第十册-总复习数与代数

八总复习1数与代数重点知识归纳具体内容重点知识因数和倍数1.因数和倍数的意义：如果a×b=c(a，b，c、都不为0的整数)，那么a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。2.因数和倍数的关系：因数和倍数是两个不同的概念，但又是相互依存，不能单独存在。3.找一个数的因数的方法：(1)列乘法算式；(2)列除法算式。4.找一个数的倍数的方法：就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得的数就是这个数的倍数。5.2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。6.奇数、偶数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数。7.5的倍数的特征：个位是0或5的数，都是5的倍数。8.3的倍数的特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。9.质数和合数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(也叫素数)；一个数，如果除了1和它本身，还有别的因数，这样的数叫做合数。10.分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。分数的意义和性质1.单位“1”的意义：一个物体、一些物体都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。2.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或者几份的数，叫做分数。3.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。4.分数与除法的关系：被除数÷除数=，字母关系式为:a÷b=(b≠0)5.真分数的意义：分子比分母小的分数叫真分数。真分数都小于1。6.假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。7.带分数：由整数(不包括0)和真分数合成的分数叫做带分数。8.假分数化成整数和带分数的方法：用分子除以分母。当分子是分母倍数时，能化成整数，商就是这个整数；分子不是分母倍数，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。9.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者同时除以一个数(0除外)，分数的大小不变，这就是分数的基本性质。10.公因数和最大公因数，几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。11.互质数的意义：公因数只有1的两个数，叫做互质数。12.求两个数最大公因数的方法：(1)列举法；(2)先找出两个数中较小数的因数，从中找出另一个数的因数，再找出其中最大的一个；(3)分解质因数法；(4)短除法。13.约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。14.最简分数：分子和分母只有公因数l的分数叫做最简分数。15.约分的方法：(1)逐步约分法；(2)一次约分法。16.公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个数，叫做最小公倍数。17.求两个数最小公倍数的方法：(1)列举法；(2)先找较大数倍数，圈出较小数的倍数，找出最小的一个；(3)分解质因数法；(4)短除法。18.通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。19.小数化成分数的方法：有限小数可以直接写成分母是10，100，1000，…的分数，原来有几位小数，就在1后面写几个零作分母，把原来的小数点去掉作分子，能约分的要约分。20.分数化成小数的方法：(1)分母是10，100，1000，…的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母l后面有几个零，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。(2)不是十进分数的化成小数，用分子除以分母，除不尽时，按“四舍五入”法保留几位小数。分数的加法和减法1.分数加、减法的意义：分数加、减法的意义与整数加、减法的意义相同。2.分数加、减法的计算方法：分母不变，分子相加减。3.同分母分数连加、连减的计算方法：同分母分数连加，从左向右计算，也可以直接把加数的分子连加起来，分母不变。同分母分数连减，可以从左向右依次计算，也可以直接用被减数的分子连续减去两个减数的分子.分母不变。4.异分母分数加、减法的计算方法：先通分，化成同分母分数，然后按照同分母分数加、减法的法则计算。5.分数加减混合运算的顺序：与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的，按照从左往右的顺序计算；有括号的，先算括号里的，然后算括号外面的。6.分数加法的简算：整数加法的运算定律在分数加法中同样适用。加法结合律和加法交换律，这两个运算定律并不限制加数的个数。数学广角找次品的最优方法：把待测物体分成3份，要分得尽量平均，不能够平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。考点题型精讲考点一质数、合数、奇数和偶数的意义题型1判断：所有的合数都是偶数，所有的质数都是奇数。分析要判断此题是否正确，要理解这四个概念的含义。奇数和偶数是从是否是2的倍数来定义的，是2的倍数的数就是偶数，不是2的倍数的数就是奇数。而质数和合数是从一个数有因数的个数来区分的。质数只有1和它本身两个因数，而合数至少有3个因数。在相互判断过程中，需要特别注意的是1和2这两个数，1既不是质数也不是合数，2虽然是偶数，但它不是合数，而是质数，2是唯一的偶质数。合数并不都是偶数，合数中也有奇数，如9，15，21。因此上面的说法是不对的。解答(×)题型2选择两个质数的积一定是()。