2023-2024学年天津市津衡高级中学高一（下）期末数学试卷 （含解析）

2023-2024学年天津市津衡高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（每小题5分，共60分）1．若复数z满足zi＝i﹣1，则复数z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．已知空间向量，且共线，则λ＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．43．已知空间向量＝（1，﹣1．﹣2），＝（0，1，x），＝（2，0，0），若，，共面，则实数x等于（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或04．数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.55．下列说法中正确的是（）A．＝k表示过点P1（x1，y1），且斜率为k的直线方程 B．直线y＝kx+b与y轴交于一点B（0，b），其中截距b＝|OB| C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是+＝1 D．方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线6．已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点P（1，2，3）到直线l的距离是（）A．2 B． C． D．7．已知，则在上的投影向量的坐标为（）A．（1，1，0） B．（1，2，0） C．（2，2，0） D．（1，1，1）8．在△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝（）A． B． C． D．9．已知点A（2，3），B（3，﹣1），若直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．或k≥1 B．或0≤k≤1 C．或k≥1 D．10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体本块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D．11．如图，正六边形ABCDEF中，，，则＝（）A． B． C． D．12．已知圆台的上、下底面半径分别为2cm，12cm，侧面积等于280πcm2，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（）A．16cm B． C． D．8cm二、填空题（每小题5分，共30分）13．已知复数z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是．14．如果直线l1：6x+4y+7＝0与直线l2：ax﹣3y﹣1＝0垂直，则a＝．15．设＝（x，3），＝（2，﹣1），若与的夹角为钝角，则x的取值范围是．16．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆直径2R＝．18．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，动点P在直线CD1上运动，则的最小值为．三、解答题（19题每题10分，20-22题每题12分，23题14分，共60分）19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求cosC的值；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活．一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响．长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题．更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感．某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；（3）现在从[2，4）和[4，6）两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为3的正方形，点P为棱DD1的中点，PC⊥PB1．（1）求AA1的长度；（2）求点D到平面PB1C的距离．22．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，点M在PD上．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求异面直线PB与DC所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣AC﹣D的平面角的大小为45°，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．

参考答案一、单选题（每小题5分，共60分）1．若复数z满足zi＝i﹣1，则复数z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】根据复数虚部的定义化简求解即可．解：因为zi＝i﹣1，所以z＝，所以虚部为1．故选：A．2．已知空间向量，且共线，则λ＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【分析】运用空间向量共线坐标公式列方程计算即可．解：因为共线，则存在实数t，使得，则，解得，即λ＝2．故选：B．3．已知空间向量＝（1，﹣1．﹣2），＝（0，1，x），＝（2，0，0），若，，共面，则实数x等于（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或0【分析】根据共面向量基本定理即可求出x的值．解：∵不共线，共面，∴存在实数λ，μ，使，∴，解得x＝2．故选：A．4．数据5，8，9，6，7，4，7，9，4，9的第60百分位数为（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【分析】利用百分位数的求解公式即可求解．解：数据从小到大排列：4，4，5，6，7，7，8，9，9，9，因为10×60%＝6，所以10个数据的第60百分位数为第6和第7的平均数，即为＝7.5．故选：B．5．下列说法中正确的是（）A．＝k表示过点P1（x1，y1），且斜率为k的直线方程 B．