2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷含答案

2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cosθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=eiπ2A．i B．1 C．22i 3．（5分）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆N：（x+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（）A．y＝0 B．4x﹣3y＝0 C．x-2y+5=0 4．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则△PAC的面积为（）A．3 B．2 C．22 D．5．（5分）在数列{an}中，a1＝1，且函数f（x）＝x5+an+1sinx﹣（2an+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（）A．1021 B．1022 C．1023 D．10246．（5分）△ABC中，sin(π2-B)=cos2AA．(-1，12) B．(13，7．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PSA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件8．（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点，若对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，则实数A．3 B．322 C．2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知向量a→=(1，3)，b→=(2x，2-x)A．若a→⊥b→B．若a→与b→夹角为锐角，则xC．若x＝1，则a→在b→方向上投影向量为D．若|（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），则下列说法正确的是（）A．若函数f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称，则a＝﹣3 B．当c＝0时，函数f（x）过原点的切线有且仅有两条 C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a﹣b≥3 D．若实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且满足x1+x2＝x1x2，则a＞0或a＜﹣6（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sinx+|sin2x|，则（）A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的图象关于x=π2C．f（x）在[0，2π]上有四个零点 D．f（x）的值域为[-2，（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1＞2，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是α与β，则（）A．sinα＞tanβ B．∠AEF＝∠BEF C．∠AEB＜90° D．α＜2β三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）(2x-y)5展开式中x2y14．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2），且P（ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X）＝．15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x∈（0，1]，f（x）＝lnx，且f（x）关于直线x＝1对称．设方程f（x）＝x+1的正数解为x1，x2，⋯，xn，⋯，且任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，则实数M的最小值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，BD＝BC＝2，沿对角线BD将△ABD折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱锥A﹣BCD，则三棱锥A﹣BCD外接球表面积的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足Sn（1）求an；（2）设bn=1(an+1)(an+1+1)，设数列{bn}的前n项和为Tn18．（12分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A-B)cosB（1）求证：B＝C；（2）若asinC＝2，求1a19．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．（1）证明：AC⊥BD；（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，θ∈[π3，2π3]时，求直线AA1与平面20．（12分）已知函数f（x）＝ex+cosx﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当x≥-π2时，xex+xcosx﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；（3）若Pi（i＝0，1，⋯，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1．证明：{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．22．（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）点E(22，0)，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若(1

