ED是矩形；（2）若AA1＝AC，∠A1AC＝60°，求平面ABB1A1与平面BB1ED的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：取A1C1的中点E，则点E为平面BB1D与棱A1C1的交点，连接B1E和ED，因为点D，E分别是AC和A1C1的中点，所以ED∥AA1，ED＝AA1，因为BB1∥AA1，BB1＝AA1，所以BB1∥ED，BB1＝ED，所以四边形BB1ED是平行四边形，所以点E为平面BB1D与棱A1C1的交点，因为BD⊥AA1，ED∥AA1，所以BD⊥DE所以四边形BB1ED是矩形；（2）连接A1D，A1C，在正△ABC中，D为AC的中点，所以BD⊥AC，因为BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，因为AC＝AA1，∠A1AC＝60°，所以△A1AC为正三角形，因为D为棱AC的中点，所以A1D⊥AC，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设三棱柱的棱长为2，则A(0，-1，0)，B(3所以AB→=(3设平面ABB1A1的法向量为m→则m→⋅AB→=0所以平面ABB1A1的一个法向量为m→设平面BB1ED的法向量为n→则n→⋅DB→=0所以平面BB1ED的一个法向量为n→设平面ABB1A1与平面BB1ED的夹角的大小为θ，则cosθ=|所以平面ABB1A1与平面BB1ED的夹角的余弦值为2520．（12分）某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动．抽奖箱中有4个蓝球和4个红球，这些球除颜色外完全相同．有以下两种抽奖方案可供选择：初始奖池摸球方式奖励规则方案A30元不放回摸3次，每次摸出1个球每摸出一个红球，奖池金额增加50元，在抽奖结束后获得奖池所有金额方案B有放回摸3次，每次摸出1个球每摸出一个红球，奖池金额翻倍，在抽奖结束后获得奖池所有金额（1）若顾客选择方案A，求其所获得奖池金额X的分布列及数学期望．（2）以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案A还是方案B？【解答】解：（1）由题意可知X可能取值为30，80，130，180，则P(X=30)=C40P(X=130)=C42所以X的分布列为：X3080130180P1143737114所以E(X)=30×1（2）设顾客选方案B，所获得的金额为Y，则Y的可能取值为30，60，120，240，则P(Y=30)=C30P(Y=120)=C32所以E(Y)=30×1所以E（X）＞E（Y），所以选择方案A．21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）﹣1．（1）当m＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝ex﹣ln（x+1）﹣1，定义域为（﹣1，+∞），f′(x)=e令f′（x）＝0，得x＝0，则当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，0）单调递减；当x＞0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）单调递增；所以f（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）﹣1，x∈（﹣m，+∞），f′(x)=e由于f′（x）在（﹣m，+∞）为增函数，且值域为（﹣∞，+∞），所以f′（x）＝0在（﹣m，+∞）上有唯一的实数根x0，即f′（x0）＝0，得ex0-1x0+m=0，则ln（则当﹣m＜x＜x0时，所以f′（x）＜0，则f（x）在（﹣m，x0）单调递减；当x＞x0时，所以f′（x）＞0，则f（x）在（x0，+∞）单调递增；当x＝x0时，f（x）取得最小值，f(x)令f（x0）≥0，即1x0+m令g(x)=1则g′(x)=-1则当﹣m＜x＜1﹣m时，g′（x）＜0，则g（x）在（﹣m，1﹣m）单调递减；当x＞1﹣m时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）单调递增；所以g(x)所以只需1﹣m≥0，即m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．22．（12分）已知点N在曲线C：x28+y26=1上，O（1）求Γ的方程：（2）已知点P在曲线C上，点A，B在曲线Γ上，若四边形OAPB为平行四边形，则其面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由【解答】解：（1）设M（x，y），N（xN，yN），因为点N在曲线C：x2所以xN因为ON→=2代入xN28即x24+（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），因为点P在曲线C上，所以x0因为四边形OAPB为平行四边形，所以OP→所以（x0，y0）＝（x1+x2，y1+y2），所以(x1+x2所以x1因为(x所以(x1y2-y1x2)2点B到直线OA的距离d=|所以平行四边形OAPB的面积SOAPB2022-2023学年福建省厦门一中高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）定义abcd=ad-bc，已知数列{an}为等比数列，且a3＝1，aA．4 B．±4 C．8 D．±82．（5分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则|AF|＝（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（）A．150种 B．540种 C．900种 D．1440种4．（5分）3月15日是国际消费者权益日．中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识．