2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学六校联考高一（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学六校联考高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝﹣1+2i，则z⋅zA．102 B．5 C．2 D．2．（5分）从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位数为（）A．3 B．3+x2 C．8 D．3．（5分）已知平面向量a→=（1，2），b→=（3，4），那么A．（1155，255） B．（5C．（115，225） D．（5，24．（5分）圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（）A．30π B．31π C．32π D．33π5．（5分）在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则AP→A．[﹣4，20] B．[﹣1，5] C．[0，20] D．[4，20]6．（5分）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为1，方差为1；高三（2）班答对题目的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目的方差为（）A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.87．（5分）某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝a米，则该球体建筑物的高度为（）米．A．a4cos10° B．aC．asin10°2sin40° D．8．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为1，侧棱长为2，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面面积为（）A．33 B．63 C．23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知复数z1，z2，z3是方程z3﹣1＝0的三个解，则下列说法正确的是（）A．z1+z2+z3＝1 B．z1z2z3＝1 C．z1，z2，z3中有一对共轭复数 D．z1z2+z2z3+z3z1＝﹣1（多选）10．（5分）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M＝“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（）A．若n＝2，则M与N不互斥 B．若n＝2，则M与N相互独立 C．若n＝3，则M与N互斥 D．若n＝3，则M与N相互独立（多选）11．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若AP→=13AB→B．若P与C不重合，PB→⋅PC→=PAC．若AP→=-23AB→D．若AP→=mAB→+nAC→且（多选）12．（5分）如图，在四边形ABCD中，△ACD和△ABC是全等三角形，AB＝AD，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1．下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①；将△ACD沿着AC折起，得到三棱锥D1﹣ABC，如图1．折法②：将△ABD沿着BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2．下列说法正确的是（）A．按照折法①，三棱锥D1﹣ABC的外接球表面积恒为4π B．按照折法①，存在D1满足AB⊥CD1 C．按照折法②，三棱锥A1﹣BCD体积的最大值为38D．按照折法②，存在A1满足A1C⊥平面A1BD，且此时BC与平面A1BD所成线面角正弦值为6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在正三角形ABC中，AB＝2，D是BC的中点，E是AC的中点，则AD→⋅14．（5分）从A，B等5名自愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为．15．（5分）已知向量a→，b→满足（a→+b→）⋅b→=0，|a16．（5分）如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4.8km，B是山坡SA上一点，且AB→=λAS→，λ∈（0，1）．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路．若从A出发沿着这条公路到达B的过程中，要求先上坡，后下坡．则当公路长度最短时，四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）18．（12分）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．（Ⅰ）求甲最后没有得奖的概率；（Ⅱ）已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率．19．（12分）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB=3（sinA+cosB（1）若C=π3，求（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．20．