2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，集合A为函数y＝2x图象的点集，集合B为函数y＝x2图象的点集，两函数的图象有三个交点，所以A∩B的元素个数为3个．故选：C．2．（5分）欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cosθ，sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=eiπ2A．i B．1 C．22i 【解答】解：z=eiπ2故选：D．3．（5分）已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆N：（x+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（）A．y＝0 B．4x﹣3y＝0 C．x-2y+5=0 【解答】解：如图，圆心M（2，1），N（﹣2，﹣1），半径r1＝r2＝1，两圆相离，有四条公切线．两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线l：y＝kx，则圆心到直线的距离|2k-1|1+k2=1，解得另两条切线与直线MN平行且相距为1，lMN设切线l：y=12x+b解得b=±52（或通过斜率排除）．所以故选：D．4．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则△PAC的面积为（）A．3 B．2 C．22 D．【解答】解：如图所示，∵AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，∴△PAB是等腰三角形，由余弦定理可得AB2=A由圆锥的特征易知PA＝PC、OA＝OC，PO⊥⊙O，取AC中点D，连接PD、OD，显然有OD⊥AC，PD⊥AC，即二面角P﹣AC﹣O为∠PDO＝45°，∴PO=OD=1，PD=2，则AC=2AD=2∴S△PAC故选：B．5．（5分）在数列{an}中，a1＝1，且函数f（x）＝x5+an+1sinx﹣（2an+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（）A．1021 B．1022 C．1023 D．1024【解答】解：f′（x）＝5x4+an+1cosx﹣（2an+3），易知函数f′（x）为偶函数，又f′（x）有唯一零点，则必有f′（0）＝an+1﹣（2an+3）＝0，即an+1＝2an+3，则有an+1+3＝2（an+3），所以数列{an+3}是以2为公比的等比数列，又a1＝1，则an所以a9故选：A．6．（5分）△ABC中，sin(π2-B)=cos2AA．(-1，12) B．(13，【解答】解：由题意，sin(π在△ABC中，A，B∈（0，π），故2A＝B或2A+B＝2π，当2A+B＝2π时，A+B2=π，故A+B所以2A＝B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣A﹣2A＝π﹣3A，因为A，B∈（0，π），所以2A∈（0，π），即A∈(0，π因为C＝π﹣3A∈（0，π），所以A∈(0，π由正弦定理得ACsinB故AC-BCAB因为A∈（0，π），所以sinA≠0，故AC-BCAB因为A∈(0，π3)故AC-BCAB因为A∈(0，π3)，所以cosA∈(12，1)，2cosA故AC-BCAB故选：B．7．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α（α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PSA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件【解答】解：不妨设M（x，y）为椭圆x2a2此时F1（﹣c，0），所以|M=(x+c)不妨设直线l：x=-a则点M到直线l的距离为d=|x+a所以|MF设直线MF1的倾斜角为γ，过M作l的垂线，垂足为S，此时|MF所以|MF不妨设p=b此时|MF同理的|MF设AF1的倾斜角为θ，可得|MF1|=因为AF1∥BF2，所以|BF此时|BF则|F同理，|F所以|F则P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，长半轴长为a-ep2=则P的轨迹方程为x2(a令α=π2，因为a2所以|PS|2即即β不是定值，故“当α取定值，β是定值”不符合条件，又直线ST的参数方程为x=x设S（x0+t1cosα，y0+t1sinα），T（x0+t2cosα，y0+t2sinα），因为(x整理得(cos由韦达定理得t1因为|PS|＝β|PT|，此时(1-β)t整理得(1-β)2若β为定值，则(1-β)2因为(1-β)2所以当P（x0，y0）变化时，(x又(=x则cos2αa4-b2sin2解得α=π所以(1-β)=y但此时(1-β)2-4β随则“当β取定值，α是定值”是错误的．故选：D．8．（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点，若对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，则实数A．3 B．322 C．