一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话．通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客．假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（）A．0.103 B．0.301 C．0.897 D．0.6995．（5分）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y～B（n，p），当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了p=12的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.00146．（5分）已知菱形ABCD的边长为3，对角线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A'BD，使得线段A'C长为3，则异面直线A'B与CD所成角的余弦值为（）A．34 B．54 C．497．（5分）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则D（X）的最大值是（）X012Pab19A．3281 B．49 C．17368．（5分）若实数x，y满足4lnx+2lny≥x2+4y﹣4，则（）A．xy=22 B．x+y=2 C．x+y=1+2 D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012～2022近十年来的数据（xi，yi，zi）（i＝1，2，…，10）绘制了散点图，并得到经验回归方程ẑ=7.54+0.33x，ŷ=2.88﹣0.41xA．人均GDP和女性平均受教育年限正相关 B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关 C．R1D．未来三年总和生育率将继续降低（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex，x∈R，则（）A．函数f（x）有且只有2个零点 B．函数f（x）的递减区间为（﹣3，1） C．函数f（x）存在最大值和最小值 D．若方程f（x）＝a有三个实数解，则a∈（﹣2e，6e﹣3）（多选）11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣ea）2＝1，则（）A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点 B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等 C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y＝ex平分 D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切（多选）12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段CC1上的动点，AM⊥平面α，则（）A．直线AB与平面α所成角的正弦值范围为[3B．已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，MCDNC．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（1+x）10﹣（1﹣x）9展开式中x2的系数为．14．（5分）从0，1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为A，B，则方程Ax+By＝0所表示的不同直线共有条．15．（5分）过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M16．（5分）正方形ABCD位于平面直角坐标系上，其中A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）L：逆时针旋转90°．（2）R：顺时针旋转90°．（3）S：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A，B，C，D四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换R之后，顶点A从（1，1）移动到（1，﹣1），然后再作一次变换S之后，A移动到（﹣1，1）．对原来的正方形按a1，a2，⋯，ak的顺序作k次变换记为a1a2⋯ak，其中ai∈{L，R，S}，i＝1，2，⋯，k．如果经过k次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是k﹣恒等变换．例如，RRS是一个3﹣恒等变换．则3﹣恒等变换共种；对于正整数n，n﹣恒等变换共种．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列{an}满足a1＝2，an+1＝λan+2n（n∈N*），λ为常数．（1）是否存在实数λ，使得数列{an}成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说明理由；（2）当λ＝2时，记bn=an2n，求数列{b18．（12分）下表是某单位在2023年1～5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x12345用水量y2.5344.55.2（1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠？说明理由．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线ŷ最小二乘估计公式分别为：b̂=i=119．