直线y＝kx+b与y轴交于一点B（0，b），其中截距b＝|OB| C．在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是+＝1 D．方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示过点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在y轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对四个选项得答案．解：对于A，表示过点P1（x1，y1）且斜率为k的直线方程不正确，不含点P1（x1，y1），故A不正确；对于B，截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负．故B不正确；对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为+＝1，故C不正确；对于D，此方程即直线的两点式方程变形，即（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1），故D正确．∴正确的是：D．故选：D．6．已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点P（1，2，3）到直线l的距离是（）A．2 B． C． D．【分析】求出投影向量的模长，利用勾股定理即可求解．解：由题意可知，在直线l上的投影向量的模长为，所以点P（1，2，3）到直线l的距离是，故点P（1，2，3）到直线l的距离是．故选：D．7．已知，则在上的投影向量的坐标为（）A．（1，1，0） B．（1，2，0） C．（2，2，0） D．（1，1，1）【分析】根据投影向量的概念求解即可．解：，则向量在上的投影向量为：．故选：C．8．在△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝（）A． B． C． D．【分析】利用余弦定理求出cos∠BAC，再计算•的值．解：△ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则cos∠BAC＝＝＝，•＝（+）•＝+•＝×4+×2×4×＝．故选：B．9．已知点A（2，3），B（3，﹣1），若直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．或k≥1 B．或0≤k≤1 C．或k≥1 D．【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．解：A（2，3），B（3，﹣1），P（0，1），则，kPB＝，直线l过点P（0，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是．故选：D．10．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体本块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A． B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D．【分析】根据题意，由古典概型公式分析A，由互斥事件的定义分析B，由相互独立事件的定义分析C，由概率的性质分析D，综合可得答案．解：根据题意，第一次向下的数字为m，第二次向下的数字为n，用（m，n）表示两次向下的数字，依次分析选项：对于A，事件A为“第一次向下的数字为2或3”，P（A）＝＝，A错误；对于B，事件A、B可以同时发生，如事件（2，1），故事件A、B不是互斥事件，B错误；对于C，事件B有（1，2）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，3），共8个基本事件，则P（B）＝＝事件AB有四个基本事件，即（2，1）、（2，3）、（3，2）、（3，4），则P（AB）＝＝，则有P（AB）＝P（A）P（B），则事件A、B相互独立，C正确；对于D，P（A∪B）＝P（A}+P（B）﹣P（AB）＝+﹣＝，D错误．故选：C．11．如图，正六边形ABCDEF中，，，则＝（）A． B． C． D．【分析】由题建立平面直角坐标系，由平面向量的坐标运算计算即可求得．解：由正六边形性质得：AB⊥AE，则以AB，AE所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为1，则A（0，0），B（1，0），C（），E（0，），所以，，，设，则，所以，解得，所以＝．故选：B．12．已知圆台的上、下底面半径分别为2cm，12cm，侧面积等于280πcm2，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的棱长为（）A．16cm B． C． D．8cm【分析】求出圆台的内切球半径，再求出该球的内接正方体的棱长，即可求解．解：∵圆台的上、下底面半径分别为2cm，12cm，设母线长为l，∴侧面积为（π×2+π×12）×l＝280πcm2，∴l＝20，∴圆台的高为，∴易知母线与下底面所成角为60°，∴圆台的轴截面为两底角为60°的等腰梯形，且该梯形的上底为4，下底为24，腰为20，高为，∴该梯形两腰延长后的三角形是边长为24的正三角形，设该正三角形的内切圆的半径为R，根据等面积法可得：，解得R＝，又2R＝，∴该圆台的内切圆不与上底面相切，∴该圆台的内切圆的半径为R＝，∴设该圆的内接正方体的棱长为a，则该正方体的体对角线长为2R，∴，即，∴a＝8，∴所求正方体的棱长为8cm．故选：D．二、填空题（每小题5分，共30分）13．已知复数z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是（0，）．【分析】根据复数的几何意义求解．解：复数z＝（2a﹣1）+ai（a∈R）在复平面内对应的点为（2a﹣1，a），若位于第二象限，则2a﹣1＜0，a＞0，解得a的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．14．如果直线l1：6x+4y+7＝0与直线l2：ax﹣3y﹣1＝0垂直，则a＝2．【分析】若斜率存在的两条直线互相垂直，则其斜率积为﹣1，由此求得．解：直线l1：6x+4y+7＝0的斜率为，直线l2：ax﹣3y﹣1＝0的斜率为，因为l1⊥l2，所以，解得a＝2．故答案为：2．15．设＝（x，3），＝（2，﹣1），若与的夹角为钝角，则x的取值范围是{x|x且x≠﹣6}．【分析】根据的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出x的范围即可．