2 【解答】解：因为点P，Q分别是函数f（x）＝axex﹣ln（ax）和g(x)=2ln(x-1)不妨设P（k，akek﹣ln（ak）），（a，k＞0），Q（t，2ln(t-1)t)，（可得|PQ|2＝（t﹣k）2+[（akek﹣ln（ak））-2ln(t-1)≥[t-不妨设h（t）＝t-2ln(t-1)可得h′(t)=1-2[不妨设u（t）＝t²-2tt-1+2ln可得u′(t)=2t--2所以函数u（t）在定义域上单调递增，因为u（2）＝0，所以函数h（t）在t＝2时取得极小值即最小值，此时h（2）＝2，不妨设v（k）＝akek﹣ln（ak）﹣k，函数定义域为（0，+∞），可得v′(k)=a(k+1)e易知函数y=ae所以存在k0＞0，使得ae即ek解得k0＝﹣ln（ak0），所以函数v（k）在k＝k0时取得极小值即最小值，此时v（k0）＝1+k0﹣k0＝1，则|PQ|解得|PQ|≥3因为对任意a＞0，都有|PQ|≥m恒成立，所以m≤3即m的最大值为32故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知向量a→=(1，3)，b→=(2x，2-x)A．若a→⊥b→B．若a→与b→夹角为锐角，则xC．若x＝1，则a→在b→方向上投影向量为D．若|【解答】解：a→若a→⊥b→，则a→若a→与b→夹角为锐角，则a→又当x=27，b→=(47，故x的取值范围为（﹣∞，27）∪(27若x＝1，则b→因为a→在b→方向上投影为a→⋅b所以a→在b→方向上投影向量为5b∵a→∴|a→|=故选：AC．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），则下列说法正确的是（）A．若函数f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称，则a＝﹣3 B．当c＝0时，函数f（x）过原点的切线有且仅有两条 C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a﹣b≥3 D．若实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且满足x1+x2＝x1x2，则a＞0或a＜﹣6【解答】解：A．函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，f′（x）＝3x2+2ax+b，f″（x）＝6x+2a，令f″（x）＝6x+2a＝0，解得x=-a∵函数f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称，∴-a3=1，解得aB．c＝0时，原点（0，0）在函数f（x）＝x3+ax2+bx的图象上，因此过原点有一条切线；若切点不是原点时，设切点为P（x0，f（x0））（x0≠0），则切线方程为y﹣（x03+ax02+bx0）＝（3x02+2ax把（0，0）代入可得：x0=-a2，若a＝0，则函数f（若a≠0，则函数f（x）过原点的切线有两条．因此B不正确．C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减⇔f′（x）＝3x2+2ax+b＝3(x+a3)2+b-a2分类讨论：-a3≥1g(-1)=3-2a+b≤0或-a3≤-1g(1)=3+2a+b≤0或-1＜-D．f′（x）＝3x2+2ax+b，由实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，则Δ＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0，∴x1+x2=-2a3，x1x2∵x1+x2＝x1x2，∴-2a3=b3，化为b＝﹣2a，代入a2﹣3b＞0，可得a2+6a＞0，解得a故选：ACD．（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝2sinx+|sin2x|，则（）A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的图象关于x=π2C．f（x）在[0，2π]上有四个零点 D．f（x）的值域为[-2，【解答】解：对于A，函数y＝2sinx的最小正周期为2π，函数y＝|sin2x|的最小正周期为π2所以函数f（x）＝2sinx+|sin2x|的最小正周期为2π，选项A正确；对于B，f（﹣x+π）＝2sin（﹣x+π）+|sin2（﹣x+π）|＝2sinx+|sin（﹣2x）|＝2sinx+|sin2x|＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x=π2对称，选项对于C，当0≤x≤π2时，f（x）＝2sinx+sin2x＝2sinx+2sinxcosx＝2sinx（1+cosx），易知此时f（x）有唯一零点当π2＜x≤π时，f（x）＝2sinx﹣sin2x＝2sinx﹣2sinxcosx＝2sinx（1﹣cosx），易知此时f（x）有唯一零点x＝当π＜x≤3π2时，f（x）＝2sinx+sin2x＝2sinx+2sinxcosx＝2sinx（1+cosx），易知此时f（当3π2＜x≤2π时，f（x）＝2sinx﹣sin2x＝2sinx﹣2sinxcosx＝2sinx（1﹣cosx），易知此时f（x）有唯一零点x＝2所以f（x）在[0，2π]上有三个零点，选项C错误；对于D，当x=3π2时，y＝2sinx取得最小值﹣2，此时y＝|sin2x|恰好取得最小值0，故f（由选项C的分析可知，当x∈（π，2π]时，f（x）＜0，当x∈[0，π]时，f（x）＞0，而f（x）关于直线x=π故可考虑0≤x≤π2时，f（x）＝2sinx+sin2x的取值情况，f′（x）＝2cosx+2cos2x＝2（2cos2x﹣1）+2cosx＝4cos2x+2cos令f′（x）＝0，解得cosx＝﹣1（舍）或cosx=12，则易知当0＜x＜π3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当π3＜x＜π2时，f′（所以此时，f(x)综上，函数f（x）的值域为[-2，3故选：ABD．