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，底面△ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E．（1）证明：四边形BB1ED是矩形；（2）求平面ABB1和平面BB1E夹角的余弦值．20．（12分）已知点(1，32)在椭圆E：x2a（1）求E的方程；（2）设F为椭圆E的右焦点，点P（m，n）是E上的任意一点，直线PF与直线3mx+4ny＝0相交于点Q，求|PQ|的值．21．（12分）某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的56，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的1（1）若依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物．两个团队各至多排2个接种周期进行试验．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p（0＜p＜1），每人每次接种花费m（m＞0）元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体测终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体概率为q（0＜q＜1），每人每次花费n（n＞0）元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期、假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．当n=23m，p参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n＝a+参考数据：已知函数α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.89710.82822．（12分）已知函数f（x）＝x3+klnx（k∈R），f′（x）为f（x）的导函数．（1）当k＝6时，求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9（2）当k≥﹣3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有f′(x

2022-2023学年福建省厦门一中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）定义abcd=ad-bc，已知数列{an}为等比数列，且a3＝1，aA．4 B．±4 C．8 D．±8【解答】解：数列{an}为等比数列，且a3＝1，a6所以a6•a8﹣8×8＝0，所以a6•a8＝64，则a7＝±8，因为a7与a3符号一致，故a7＝8．故选：C．2．（5分）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则|AF|＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意得：F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设A（m，n），则AF中点的横坐标为m+12故m+12=2，解得：由抛物线的焦半径可知：|AF|＝3+1＝4．故选：B．3．（5分）某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（）A．150种 B．540种 C．900种 D．1440种【解答】解：先从6名教授中任选1名教授到A高中，有C6再将其余5名教授分配到B，C，D三所高中，可分两类：①B，C，D三所高中有一所高中分1名教授，另外两所高中各分2名教授，有C5②B，C，D三所高中有一个高中分3名教授，另两个高中各分1名教授，有C5∴不同的分配方案共有6×（90+60）＝900种．故选：C．4．（5分）3月15日是国际消费者权益日．中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识．一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话．通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客．假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（）A．0.103 B．0.301 C．0.897 D．0.699【解答】解：由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率为（1﹣0.4）×25%+（1﹣0.004）×75%＝0.897．故选：C．5．（5分）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y～B（n，p），当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了p=12的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为X，则X～B（100，12故E（X）＝np=100×12=50，D（X）＝np（1﹣p由题意可得，X～N（μ，σ2），且μ＝E（X）＝50，σ2＝D（X）＝25，∵P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，∴用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为P（X＞60）＝P（X＞50+2×5）=1-0.9545故选：B．6．（5分）已知菱形ABCD的边长为3，对角线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至△A'BD，使得线段A'C长为3，则异面直线A'B与CD所成角的余弦值为（）A．34 B．54 C．