解：∵的夹角为钝角，∴，且不平行，∴，解得，且x≠﹣6，∴x的取值范围是．故答案为：．16．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是0.9．【分析】根据事件的基本关系运算即可．解：设事件A＝“数学超过90分“，事件B＝“物理超过90分“，则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（AB）＝0.6，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.8+0.7﹣0.6＝0.9．故答案为：0.9．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，，则该三角形的外接圆直径2R＝．【分析】根据已知条件，结合余弦定理，三角形的面积公式，求出角C，再结合正弦定理，即可求解．解：△ABC的面积为＝，则，即tanC＝1，C∈（0，π），则C＝，，则＝2R．故答案为：．18．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，动点P在直线CD1上运动，则的最小值为．【分析】根据题设，可选取，，为一组基底，将和分解为，，表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值．解：设＝，＝，＝，设，则，0≤λ≤1，＝＝（1﹣λ）++，由AB＝AA1＝2，AD＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，可得：＝＝1，＝2，∴＝[（1﹣λ）++]•＝（λ2﹣λ）﹣﹣λ2+λ（1﹣λ）++＝4λ2﹣2λ＝4（）2﹣，当λ＝时，的最小值为﹣．故答案为：．三、解答题（19题每题10分，20-22题每题12分，23题14分，共60分）19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求cosC的值；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）根据正弦定理即可得；（2）利用余弦定理和面积公式即可得．解：（1）已知3cosC（acosB+bcosA）＝c，代入正弦定理得3cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，即3cosCsin（A+B）＝sinC，又sin（A+B）＝sinC＞0，则．（2）由于，则sinC＝＝，△ABC的面积为，则，所以ab＝3．由已知及余弦定理得a2+b2﹣2ab•cosC＝8，所以a2+b2＝10，从而（a+b）2＝16，a+b＝4，所以△ABC的周长为．20．当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活．一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响．长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题．更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感．某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；（3）现在从[2，4）和[4，6）两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图tk小矩形面积和为1求出a值．（2）利用频率分布直方图估计平均数的算法，列式计算即得．（3）利用分层抽样求出指定的两个区间的人数，再利用列举法求出古典概率．解：（1）由频率分布直方图得2（0.025+a+0.2+a+0.075）＝1，所以a＝0.1；（2）每天玩网络游戏的平均时间（小时）；（3）每天玩网络游戏的时间在[2，4）和[4，6）内的人数比为，则用分层抽样的方法抽取的5人中，在[2，4）内的有1人，记为A，在[4，6）内的有4人，记为b，c，d，e，这5人中随机抽取2人的试验的样本空间Ω＝{Ab，Ac，Ad，Ae，bc，bd，be，cd，ce，de}，共10个样本点，玩网络游戏的时间所在区间不同的事件M＝{Ab，Ac，Ad，Ae}，共4个样本点，所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．21．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为3的正方形，点P为棱DD1的中点，PC⊥PB1．（1）求AA1的长度；（2）求点D到平面PB1C的距离．【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AA1＝h，由已知可得＝，由PC⊥PB1解得h；（2）求得平面PB1C的一个法向量，利用点到平面的距离公式求解即可．解：（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AA1＝h，由已知可得，所以＝，因为PC⊥PB1，所以，解得h＝6，所以AA1＝6；（2）设平面PB1C的一个法向量，则由，得，令z＝1，可得平面PB1C的一个法向量，又，则点D到平面PB1C的距离．22．已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0可得定点坐标．（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1﹣y）＝0，∴无论k取何值，直线过定点（﹣2，1）．（2）令y＝0得A点坐标为（﹣2﹣，0），令x＝0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），∴S△AOB＝|﹣2﹣||2k+1|＝（2+）（2k+1）＝（4k++4）≥（4+4）＝4．当且仅当4k＝，即k＝时取等号．即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣y+1+1＝0．即x﹣2y+4＝023．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，点M在PD上．（Ⅰ）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求异面直线PB与DC所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣AC﹣D的平面角的大小为45°，求直线BM与平面P