（12分）已知四棱锥C﹣ABED的底面是直角梯形，AB∥DE，∠D＝90°，AB＝2，DE＝1，AD=3，侧面△BCE是正三角形，侧棱长AC=（1）证明：平面BCE⊥平面ABED；（2）求直线CD与平面BCE所成角的余弦值．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足sin（1）当tanA＝2时，求tanC的值；（2）当a＝2，且C﹣A取得最大值时，求△ABC的面积．22．（12分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，∠DCB＝60°．E、F，G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形．（1）当二面角A﹣BC﹣D从0°增加到90°的过程中，求线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；（2）设λ=AEAB，λ∈（0，1），且△ACD是以CD为底的等腰三角形，当λ为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为

2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学六校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝﹣1+2i，则z⋅zA．102 B．5 C．2 D．【解答】解：（1+i）z＝﹣1+2i，则z=-1+2i1+i=(-1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=12×（﹣1+3i﹣2i∴z=12-32i，∴z⋅z=（故选：D．2．（5分）从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位数为（）A．3 B．3+x2 C．8 D．【解答】解：12×25%＝3，故该组数据的下四分位数为第3个和第4个数的平均数，即3+x2故选：B．3．（5分）已知平面向量a→=（1，2），b→=（3，4），那么A．（1155，255） B．（5C．（115，225） D．（5，2【解答】解：∵平面向量a→=（1，2），∴a→⋅b→=∴b→在a→上的投影向量的坐标为a→⋅b故选：C．4．（5分）圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积是（）A．30π B．31π C．32π D．33π【解答】解：圆台的上、下底面半径分别是r＝1，R＝5，且圆台的母线长为5，则圆台的高为52则该圆台的体积是13故选：B．5．（5分）在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则AP→A．[﹣4，20] B．[﹣1，5] C．[0，20] D．[4，20]【解答】解：AP→•AB→=|AP→||AB→|cos＜AP→，AB所以|AP→|cos＜AP→，AB→＞当点P在点N处时，AP→在AB→上的投影最小为﹣|当点P在点M处时，AP→在AB→上的投影最大为|所以AP→•AB故选：A．6．（5分）某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为1，方差为1；高三（2）班答对题目的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目的方差为（）A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.8【解答】解：根据题意，由分层抽样定义，可得高三（1）班抽取的人数为4545+30高三（2）班抽取的人数为3045+30设高三（1）班（6人）答对题目数依次为x1，x2，…，x6，高三（2）班（4人）答对题目数依次为y1，y2，y3，y4，则16可得i=16则这10人答对题目的平均数110(i=1故选：D．7．（5分）某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝a米，则该球体建筑物的高度为（）米．A．a4cos10° B．aC．asin10°2sin40° D．【解答】解：由题意如图所示：由圆的切线性质：可得∠OBA＝30°，∠OCA＝10°，设球的半径R，设AB＝x，则Rx=tan30°=33，可得且Rx+a=tan10°，可得R＝xtan10°+atan10°=3R可得R=atan10°所以球体的高度为2R=故选：B．8．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为1，侧棱长为2，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面面积为（）A．33 B．63 C．23【解答】解：在正四棱锥S﹣ABCD中，连接AC，则AC=2=SA=SC，△SAC是正三角形，由SC的中点为E，得AE⊥而SC⊥α，SC∩α＝E，则AE⊂α，在△SBC中，cos∠BSC=SB2令平面α与直线SB交于F，连EF，AF，则SC⊥EF，SF=SEcos∠BSC=22同理平面α与棱SD相交，令交点为G，连EG，AG，于是四边形AFEG为平面α截正四棱锥S﹣ABCD所得的截面，由对称性知△AEG≅△AEF，在△SEF中，EF=SFsin∠BSC=2而AE=ACsinπ3=62由余弦定理得AF=(在△AEF中，cos∠EAF=A所以所得截面面积SAFEG故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知复数z1，z2，z3是方程z3﹣1＝0的三个解，则下列说法正确的是（）A．z1+z2+z3＝1 B．z1z2z3＝1 C．z1，z2，z3中有一对共轭复数 D．z1z2+z2z3+z3z1＝﹣1【解答】解：由z3﹣1＝0，得（z﹣1）（z2+z+1）＝0，即z﹣1＝0或z2+z+1＝0，解得z＝1或z=-12+z=-12+32由题意知，不妨取z1所以z1+z所以z1z2所以z=-12+故选：BC．