49【解答】解：如图，因为A′C＝A′D＝CD＝3，所以2A′C因为CB＝CD＝3，BD＝5，所以2CB所以A′B→即cos〈所以异面直线A'B与CD所成角的余弦值为89故选：D．7．（5分）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则D（X）的最大值是（）X012Pab19A．3281 B．49 C．1736【解答】解：由已知得a+b=89，E（X）＝b+29，E（X2所以D（X）＝E（X2）﹣[E（X）]2=(b+4又因为b∈(0，89)，所以b=518时，D（故选：C．8．（5分）若实数x，y满足4lnx+2lny≥x2+4y﹣4，则（）A．xy=22 B．x+y=2 C．x+y=1+2 D．【解答】解：∵4lnx+2lny≥x2+4y﹣4（x＞0，y＞0），∴2[ln（x2）+lny]≥x2+4y﹣4，即ln（x2）+lny≥12x2+2∴ln[（12x2）•（2y）]≥12设a=12x2，b＝2y（则有lnab≥a+b﹣2，即lna+lnb≥a+b﹣2，∴lna﹣a+1+（lnb﹣b+1）≥0，令g（x）＝lnx﹣x+1，则g'（x）=1x-∴当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；∴g（x）max＝g（1）＝0，要使g（a）+g（b）≥0成立，只有当a＝b＝1时即g（a）＝g（b）＝0时才满足，∴x=2，y=12故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012～2022近十年来的数据（xi，yi，zi）（i＝1，2，…，10）绘制了散点图，并得到经验回归方程ẑ=7.54+0.33x，ŷ=2.88﹣0.41xA．人均GDP和女性平均受教育年限正相关 B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关 C．R1D．未来三年总和生育率将继续降低【解答】解：由回归方程ẑ=7.54+0.33x可知，人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故因为ẑ=7.54+0.33x，ŷ=2.88﹣0.41x，所以女性平均受教育年限z和总和生育率y所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故B正确；由散点图可知，回归方程ẑ=7.54+0.33x相对ŷ=2.88﹣0.41x拟合效果更好，所以R1²＞R根据回归方程ŷ=2.88﹣0.41x预测，未来总和生育率预测值有可能降低，但实际值不一定会降低，故故选：AB．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex，x∈R，则（）A．函数f（x）有且只有2个零点 B．函数f（x）的递减区间为（﹣3，1） C．函数f（x）存在最大值和最小值 D．若方程f（x）＝a有三个实数解，则a∈（﹣2e，6e﹣3）【解答】解：对于A：由f（x）＝0得x＝±3，即函数f（x）有且只有2个零点，故A正确；对于B：f（x）＝（x2﹣3）ex，x∈R，则f'（x）＝（x2+2x﹣3）ex，由f'（x）＝0得x＝﹣3或x＝1，由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，由f'（x）＜0得﹣3＜x＜1，∴f（x）在（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，故B正确；对于C：由选项B得f（x）在（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减，∴当x＝﹣3时，f（x）取得极大值f（﹣3）＝6e﹣3，当x＝1时，f（x）取得极小值f（1）＝﹣2e，作出草图，如图所示：\∴由图象得f（x）min＝f（1）＝﹣2e，无最大值，故C错误；对于D：由图象得若方程f（x）＝a有三个实数解，则a∈（0，6e﹣3），故D错误．故选：AB．（多选）11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣ea）2＝1，则（）A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点 B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等 C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y＝ex平分 D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣ea）2＝1的圆心坐标为（a，ea），半径为1，对于A：设圆C过原点（0，0），则a2+（ea）2＝1，方程a2+（ea）2＝1的解的个数等价于函数y＝ex的图象与曲线x2+y2＝1的交点个数，作函数y＝ex与圆x2+y2＝1的图象可得：所以函数y＝ex的图象与曲线x2+y2＝1的交点个数为2，所以存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点，A正确；对于B：圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等等价于21-即a2＝（ea）2，即ea±a＝0，方程ea±a＝0的解的个数函数g（x）＝ex+x和h（x）＝ex﹣x的零点的个数和相等，因为g′（x）＝ex+1＞0，又g（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，g（0）＝1﹣0＞0，所以函数g（x）在区间（0，1）上存在一个零点，即函数g（x）存在一个零点，因为h′（x）＝ex﹣1，当x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又h（0）＝1＞0，所以h（x）＞0，故函数h（x）没有零点，所以方程ea±a＝0的解的个数为1，即存在一个a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等，B错误；对于C：圆C的面积被直线y＝ex平分等价于y＝ex过圆心，所以ea＝ea，令f（a）＝ea﹣ea，求导可得f′（a）＝ea﹣e，令f′（a）＝0，可得a＝1，当a＞1时，f′（a）＞0，函数f（a）在（1，+∞）上单调递增，当a＜1时，f′（a）＜0，函数f（a）在（﹣∞，1）上单调递减，又f（1）＝0，所以函数f（a）＝ea﹣ea只有一个零点，即方程ea＝ea只有一解，所以存在唯一的a，使得圆C的面积被直线y＝ex平分，C正确；对于D：圆C与x轴或y轴相切等价于|a|＝1或|ea|＝1，则a＝±1或a＝0，共3解，所以存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切，D正确；故选：ACD．