（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1＞2，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是α与β，则（）A．sinα＞tanβ B．∠AEF＝∠BEF C．∠AEB＜90° D．α＜2β【解答】解：作AD⊥x轴于D，作BC⊥x轴于C，所以D（x1，0），C（x2，0），抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），因为y1＞2，所以x1＞1，即α＜90°，所以直线l的斜率存在设为k，可得直线l的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立y=k(x-1)y整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以x1+x2=2k2+4k2，x1x2对于A，sinα=|AD||AF|=y1x1+1，tanβ对于B，因为kAE=y1x1+1所以kAE+kBE=y1x所以直线AE与BE的倾斜角互补，即∠AEF＝∠BEF，故B正确；对于C，因为x1＞1，所以tanβ=|AD||ED|=因为∠AEF＝∠BEF，所以∠AEB＜90°，故C正确；对于D，因为∠AEB＜90°，所以0°＜2β＜90°，tanα=|AD||FD|=y所以tan2β=2tanβ所以tanα﹣tan2β=y所以tanα＜tan2β，即α＜2β，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）(2x-y)5展开式中x2y【解答】解：(2x-y)取r＝3得到T4故答案为：﹣20．14．（5分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2），且P（ξ≥25.45）＝0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X）＝0.48．【解答】解：由正态分布的对称性可知，P（25.35＜ξ＜25.45）＝1﹣2P（ξ≥25.45）＝1﹣0.2＝0.8，故1件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的概率P＝0.2，则X～B（3，0.2），故D（X）＝3×0.2×（1﹣0.2）＝0.48．故答案为：0.48．15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x∈（0，1]，f（x）＝lnx，且f（x）关于直线x＝1对称．设方程f（x）＝x+1的正数解为x1，x2，⋯，xn，⋯，且任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，则实数M的最小值为2．【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0，又f（x）关于直线x＝1对称，所以f（1+x）＝f（1﹣x），所以f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，作出函数y＝f（x）和y＝x+1的图像如图所示：由f（x）＝x+1的正数解依次为x1，x2，⋯，xn，⋯，则limn→∞(xn+1-所以limn→∞所以得任意的n∈N，|xn+1﹣xn|＜2，已知任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，可得M≥2，即M的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠ADB＝90°，∠ABC＝90°，BD＝BC＝2，沿对角线BD将△ABD折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱锥A﹣BCD，则三棱锥A﹣BCD外接球表面积的最小值为(25+2)π【解答】解：在平面四边形中，设∠CBD＝θ（0＜θ＜π2），在Rt△ADB中，可得∠BAD＝θ，AD=2在△BCD中，CD＝2BCsinθ2=4设△BCD外接圆圆心为M，外接圆半径为r，由正弦定理可得2r=CDsinθ=4sin设三棱锥A﹣BCD外接球球心为O，则OM⊥平面BCD．又∵平面ADB⊥平面BDC，平面ADB∩平面BDC＝BD，∠ADB＝90°，∴AD⊥平面BDC，则AD∥OM，得四边形OMDA为直角梯形．设外接球的半径为R，在平面四边形OMDA中，过O作OE⊥AD于E，在△AOD中，AO＝DO＝R，E为AD的中点，OM＝DE=12AD由DO2＝DE2+OE2，得R2＝DE2+r2=1∴R2令3﹣2cosθ＝t，1＜t＜3，则cosθ=3-t∴R2∵t+5t≥25，当且仅当t=5t∴R2∴外接球表面积的最小值为4πR故答案为：(25四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足Sn（1）求an；（2）设bn=1(an+1)(an+1+1)，设数列{bn}的前n项和为Tn【解答】解：（1）当n＝1时，a1=S1当n≥2时，an即an2-an-12-2(an+an-1)=0，∴（a由已知，数列{an}各项均为正数得an﹣an﹣1＝2，∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝2n﹣1；（2）由（1）知，an＝2n﹣1，则bn∴Tn∴Tn+1∴{Tn}单调递增，∴Tn∵Tn=n要使m-24＜Tn＜所以实数m的取值范围是[518．（12分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A-B)cosB（1）求证：B＝C；（2）若asinC＝2，求1a【解答】解：（1）证明：由于sin(A-B)cosB=sin(A-C)整理的cosA（sinBcosC﹣cosBsinC）＝0，即cosAsin（B﹣C）＝0，因为A为锐角，所以cosA＞0，故sin（B﹣C）＝0，由B，C为锐角可得B＝C；（2）由（1）得b＝c，因为asinC＝2，且由正弦定理得asinC＝csinA＝bsinA＝asinB＝2，所以a=2sinB，则1a因为0＜B＜π20＜π-2B＜π2，所以π根据二次函数的性质可知，当cos2B=-14时，（*）取得最大值19．