（多选）10．（5分）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M＝“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（）A．若n＝2，则M与N不互斥 B．若n＝2，则M与N相互独立 C．若n＝3，则M与N互斥 D．若n＝3，则M与N相互独立【解答】解：2次实验结果中，共{正反，反正，正正，反反}四种情况，事件M＝{正反，反正}，事件N＝{正反，反正，正正}，显然M与N不互斥，故A正确；P（M）=12，P（N）=34，P（MN）=12，P（MN）≠P（M）P（N），故n＝2，则3次实验结果中，共{正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反}八种情况，事件M＝{正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正}，事件N＝{正正正，正正反，正反正，反正正}，显然M与N不互斥，故C错误；P（M）=68=34，P（N）=12，P（MN）=38，P（MN）＝P（M）P（N故选：AD．（多选）11．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若AP→=13AB→B．若P与C不重合，PB→⋅PC→=PAC．若AP→=-23AB→D．若AP→=mAB→+nAC→且【解答】解：选项A，设D为BC中点，则AD→若AP→=1即点P位于中线AD上，且是靠近点D的三等分点，故P是△ABC的重心，A正确；选项B，由PB→⋅PC即PC→⋅AB→=则P在AB的高线所在的直线上，选项B正确；选项C，若AP→=-2即CP→=23BC→，故点选项D，如图，延长AP交BC于点M，由AP→=mAB则可得5AP→=5mAB→+5nAC→故有5AP→=AM→，则则△PBC的面积是△ABC面积的45，选项D故选：ABD．（多选）12．（5分）如图，在四边形ABCD中，△ACD和△ABC是全等三角形，AB＝AD，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1．下面有两种折叠方法将四边形ABCD折成三棱锥．折法①；将△ACD沿着AC折起，得到三棱锥D1﹣ABC，如图1．折法②：将△ABD沿着BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2．下列说法正确的是（）A．按照折法①，三棱锥D1﹣ABC的外接球表面积恒为4π B．按照折法①，存在D1满足AB⊥CD1 C．按照折法②，三棱锥A1﹣BCD体积的最大值为38D．按照折法②，存在A1满足A1C⊥平面A1BD，且此时BC与平面A1BD所成线面角正弦值为6【解答】解：对于A：由题意，△ACD≅△ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，则AC的中点O到A，B，C，D的距离相等，故O为棱锥D1﹣ABC外接球的球心，AC为直径，所以外接球的半径为1，所以该外接球的表面积为4π×12＝4π，故A正确；按照折法①，在折起过程中，点D1在平面ABC内的投影D1'在线段BD上（不包括端点）而线段BD（不包括端点）不存在D1'使得CD'⊥AB，故不存在D1满足AB⊥CD1，故B选项错误；按照折法②，取BD的中点H，A1H=12，当平面A1BD⊥平面BCD时，三棱锥A1﹣BCD体积取得最大值，此时体积V=13AH•S△BCD=13×1当A1C=2时，A1C2+A1B2=BC2故此时A1C⊥A1B，A1C⊥A1D，又因为A1B∩A1D＝A1，A1B，A1D⊂平面A1BD，故A1C⊥平面A1BD，∠A1BC为BC与平面A1BD所成线面角，则sin∠A1BC=故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在正三角形ABC中，AB＝2，D是BC的中点，E是AC的中点，则AD→⋅BE→【解答】解：由题意可得AD→⋅BE→=12=14（AB→•BA→+AB→=14[﹣4+2×2×（-12）+2×2×（=-3故答案为：-314．（5分）从A，B等5名自愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为710【解答】解：由题可知则A和B至多有一个入选的概率为P=C故答案为：71015．（5分）已知向量a→，b→满足（a→+b→）⋅b→=0，|a→+【解答】解：设c→则b→则c→设|c则|a所以|a→+b→|+|故答案为：41016．（5分）如图是一座山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4.8km，B是山坡SA上一点，且AB→=λAS→，λ∈（0，1）．为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路．若从A出发沿着这条公路到达B的过程中，要求先上坡，后下坡．则当公路长度最短时，λ的取值范围为【解答】解：根据题意，作出圆锥的侧面展开图，由两点之间线段最短，显然当公路长度最短时，观光公路为图中的A'B，过点S作A'B的垂线，垂足为H，如图：圆锥的底面半径为1km，AS＝4.8km，则AA′=2π，则∠A′SB=记点P为A'B上任意一点，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A'B，当H在线段AB上时，上坡即P到山顶S的距离PS越来越小，下坡即P到山顶S的距离PS越来越大，此时满足从A出发沿着这条公路到达B的过程中，先上坡，后下坡；反之，当H不在线段A′B上时，不能满足从A到B的过程中，先上坡，后下坡；过点A′作A′M⊥SA，交SA于点M，当B在AM之间时，满足从A到B的过程中，先上坡，后下坡；如图：由于∠A′SB=5π12，则SMSA′=6-2若从A到B的过程中，先上坡，后下坡，必有λ∈（0，4-2故答案为：（0，4-2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（1）求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；（2）根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．