（多选）12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段CC1上的动点，AM⊥平面α，则（）A．直线AB与平面α所成角的正弦值范围为[3B．已知N为DD1中点，当AM+MN的和最小时，MCDNC．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大【解答】解：对于A：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），设M（0，2，a）（0≤a≤2），因为AM⊥面α，则AM→为平面α的一个法向量，且AM→=（﹣2，2，a所以|cos＜AB→，AM→＞|=|AB所以直线AB与平面α所成角的正弦值取值分范围为[33，22]，故对于B：将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D延展为一个平面，如图所示，若AM+MN最短，则A，M，N三点共线，因为CC1∥DD1，所以MCDN=ACAD=对于C：设平面α交棱A1D1于点E（b，0，2），点M（0，2，1），AM→因为AM⊥面α，DC⊂面α，所以AM⊥DE，即AM→•DE→=-得b＝1，所以E（1，0，2），所以点E为棱A1D1的中点，同理可得，点F为棱A1B1的中点，F（2，1，2），EF→又DB→所以EF→所以EF∥DB且EF≠DB，由空间中两点的距离公式可得DE=22+0所以DE＝BF，所以四边形BDEF为等腰梯形，故C正确；对于D：当M与CC1重合时，连接A1D，BD，A1B，AC，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥面ABCD，因为BD⊂面ABCD，所以BD⊥CC1，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，因为CC1∩AC＝C，所以BD⊥面ACC1，因为AC1⊂面ACC1，所以AC1⊥BD，同理可证AC1⊥A1D，因为A1D∩BD＝D，所以AC1⊥面A1BD，由题知△A1BD是边长为22的等边三角形，面积为S△A1BD=34周长为22×3＝62设E，F，Q，N，G，H为棱A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的中点，所以六边形EFQNGH是边长为12的正六边形，且面EFQNGH∥面A1BD所以六边形EFQNGH的周长为62，面积为6×34×（2）2所以△A1BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，故D错误，故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（1+x）10﹣（1﹣x）9展开式中x2的系数为9．【解答】解：∵（1+x）10的展开式的通项为Tk+1∴令k＝2，可得展开式中x2的系数为C10∵（1﹣x）9的展开式的通项为Tr+1∴令r＝2，可得展开式中x2的系数为(-1)故（1+x）10﹣（1﹣x）9展开式中x2的系数为45﹣36＝9．故答案为：9．14．（5分）从0，1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为A，B，则方程Ax+By＝0所表示的不同直线共有20条．【解答】解：（1）当A或B中有一个取0时，另一个不论取何值，方程都只能表示2条直线x＝0和y＝0，即选中0时，Ax+By＝0共能表示2条直线；（2）当A、B从1，3，5，7，9五个数字中取值时，共有A5但当取值为（1，3）和（3，9）以及（3，1）和（9，3）时表示同一条直线，当A、B从1，3，5，7，9五个数字中取值时，Ax+By＝0共能表示20﹣2＝18条直线．综上所述，表示成不同直线的条数是2+18＝20条．故答案为：20．15．（5分）过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，|FQ|=|bc|a2+b2在直角三角形QOF中，cos∠QFO=bc设|QN|＝t，则|QM|＝3t，|FN|＝b﹣t，由双曲线的定义可得|NF'|＝b﹣t+2a，|MF'|＝b+3t﹣2a，在三角形FNF'中，可得cosNFF'=4c在三角形FMF'中，可得cos∠MFF'=4c由①②化简可得t=ab由①③化简可得t=ab所以a+b＝3b﹣3a，即b＝2a，则e=c故答案为：5．16．（5分）正方形ABCD位于平面直角坐标系上，其中A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）L：逆时针旋转90°．（2）R：顺时针旋转90°．（3）S：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A，B，C，D四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换R之后，顶点A从（1，1）移动到（1，﹣1），然后再作一次变换S之后，A移动到（﹣1，1）．对原来的正方形按a1，a2，⋯，ak的顺序作k次变换记为a1a2⋯ak，其中ai∈{L，R，S}，i＝1，2，⋯，k．