（12分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点．（1）证明：AC⊥BD；（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ，θ∈[π3，2π3]时，求直线AA1与平面【解答】（1）证明：如图，作AC的中点M，连接DM，BM，在等腰梯形ACC1A1中，D，M为A1C1，AC的中点，∴AC⊥DM，在正△ABC中，M为AC的中点，∴AC⊥BM，∵AC⊥DM，AC⊥BM，DM∩BM＝M，DM，BM⊂平面BDM，∴AC⊥平面BDM，又BD⊂平面BDM，∴AC⊥BD．（2）解：∵AC⊥平面BDM，在平面BDM内作Mz⊥BM，以M为坐标原点，以MA→，MB→，Mz→，分别为x，y∵DM⊥AC，BM⊥AC，∴∠DMB为二面角A1﹣AC﹣B的平面角，即∠DMB＝θ，A（1，0，0），B(0，3，0)，C（﹣1，0，0），D(0，32cosθ，设平面BB1C1C的法向量为n→=(x，y，z)，CB→则有，n→⋅CB→=0n→⋅CC1即n→=（﹣3，3，又AA∴sinα=|cos＜A∵θ∈[π3，∴sinα∈[2120．（12分）已知函数f（x）＝ex+cosx﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当x≥-π2时，xex+xcosx﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求【解答】解：（1）f'（x）＝ex﹣sinx，令g（x）＝ex﹣sinx，x≥0，则g'（x）＝ex﹣cosx．当x∈[0，π）时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝0；当x∈[π，+∞）时，g'（x）≥eπ﹣1＞0．故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值为1．（2）令h（x）＝ex+cosx﹣2﹣ax，h'（x）＝ex﹣sinx﹣a，则x≥-π2时，x•h（当a≤1时，若x≥0，则由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x•h（x）≥0恒成立；若x∈[-π2，0]，则h''（x）＝exh'''（x）＝ex+sinx在[-π又h'''（0）＝1，h″′(-π故存在唯一x0∈(-π2，0)，使得当x∈(-π2，x0)时，h'''（x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．又h″(-π2)=故存在唯一x1∈(-π2，0)使得故x∈(-π2，x1)时，h''（xx∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．又h′(-π2)=eπ所以x∈[-π2，0]时，h'（x）＞0，h故h（x）≤h（0）＝0，即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝ex﹣sinx﹣a在[0，+∞）上为增函数，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述，a≤1．21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2．（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；（3）若Pi（i＝0，1，⋯，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0＝0，P6＝1．证明：{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．【解答】解：（1）X的所有可能取值为2，3，4，P（X＝2）＝0.2，P（X＝3）＝0.5，P（X＝4）＝0.3，则X的分布列为：X234P0.20.50.3E（X）＝2×0.2+3×0.5+4×0.3＝3.1．（2）当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，其概率为：C3当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，其概率为：C3所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405+0.012＝0.0525．（3）因为Pi（i＝0，1，2，3，4，5，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，P0＝0，在甲所得筹码为1枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为0.3P2，在甲所得筹码为1枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为0.5P1，在甲所得筹码为1枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为0.2P0，根据全概率公式得P1＝0.3P2+0.5P1+0.2P0，所以P1＝0.3P2+0.5P1+0.2P0，变形得0.3（P2﹣P1）＝0.2（P1﹣P0），因为P1﹣P0＞0，所以P2-P所以{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2，⋯，5）为等比数列．22．