（以每组中点作为该组数据的代表）【解答】解：（1）由图知第一组频率为1﹣（0.03+0.04+0.02）×10＝0.10，所以第一组矩形的高为m0.1010因为前两组的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4＜0.5，前三组的频率为（0.01+0.03+0.04）×10＝0.8＞0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x，（0.01+0.03）×10+（x﹣80）×0.04＝0.5，解得x＝82.5，所以估计此次得分的中位数是82.5分．（2）由频率分布直方图知，学生得分的平均值为x=参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为1000×[0.02×10+（90﹣82）×0.04]＝520，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的1000名学生中有520名学生获奖．18．（12分）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关通过率为0.5，第三关的通过率为0.3，三关全部通过可以获得一等奖（奖金为300元），通过前两关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．（Ⅰ）求甲最后没有得奖的概率；（Ⅱ）已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率．【解答】解：（Ⅰ）第一关没通过的概率为0.3，第一关通过第二关没通过的概率为0.7×（1﹣0.5）＝0.35，故甲没有得奖的概率P＝0.3+0.35＝0.65．（Ⅱ）记甲和乙通过了第二关时最后获得二等奖为事件E，通过了第二关时最后获得一等奖为事件F，则P（E）＝0.5×（1﹣0.3）＝0.35，P（F）＝0.5×0.3＝0.15，∵甲和乙最后所得奖金总和为700元，∴甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖，则甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为P1＝0.35×0.15＝0.0525，乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为P2＝0.35×0.15＝0.0525，∴甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率为：P＝P1+P2＝0.0525+0.0525＝0.105．19．（12分）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB=3（sinA+cosB（1）若C=π3，求（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．【解答】解：（1）∵C=π3，又cosA+sinB=3（sinA∴cosA+sin（2π3-A）=3sinA+3∴cosA+32cosA+12sinA=3sinA+3（-∴(1+3∴tanA＝1，又A∈（0，π），∴A=π（2）∵cosA+sinB=3（sinA+cosB∴3sinA﹣cosA＝sinB-3cosB∴2sin（A-π6）＝2sin（B∴A-π6=B-π3或A∴A＝B-π6或A+B又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD=π在△BCD中，由正弦定理可得|CD|sin∠CBD∴|CD|12=2sinC又sinC＝sin（7π6-2B），又△∴0＜A=B-π6＜π20＜B＜π2∴7π6-2B∈（π6∴sinC＝sin（7π6-2B）∈（∴|CD|=1sinC20．（12分）已知四棱锥C﹣ABED的底面是直角梯形，AB∥DE，∠D＝90°，AB＝2，DE＝1，AD=3，侧面△BCE是正三角形，侧棱长AC=（1）证明：平面BCE⊥平面ABED；（2）求直线CD与平面BCE所成角的余弦值．【解答】（1）证明：取BE的中点F，连接AE、AF、CF，在直角梯形ABED中，AE＝AB＝BE＝2，所以AF=3又CF=3，AC=6，所以AF2+CF2＝AC2，即CF⊥由题意知，CF⊥BE，且AF∩BE＝F，AF、BE⊂平面ABED，所以，CF⊥平面ABED，又CF⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面ABED．（2）解：过D作DH⊥BE交BE于H，因为平面BCE⊥平面ABED，平面BCE∩平面ABED＝BE，DH⊂平面ABED，所以DH⊥平面BCE，设点D到平面BCE的距离为d，则d＝|DH|＝|DE|sin60°=32，连接在△DEF中，因为DE＝EF＝1，∠DEF=2π由余弦定理可知DF=3，又△DCF为直角三角形，于是DC=设直线CD与平面BCE所成角为θ，则sinθ=dDC=所以cosθ=1421．