如果经过k次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是k﹣恒等变换．例如，RRS是一个3﹣恒等变换．则3﹣恒等变换共6种；对于正整数n，n﹣恒等变换共3⋅(-1)n【解答】解：3﹣恒等变换必定含S，所以一共有LLS，LSL，SLL，RRS，RSR，SRR这6种3﹣恒等变换；注意到，作用一次S变换相当于两次L变换；作用一次R变换相当于三次L变换．我们记L为数字1，S为数字2，R为数字3，作用相应的变化就增加相应的数字．那么如果作了n次变换a1a2⋯an（其中包含p个L、q个S、r个R），当p+2q+3r是4的倍数时，就能得到一个n﹣恒等变换．我们假设作了n次变换之后得到的相应数字除以4的余数是0，1，2，3的情况数分别为an，bn，cn，dn．把这n次变换分解成n﹣1次变换和第n次变换，假设经过n次变换之后余数为0．如果经过n﹣1次变换后的余数是0，则第n次变换余数不可能为0；如果经过n﹣1次变换后的余数分别是1，2，3，则第n次变换余数必须分别为3，2，1．其他完全类似，因此an＝bn﹣1+cn﹣1+dn﹣1，bn＝an﹣1+cn﹣1+dn﹣1，cn＝an﹣1+bn﹣1+dn﹣1，dn＝an﹣1+bn﹣1+cn﹣1．把后三个式子相加可得bn+cn+dn＝3an﹣1+2（bn﹣1+cn﹣1+dn﹣1），代入第一个式子可得an+1＝2an+3an﹣1，⇔an+1+an＝3（an+an﹣1）．所以{an+1+an}是公比为3的等比数列．已经算出a3＝6，而2﹣恒等变换有LR，RL，SS这三种，故a2＝3．因此，a3+a2＝9，从而an+1两边同乘（﹣1）n+1，可得(-1)根据累加法可得(-1)于是an故答案为：6；3⋅(-1)四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）数列{an}满足a1＝2，an+1＝λan+2n（n∈N*），λ为常数．（1）是否存在实数λ，使得数列{an}成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说明理由；（2）当λ＝2时，记bn=an2n，求数列{b【解答】解：（1）假设存在实数λ，使得数列{an}成为等比数列，则a22=a1∵a1＝2，a2＝λa1+21＝2λ+2，a3＝λa2+22＝λ（2λ+2）+2＝2λ2+2λ+4，∴（2λ+2）2＝2（2λ2+2λ+4），解得λ＝1，则an+1＝an+2n，即an+1﹣an＝2n，故a1＝2，a2﹣a1＝21，a3﹣a2＝22，…，an﹣an﹣1＝2n﹣1，各项相加，可得an＝2+21+22+…+2n﹣1＝1+（1+21+22+…+2n﹣1）＝1+＝2n＝2•2n﹣1，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴存在实数λ＝1，使得数列{an}成为等比数列，且an＝2n，n∈N*．（2）由题意，当λ＝2时，an+1＝2an+2n，两边同时乘以12n+1，可得即bn+1＝bn+1∵b1=a∴数列{bn}是以1为首项，12∴数列{bn}的前n项和为1•n+n(n-1)2•18．（12分）下表是某单位在2023年1～5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x12345用水量y2.5344.55.2（1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠？说明理由．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线ŷ最小二乘估计公式分别为：b̂=i=1【解答】解：（1）从这5个月中任取2个月，包含的基本事件有C5其中所取2个月的用水量之和不超过7（百吨）的基本事件有以下4个：（2.5，3），（2.5，4），（2.5，4.5），（3，4），故所求概率P=4（2）由数据得x=由公式计算得b̂所以y关于x的经验回归方程为y＝0.7x+1.75，当x＝5时，得估计值y＝0.7×5+1.75＝5.25，而|5.2﹣5.25|＝0.05≤0.05，所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的．19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，底面△ABC是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过点B1，B，D的平面α与棱A1C1交于点E．（1）证明：四边形BB1ED是矩形；（2）求平面ABB1和平面BB1E夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接B1E，DE，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1为平行四边形，所以B1B∥A1A，因为B1B⊄平面A1ACC1，A1A⊂平面A1ACC1，所以B1B∥平面A1ACC1，因为B1B⊂平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，所以B1B∥DE，因此A1A∥DE，因为点D是AC的中点，所以E为A1C1中点，所以B1B＝DE，所以四边形BB1ED为平行四边形，在正△ABC中，因为D是AC的中点，所以BD⊥AC，由题意可知，A1D⊥平面ABC，又BD，BC⊂平面ABC，所以A1D⊥BD，A1D⊥AC，又AC∩A1D＝D，所以BD⊥平面ACC1A1，又DE⊂平面ACC1A1，则BD⊥DE，故四边形BB1ED为矩形；（2）由（1）可知，DB，AC，A1D两两垂直，以DB，AC，A1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD＝1，则BD=3在△AA1D中，AA1＝2AD，∠A1DA＝90°，所以A1故D（0，0，0），A（0，﹣1，0），A1(0，0，3所以AB→=(3，1，0)，设平面DBB1E的法向量为m→则m→⋅DB令c＝﹣1，则m→设平面ABB1A1的法向量为n→则n→⋅AB令x＝1，则n→设