（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）点E(22，0)，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若(1【解答】解：（1）因为直线x﹣y＝0、x+y＝0相互垂直，所以四边形OAMB为矩形，设M（x，y），且x-y＜0x+y＜0，可得x则点M到直线x﹣y＝0、x+y＝0的距离分别为2|x-y|2、可得2|x-y|整理得x2﹣y2＝4（x＜0），所以C的方程为x2﹣y2＝4（x＜0）．（2）设直线PQ：y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程y=kx+mx2-y2=4，消去y得（1﹣k2）x2由题意可得：1-k2因为(1则(x整理得8k即-8整理得3m解得m=-423若m=-4则直线PQ：y=kx-423此时①式为1-k当m=22k时，则直线PQ：y=kx+22此时①式为1-k解得k2＞1，即k＞1或k＜﹣1，则|PQ|=1+因为k2＞1，则k2﹣1＞0，可得1k所以|PQ|=4(1+2又因为E，F为双曲线x2﹣y2＝4的左、右焦点，则|PE|﹣|PF|＝4，|QE|﹣|QF|＝4，即|PE|＝|PF|+4，|QE|＝|QF|+4，可得△PQE周长为|PE|+|QE|+|PQ|＝|PF|+4+|QF|+4+|PQ|＝2|PQ|+8＞16，所以△PQE周长的取值范围（16，+∞）．2022-2023学年福建省泉州七中高二（下）期末数学试卷一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（）A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U2．（5分）若复数z＝3﹣4i，则z|z|A．35+45i B．353．（5分）已知函数f(x)=(x+1)5，x＞1x2+2，x≤1，，则当0＜x＜1时，f（A．﹣270 B．﹣216 C．216 D．2704．（5分）函数f(x)=2A． B． C． D．5．（5分）某高校有智能餐厅A、人工餐厅B，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．则甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.386．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为5，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（yA．55 B．255 C．37．（5分）已知正实数a，b满足a+1b=2A．52 B．3 C．92 8．（5分）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足：∀x1，x2∈D且x1＜x2，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若f（x）为区间[0，2]上的“非减函数”，且f（2）＝2，f（x）+f（2﹣x）＝2，又当x∈[32，2]时，f（xA．f（1）＝0 B．∃xC．∃x0∈[1，32]，f(x0)＞1 D．∀x∈二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知5个成对数据（x，y）的散点图如下，若去掉点D（4，3），则下列说法正确的是（）A．变量x与变量y呈负相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．样本相关系数r变小 D．样本相关系数r变大（多选）10．（5分）已知实数a，b，c满足2a＝log2b=1A．b＝c＞a B．c＝a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a（多选）11．（5分）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AB，BC上的中点，过E，F的平面α与底面ABCD所成的锐二面角为60°，则正方体被平面α所截的截面形状可能为（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数f(x)，∀x，y∈R，f(x)f(y)=f(x+y)+2f(x-y)3，且f（A．f（0）＝1 B．若f（1）＝1，则f（2024）＝2024 C．f（x）是偶函数 D．∃x∈R，f（x）＝﹣2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→=(3，x)，a14．（5分）某工厂生产一批零件（单位：cm），其尺寸ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ≤14）＝0.1，P（ξ＜18）＝0.9，则μ＝．15．（5分）已知随机事件A，B，P（A）=13，P（B）=14，P（A|B）=16．（5分）已知函数f（x）定义域为（0，+∞），f（1）＝e，对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x2＞x1时，有f(x1)-f(x2)x1x2＞ex四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1），且f(1)=3（1）求a；（2）f（2t）+f（t﹣1）＜0，求t的取值范围．18．（12分）为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响．（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．19．（12分）已知数列{an}满足an+an+2＝2an+1，n∈N*且a1＝1，a2＝3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的前n项和为Sn，b1＝1，且满足3Sn＝bn+1﹣1，记cn=1an(log220．