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足sin（1）当tanA＝2时，求tanC的值；（2）当a＝2，且C﹣A取得最大值时，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由sin2C-si又由余弦定理得cosA=b∴4sinCcosA＝3sinB＝3sinAcosC+3sinCcosA，∴sinCcosA＝3sinAcosC，∴tanC＝3tanA＝6；（2）由（1）可知，若cosA＝0，则cosC＝0，则A=C=π所以tanC＝3tanA，于是有tan（C﹣A）=tanC-tanA当且仅当tanA=33时，tan（C﹣A）有最大值，此时C﹣此时A=π6，B=π2，所以S=122．（12分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，∠DCB＝60°．E、F，G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形．（1）当二面角A﹣BC﹣D从0°增加到90°的过程中，求线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；（2）设λ=AEAB，λ∈（0，1），且△ACD是以CD为底的等腰三角形，当λ为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴A在平面BCD上的投影满足AB＝AC，即A在线段BC的中垂线上．如右图所示，将RT△BCD补成边长为2的正△BCM，当二面角A﹣BC﹣D为180°角时，即点A在平面BCD上，此时A为M，当二面角A﹣BC﹣D为0°角时，此时A为BC中点N，故DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域为△DMN，而S△DMN故线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积为34（2）∵AC＝2，CD＝1，且△ACD是以CD为底的等腰三角形，∴AD＝2．取BC中点O，由题意得：OA⊥BC，OA=3，OD=满足OA2+OD2＝AD2，根据勾股定理可知OA⊥OD．∴OA⊥平面BCD．∴VA-BCD=1而多面体ADEFGH的体积恰好为14，即多面体ADEFGH的体积恰为四面体ABCD连接AH、AG．VA-EFGH=2×13×S△AEH∴VA﹣EFGH＝2λ2（1﹣λ）•V四面体ABCD．V四面体ADGHV四面体ABCD∴V四面体ADGH＝λ2•V四面体ABCD．∴V多面体ABCDEFGH＝VA﹣EGH+V四面体ADGH＝λ2（3﹣2λ）•V四面体ABCD=1∴λ2(3-2λ)=12，整理得（λ-12解得λ=12（2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知i为虚数单位，则（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（）A．数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．数据中可能有极端大的值 D．数据中众数可能和中位数相同3．（5分）有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率为（）A．37 B．67 C．784．（5分）已知点A的坐标为(1，3)，将OA→绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到OBA．-3 B．﹣1 C．3 5．（5分）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（35岁以上含35岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（）A．男性比女性更关注地铁建设 B．关注地铁建设的女性多数是35岁以上 C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．35岁以上的人对地铁建设关注度更高6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则m∥n C．若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m D．l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α∥β（多选）7．（5分）设平面向量|a→|=1，|b→|=2，A．a→⋅c→=c→⋅b→8．（5分）已知锐角α，β满足sinα﹣cosα=15，tanα+tanβ+3tanαtanβ=3A．α＜π4＜β B．β＜π4＜α二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（多选）9．（5分）下列关于复数z=2A．在复平面内z对应的点Z在第一象限 B．z2＝2i C．z的共轭复数为﹣1+i D．z是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的一个根（多选）10．（5分）对于一个事件E，用n（E）表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，则（）A．A与D不互斥 B．A与B互为对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立（多选）11．（5分）在一次党建活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A．甲组中位数为2，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为1，方差大于0 D．丁组平均数为2，方差为3（多选）12．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于点M，N，以下四个命题中正确的是（）A．四边形EMFN一定为菱形 B．