A.偶数B.奇数C.质数D.合数分析要对此类题做出正确的选择，可以举实例进行验证。如：5×3＝15，15是合数，也是奇数；2×7＝14，14是合数，也是偶数；11×13＝143；143是合数，也是奇数……从举例中可以看到，两个质数相乘，一定是合数。也可以从意义上进行判断。质数乘质数，积中所含因数至少是4个，即1、两个质数积本身、两个质数，因此两个质数的积一定是合数，有可能是偶数，也有可能是奇数，但一定不能是质数。考点二2、5、3的倍数的特征题型1请把下面的数填在相应的苹果里。115573069236087359024分析此题综合性很强。要想做出正确的判断，要明确2、5、3倍数的特征，2的倍数：个位是0，2，4，6，8；5的倍数：个位是0或5；3的倍数：各个数位上的数的和是3的倍数。综上所述，同时是2、3倍数的数，个位一定是0、2、4、6、8，并且各个数位上的数的和是3的倍数；同理，同时是2、5倍数的数，个位一定是0；同时是2、5、3倍数的数，个位一定是0，并且各个数位上的数的和是3的倍数。按上面的方法，就能做出正确判断。解答题型28□3□既有因数2，又是5的倍数，还有因数3，这个数是多少?分析这是同时是2、5、3倍数的数的特征在实际生活中的应用，此类型题首先确定个位，然后根据特征确定百位。个位应填0，要有因数3，这个数各个数位的数的和就应是3的倍数。即8+□3+0=11+□。□可以填1，4，7。解答这个数可台巳是8130或8430或8730。提示一般此类型题的答案却不是唯一的。考点三分数的意义和基本性质题型1填空。(1)吨可以表示()，也表示()。(2)9吨煤，把它平均分成10份，每份是()，每份占这些煤的()。分析(1)中吨是一个具体的数量，从分数意义上说，它表示把1吨平均分成10份，表示这样9份的数；从分数和除法的关系上讲，也表示把9吨平均分成10份，表示这样的1份。(2)中第一个空求的是一个具体的数量，根据分数与除法的关系应用“总数量除以总份数等于每份数”来求，列式为9÷10，结果有单位名称。而第二个空是表示每份数与总量的关系，把9吨煤看作单位“1”，把单位“1”平均分成10份，每份占单位“1”的。解答(1)吨可以表示(把1吨平均分成10份，表示这样9份的数)，也表示(把9吨平均分成10份，表示1份的数。)(2)9吨煤，把它平均分成10份，每份是(吨)，每份占这些煤的()。题型2的分子、分母同时扩大到原来的2倍，分数的大小有什么变化?如果分子扩大到原来的2倍，分母不变，分数的大小有什么变化?如果分子加上8，分母应怎样变化，分数的大小才不变?分析分数的基本性质是分子、分母同时乘或者除以相同的数(0除外)分数的大小才不变，的分子、分母同时扩大到原来的2倍，符合分数的基本性质，分数的大小不变。如果分子扩大到原来的2倍，而分母9不变，分子与分母并不是同时扩大，根据分数与除法的关系，可得分数值扩大到原来的2倍。分子加上8，分子变成了12，由4到12，分子扩大到原来的3倍，要想使分数大小不变，分母也应扩大到原来的3倍；分母扩大到原来的3倍是27，分母加18也可使分数大小不变；分母扩大到原来的3倍也可以说分母增加2倍。解答的分子、分母同时扩大到原来的2倍，的分数的大小不变；分子扩大到原来的2倍，分母不变，分数就扩大到原来的2倍；的分子加上8，要想使分数大小不变，分母加上18，或者分母扩大到原来的3倍，分母也可以增加2倍。考点四真分数、假分数、带分数的特征题型(a为整数)，a取什么数时，为真分数；a取什么数时，为假分数；a取什么时，为最小的带分数？分析解答此题关键是要弄明白真分数、假分数、带分数的意义和特征。真分数的分子小于分母，真分数值小于1；假分数的分子大于或等于分母，假分数值大于或等于1；带分数是整数和真分数组合而成，带分数值大于1。当a+6小于28时，为真分数，a应取0到21这22个整数；当a+6大于或等于28时，为假分数，a应取大于或等于22的任意整数；是带分数时，应有整数部分和分数部分，所以是大于1的假分数，又因为求的是最小带分数，分子应比分母大1，a+6应等于29，所以a为23。解答当0≤a≤21时，为真分数；a≥22≥22时，为假分数；当a＝23时，为最小的带分数。考点五约分、通分的意义和方法题型按要求解题。(1)把约成最简分数。(2)把和通分。分析(1)(1)约分有两种方法：逐步约分和一次约分。如果不能口算出分子和分母的最大公因数是多少，可以用逐步约分法，用分子、分母所含的公因数去除分子、芬母，直到分子、分母只有公因数1。如果能口算出分子，分母的最大公因数，直接用最大公因数去除分数的分子和分母。的分子、分母最大公因数是9，直接用9去除。(2)通分是找出异分母分数分母的最小公倍数，用最小公倍数作公分母，把异分母分数化成同分母分数。24和36的最小公倍数是72，把和化成分母是72的分数。化成分母是72的分数，分母应乘3，分子也应乘3；化成分母是72的分数，分母应乘2，分子也应乘2。解答(2)和考点六最大公因数和最小公倍数的意义和求法题型求12和18的最大公因数和最小公倍数。分析两个数的最大公因数是两个数的公因数中最大的一个；最小公倍数是两个数的公倍数中最小的一个。求最大公因数和最小公倍数的方法不止一种，有列举法、短除法、分解质因数法、扩大和缩小倍数法等等。一般情况下，两个数较小，用列举法就可以很快求出最小公倍数和最大公因数，而两个数较大，用短除法和分解质因数法较简单。用短除法求最大公因数时，只是把所有的除数相乘，而最小公倍数需要把除数和商相乘。用分解质因数法求最尢公因数，是把两个数公有的质因数各取1个相乘；1而求最小公倍数是相同的质因数各取1个，独有的质因数都取出来。把它们连乘起来，这也是求最大公因数和最小公倍数的不同之处，从而也能得出最大公因数乘最小公倍数等于这两个数的乘积。当两个数只有公因数1时，直接就可得出最大公因数和最小公倍数，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。显然12和18不属于这种情况，可以用上面所说的方法求出答案。解答方法一：短除法12和18的最大公因数是：2×3＝6；最小公倍数是：2×3×2×3＝36。方法二：分解质因数法12和18的最大公因数是：2×3＝6；最小公倍数是：2×3×2×3＝36。方法三：列举法(1)12和18的最大公因数是6。12和18的最小公倍数是36。方法四：(1)12的因数有：1，2；3，4，6，12。12的因数中，其中