（12分）已知函数f（x）＝x2•ex．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若函数y＝f（x）﹣ax在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围．21．（12分）受疫情影响，某校实行线上教学，为了监控学生的学习情况，每周进行一次线上测评，连续测评5周，得到均分数据见图．优秀数非优秀数合计某校4654100联谊校5644100合计10298200（1）请你根据数据利用相关系数判定均分y与线上教学周数x是否具有显著相关关系，若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；（2）为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见上表，试依据α＝0.100的独立性检验，分析优秀学生数与线上学习是否有关联？附：相关系数：r=回归系数：b临界值表：α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.82822．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，点F（1，0），以线段EF为直径的圆内切于圆O，点E的集合记为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若A，B是曲线C上关于坐标原点O对称的两点，点D（4，0），连结DA并延长交曲线C于点M，连结DB交曲线C于点N．设△DMN，△DAB的面积分别为S1，S2，若S1S2

2022-2023学年福建省泉州七中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（）A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U【解答】解：由于∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．故选：A．2．（5分）若复数z＝3﹣4i，则z|z|A．35+45i B．35【解答】解：z＝3﹣4i，则z=3+4i，|z|=故z|z|故选：A．3．（5分）已知函数f(x)=(x+1)5，x＞1x2+2，x≤1，，则当0＜x＜1时，f（A．﹣270 B．﹣216 C．216 D．270【解答】解：当0＜x＜1时，f（x）＝x2+2∈（2，3），所以f（f（x））＝f（x2+2）＝（x2+3）5，故f（f（x））的展开式即二项式（x2+3）5展开式，其通项公式为Tr+1由10﹣2r＝4，得r＝3，所以f（f（x））的展开式中x4的系数为C5故选：D．4．（5分）函数f(x)=2A． B． C． D．【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），因为f（﹣x）=2-x+12-x-1cos（﹣x）=1+2x1-所以f（x）为奇函数，排除选项A和D，令f（x）＝0，则x=π2+kπ，k所以在y轴右侧，函数f（x）的第一个零点为x=π不妨取x＝1，则f（1）=2+12-1•cos1＞0，即选项B正确，选项故选：B．5．（5分）某高校有智能餐厅A、人工餐厅B，甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．则甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38【解答】解：设第一天去A餐厅为事件A1，第二天去A餐厅为事件A2，第一天去B餐厅为事件B1，则P（A2）＝P（A2|A1）P（A1）+P（A2|B1）P（B1）＝0.6×0.5+0.8×0.5＝0.7．故选：B．6．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为5，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（yA．55 B．255 C．3【解答】解：双曲线C：x2a2-y2b可得c=5a，所以b＝2a所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：|4-3|1+4所以|AB|＝21-1故选：D．7．（5分）已知正实数a，b满足a+1b=2A．52 B．3 C．92 【解答】解：∵正实数a，b满足a+1b=2，∴ab+1＝2b，∴ab∴2ab+1a=4b+1a-2＝（4b+1a）（a+1b）×12-2＝（4当且仅当4ab=1ab，即a=23∴2ab+1a的最小值是故选：A．8．（5分）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足：∀x1，x2∈D且x1＜x2，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若f（x）为区间[0，2]上的“非减函数”，且f（2）＝2，f（x）+f（2﹣x）＝2，又当x∈[32，2]时，f（xA．f（1）＝0 B．∃xC．∃x0∈[1，32]，f(x0)＞1 D．∀x∈【解答】解：对于A，由f（x）+f（2﹣x）＝2，令x＝1，则有f（1）+f（1）＝2⇒f（1）＝1，故A不正确；对于B，当x0=3又f(3所以f(3由题意x∈[32，2]，f(x)≥f(对于C中，因为f（1）＝1，f（32因为：∀x1，x2∈D且x1＜x2，都有∀x1，x2∈D且x1＜x2，所以当1≤x≤32时，f（1）＝1，故对于D中，当x＝0时，f（0）+f（2）＝2⇒f（0）＝0，又f（1）＝1，所以0≤x≤1时，0≤f（x）≤1，所以f（f（x））∈[0，1]，故D正确．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知5个成对数据（x，y）的散点图如下，若去掉点D（4，3），则下列说法正确的是（）A．