平面EMFN⊥平面DBB′D′ C．四棱锥A﹣MENF体积为16D．四边形EMFN的周长最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的图象关于点(23π，0)中心对称，则|φ14．（5分）如图所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，PA＝AB＝2．现有以下命题：①BC⊥PC；②当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，二面角B﹣PC﹣A会逐步增大；③当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，三棱锥B﹣PAC的体积的最大值为23其中正确的命题序号为．15．（5分）在某次模拟测试中，30名男生的平均分数是70分，样本方差是10；20名女生的平均分数是80分，样本方差是15，则该次模拟考试中这50名同学成绩的平均分为，方差为．16．（5分）在三棱锥V﹣ABC中，AB，AC，AV两两垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P为棱AB上一点，AH⊥VP于点H，则△VHC．面积的最大值为；此时，三棱锥A﹣VCP的外接球表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π3，P是圆弧上一点（不与A，B重合），过P作PM⊥OA，PN⊥OB，M，（1）若|PM|=12，求（2）设∠AOP＝x，PM，PN的线段之和为y，求y的取值范围．18．（12分）柜子里有3双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为a1，a2，记第2双鞋左右脚编号为b1，b2，记第3双鞋左右脚编号为c1，c2．如果从中随机取出4只，那么（1）写出试验的样本空间Ω，并求恰好取到两双鞋的概率；（若取到a1，b1，c1，c2，则样本点记为a1b1c1c2，其余同理记之．）（2）求事件M“取出的鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋”的概率．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF=1（1）证明：平面CEF⊥平面ACC1A1；（2）若AC＝AE＝2，求二面角C1﹣CF﹣E的正弦值．20．（12分）在平面凸四边形（每个内角都小于180°）ABCD中，∠A+∠C＝180°，AB＝AD＝2，BC=2，CD=（1）求四边形ABCD的面积；（2）若M，N为边AB，CD的中点，求(AB21．（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如图的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；（2）设函数f（c）＝p（c）+q（c），当c∈[95，105]时，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．22．（12分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB＝2A1B1＝4，E、F分别为DC、BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°．（1）求证：BD1∥平面C1EF；（2）线段BF上是否存在点M，使得直线A1M与平面C1EF所成的角的正弦值为32222，若存在，求出线段

2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知i为虚数单位，则（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解答】解：（cos75°+isin75°）（cos15°+isin15°）＝（sin15°+icos15°）（cos15°+isin15°）＝sin15°cos15°+icos215°+isin215°+i2sin15°cos15°＝sin15°cos15°+i（cos215°+sin215°）﹣sin15°cos15°＝i．故选：D．2．（5分）如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（）A．数据中可能有异常值 B．这组数据是近似对称的 C．数据中可能有极端大的值 D．数据中众数可能和中位数相同【解答】解：中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相差很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的教，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B项错误，故选：B．3．（5分）有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两人在不同层离开电梯的概率为（）A．37 B．67 C．78【解答】解：由题意得，由于每一个人自第二层开始在每一层电梯是等可能的，故两人离开电梯的所有可能情况有7×7＝49种，而两人在同一层电梯的可能情况有7×1＝7，所以两人在同一层离开电梯的概率为749所以两人在不同层离开电梯的概率为1-1故选：B．4．（5分）已知点A的坐标为(1，3)，将OA→绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到OBA．-3 B．﹣1 C．3 【解答】解：设点A是α终边上一点，设点B的横坐标为x0，则|OA|=|OB|=3+1所以sinα=3所以x0故选：A．5．（5分）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（35岁以上含35岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（）A．男性比女性更关注地铁建设 B．关注地铁建设的女性多数是35岁以上 C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．35岁以上的人对地铁建设关注度更高【解答】解：由等高条形图可得：对于选项A：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，所以男性比女性更关注地铁建设，故A正确；对于选项B：由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，从而得到关注地铁建设的女性多数是35岁以上，故B正确；对于选项C：由左图知男性人数大于女性人数，由右图知35岁以下的男性占男性人数比35岁以上的女性占女性人数的比例少，所以无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确；对于选项D：由右图知样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确．故选：C．6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则m∥n C．若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m D．l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α∥β【解答】解：若l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α，故A错误；若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则由线面平行的判定定理与性质定理易得m∥n．故B正确；若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l与m不一定垂直，故C错误；若l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则不能得到α∥β．故D错误．故选：B．（多选）7．（5分）设平面向量|a→|=1，|b→|=2，A．a→⋅c→=c→⋅b→【解答】解：设b→与a→的夹角为对于A，当θ为锐角时，a→⋅c对于B．当θ为锐角时，a→当θ为钝角时，a→当θ为直角时，a→对于C，|a→⋅对于D，a→⋅c故选：BC．8．（5分）已知锐角α，β满足sinα﹣cosα=15，tanα+tanβ+3tanαtanβ=3A．α＜π4＜β B．β＜π4＜α【解答】解：∵sinα﹣cosα=1∴sinα＞cosα，∴α＞π∵tanα+tanβ+3tanαtanβ=∴tan（α+β）=tanα+tanβ∴α+β=π∴β＜π故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）（多选）9．（5分）下列关于复数z=2A．在复平面内z对应的点Z在第一象限 B．z2＝2i C．z的共轭复数为﹣1+i D．z是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的一个根【解答】由z=21-i可得对于A，点Z为（1，1），故在第一象限，A正确，对于B，z2＝（1+i）2＝2i，故B正确，对于C，z的共轭复数为1﹣i，故C错误，对于D，（1+i）2﹣2（1+i）+2＝2i﹣2﹣2i+2＝0，故D正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）对于一个事件E，用n（E）表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，n（Ω）＝100，n（A）＝60，n（B）＝40，n（C）＝20，n（D）＝10，n（A∪B）＝100，n（A∩C）＝12，n（A∪D）＝70，则（）A．A与D不互斥 B．A与B互为对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立【解答】解：因为n（A）+n（D）＝n（A∪D），所以A与D互斥，即选项A错误；因为n（A）+n（B）＝n（A∪B）＝n（Ω），所以A与B互斥且对立，即选项B正确；由题意知，P（A）=n(A)n(Ω)=60100=35，P（B）=n(B)n(Ω)=40100=2所以P（A∩C）＝P（A）•P（C），即A与C相互独立，所以选项C正确；因为n（A∩C）＝12，n（C）＝20，且A与B互为对立，所以n（B∩C）＝20﹣12＝8，所以P（B∩C）=n(B∩C)n(Ω)=8100=225所以B与C相互独立，即选项D正确．故选：BCD．（多选）11．（5分）在一次党建活动中，甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A．甲组中位数为2，极差为5 B．乙组平均数为2，众数为2 C．丙组平均数为1，方差大于0 D．丁组平均数为2，方差为3【解答】解；对A，因为中位数为2，极差为5，故最大值小于等于7，故A正确；对B，如失分数据分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；对C，如失分数据分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；对D，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于110×(8-2)故选：AD．（多选）12．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于点M，N，以下四个命题中正确的是（）A．