变量x与变量y呈负相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．样本相关系数r变小 D．样本相关系数r变大【解答】解：由散点图可知，只有D（4，3）偏离直线最远，当去掉点D（4，3）后，变量x与变量y的线性相关变强，且为负相关，故选项A和选项B正确；此时相关系数r变小，故选项C正确，选项D错误．故选：ABC．（多选）10．（5分）已知实数a，b，c满足2a＝log2b=1A．b＝c＞a B．c＝a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：∵2a=log2b=1c记y1=2x与y3=1x交点的纵坐标为m，y2＝log2在同一坐标系中作出函数y1=2当y＝t时，A正确；当y＝m时，B错误；当t＜y＜m时，C正确；当y＜t时，D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AB，BC上的中点，过E，F的平面α与底面ABCD所成的锐二面角为60°，则正方体被平面α所截的截面形状可能为（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【解答】解：如图所示：设正方体的棱长为4a，在BB1上取一点G使得平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角为60°，因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以EG＝FG，连接BD交EF于点N，连接AC，所以EF⊥BN，且N为EF的中点，BN=14所以GN⊥EF，所以∠GNB为平面EFG与平面ABCD所成的锐二面角为60°，所以GB＝tan60°•BN=3×14×4所以GBB所以此时平面EFG为平面α，所以平面α为三角形，故A正确；在AA1和CC1上分别取点M和点H，使得AM＝CH，取MH，AC的中点K，O，则KO⊥平面ABCD，又因为EF⊂平面ABCD，所以KO⊥EF又NO⊥EF，所以EF⊥平面KNO，又因为KN⊂平面KNO，所以∠KNO为平面MEFH与平面ABCD所成的锐二面角为60°，所以KO＝tan60°•ON=3×14×4所以KOB延长FH交B1C1于T，延长EM交B1A1于S，连接ST交A1D1于Q，交C1D1于P，连接HP，MQ，则平面MEFHPQ为平面α，所以平面α为六边形，故D正确．故选：AD．（多选）12．（5分）已知定义在R上的函数f(x)，∀x，y∈R，f(x)f(y)=f(x+y)+2f(x-y)3，且f（A．f（0）＝1 B．若f（1）＝1，则f（2024）＝2024 C．f（x）是偶函数 D．∃x∈R，f（x）＝﹣2【解答】解：令x＝0，y＝0，则f2(0)=f(0)+2f(0)3=f(0)，因为f（x令y＝x，则f2(x)=f(2x)+2f(0)3，所以f（2x）＝3f2（x）﹣2f（0）＝3f所以f（2x）﹣1＝3[f2（x）﹣1]＝3[f（x）﹣1]•[f（x）+1]，若f（1）＝1，则f（2）＝1，f（4）＝1，f（8）＝1，⋯，f（2024）＝1，B错误；令x＝0，则f(0)f(y)=f(y)+2f(-y)3，即3f（y）＝f（y）+2f（﹣所以f（y）＝f（﹣y），f（x）是偶函数，C正确；因为f（x）≠0，所以f（2x）＝3f2（x）﹣2＞﹣2，所以∀x∈R，f（x）＞﹣2，D错误．故选：AC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→=(3，x)，a→与【解答】解：∵a→=（1，2），b→=（3，x），∴∵a→与a∴2+x＝8，∴x＝6，∴b→=（3，6），∴则|a→-故答案为：25．14．（5分）某工厂生产一批零件（单位：cm），其尺寸ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ≤14）＝0.1，P（ξ＜18）＝0.9，则μ＝16．【解答】解：∵ξ～N（μ，σ2），P（ξ≤14）+P（ξ＜18）＝0.1+0.9＝1，∴P（ξ≤14）＝1﹣P（ξ＜18）＝P（ξ≥18），∴μ=14+18故答案为：16．15．（5分）已知随机事件A，B，P（A）=13，P（B）=14，P（A|B）=34【解答】解：依题意得P(A|B)=P(AB)P(B)=故P(B|A)=P(AB)所以P(B故答案为：71616．（5分）已知函数f（x）定义域为（0，+∞），f（1）＝e，对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x2＞x1时，有f(x1)-f(x2)x1x2＞ex2x【解答】解：由题意当x2＞x1时，有f(x1)-f(x2)x1x2＞ex2x1-ex1即f（x1）+x1ex1＞f（x2）+x2ex2，故令g（x）＝f（x）+xex，则当x2＞x1＞0时，g（x1）＞g（则g（x）在（0，+∞）上单调递减，由于f（1）＝e，而f（lna）＞2e﹣alna，即有f（lna）+alna＞f（1）+1×e1，即g（lna）＞g（1），所以0＜lna＜1，∴1＜a＜e，即实数a的取值范围是（1，e）．故答案为：（1，e）．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1），且f(1)=3（1）求a；（2）f（2t）+f（t﹣1）＜0，求t的取值范围．【解答】解：（1）因为f(1)=3所以a-1a=32，即2所以a=-12，或又因为a＞0，且a≠1，所以a＝2．（2）由（1）得a＝2，所以f(x)=2因为y＝2x和y=-12x在R上是增函数，所以f（x又因为f(-x)=2-x-12因为f（2t）+f（t﹣1）＜0，所以f（2t）＜﹣f（t﹣1）＝f（1﹣t），所以2t＜1﹣t，所以t＜1即t的取值范围是（﹣∞，1318．（12分）为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响．（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