四边形EMFN一定为菱形 B．平面EMFN⊥平面DBB′D′ C．四棱锥A﹣MENF体积为16D．四边形EMFN的周长最小值为2【解答】解：连接BD，B′D′，MN，AC，EF，显然AE∥CF，且AE＝CF，所以ACFE为平行四边形，所以AC∥EF，由题意得AC⊥BD，BB′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB′⊥AC，∵BD∩BB′＝B，BD，BB′⊂平面BDD′B′，所以AC⊥平面BDD′B′，则EF⊥平面BDD′B′，EF⊂平面EMFN，所以平面EMFN⊥平面BDD′B′，故B正确；由正方体的性质得平面BCC′B′∥平面ADD′A′，平面BCC′B′∩平面EMFN＝MF，平面ADD′A′∩平面EMFN＝EN，故MF∥EN，同理得ME∥NF，又EF⊥平面BDD′B′，MN⊂平面BDD′B′，EF⊥MN，∴四边形EMFN为菱形，故A正确；对于C，四棱锥A﹣MENF的体积为：VA-MENF=V对于D，∵四边形EMFN是菱形，∴四边形EMFN的周长l=4M∴当点M，N分别为BB′，DD′的中点时，四边形EMFN的周长最小，此时MN=EF=2，即周长的最小值为4，故D故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的图象关于点(23π，0)中心对称，则|φ|的最小值为【解答】解：因为函数f（x）＝cos（2x+φ）（x∈R）的图象关于点(2所以2×2π3+φ=则当k＝1时，|φ|的最小值为π6故答案为：π614．（5分）如图所示，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，PA＝AB＝2．现有以下命题：①BC⊥PC；②当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，二面角B﹣PC﹣A会逐步增大；③当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，三棱锥B﹣PAC的体积的最大值为23其中正确的命题序号为①③．【解答】解：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，故①正确；因为BC⊥平面PAC，而BC⊂平面BPC，所以平面BPC⊥平面PAC，故当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，二面角B﹣PC﹣A恒为90°，故②不正确；因为PA＝AB＝2，所以三棱锥B﹣PAC的体积VB-PAC过点C作CH⊥AB交AB于点H，所以S△ABC所以VP-ABC所以求三棱锥B﹣PAC的体积的最大值，即求CH的最大值，当点C在圆周上由B点逐步向A点移动过程中，当H为AB中点时，CH最大，且CH的最大值为1，所以三棱锥B﹣PAC的体积的最大值为23，故③故答案为：①③．15．（5分）在某次模拟测试中，30名男生的平均分数是70分，样本方差是10；20名女生的平均分数是80分，样本方差是15，则该次模拟考试中这50名同学成绩的平均分为74，方差为36．【解答】解：记30名男生得分记为x1，x2，……，x30，20名女生得分记y1，y2，……，y20，所以男生得分平均分x=x1+x2+...+x3030所以女生得分平均分y=y1+y2+...+y2020所以总平均分m=总方差为s2所以此50人该次模拟考试成绩的平均分是74，方差是36．故答案为：74；36．16．（5分）在三棱锥V﹣ABC中，AB，AC，AV两两垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P为棱AB上一点，AH⊥VP于点H，则△VHC．面积的最大值为5；此时，三棱锥A﹣VCP的外接球表面积为148π5【解答】解：设AP＝x，∵AB，AC，AV两两垂直，∴VP=16+∴12VP•AH=12VA•AP，∴由已知可得AC⊥平面VAB，∴AC⊥AH，HC=4+∵VH⊥AH，AH∩AC＝A，∴VH⊥平面AHC，∵HC⊂平面AHC，∴VH⊥HC，∴VH=16-∴S△VHC=12×VH×当且仅当4+16x216+三棱锥A﹣VCP的外接球的半径为r，则（2r）2＝AP2+AC2+AV2=16×1525+∴4πr2=1485故答案为：5；1485π四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π3，P是圆弧上一点（不与A，B重合），过P作PM⊥OA，PN⊥OB，M，（1）若|PM|=12，求（2）设∠AOP＝x，PM，PN的线段之和为y，求y的取值范围．【解答】解：（1）sin∠POM=12，∠POM∈(0，π所以∠PON=π3-（2）∠POB=πy=sinx+sin(πx+π3∈(π318．（12分）柜子里有3双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为a1，a2，记第2双鞋左右脚编号为b1，b2，记第3双鞋左右脚编号为c1，c2．如果从中随机取出4只，那么（1）写出试验的样本空间Ω，并求恰好取到两双鞋的概率；（若取到a1，b1，c1，c2，则样本点记为a1b1c1c2，其余同理记之．）（2）求事件M“取出的鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋”的概率．【解答】解：（1）由题意得，试验的样本空间为：Ω＝{a1a2b1b2，a1a2b1c1，a1a2b1c2，a1a2b2c1，a1a2b2c2，a1a2c1c2，a1b1b2c1，a1b1b2c2，a1b1c1c2，a1b2c1c2，a2b1b2c1，a2b1b2c2，a2b1c1c2，a2b2c1c2，b1b2c1c2}，设A表示事件“恰好取到两双鞋”，则A＝{a1a2b1b2，a1a2c1c2，b1b2c1c2}，所以n（Ω）＝15，n（A）＝3，故事件“恰好取到两双鞋”的概率