2021-2022学年新教材高中数学模块素养评价一含解析苏教版选择性必修第一册

模块素养评价（一）

(120分钟150分)

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

泰州高二检测)过两直线：的交点且与

1.(2021•/ix-3y+1=0z12:x+2y+6=03x+y-1=0

平行的直线方程为（）

A.x-3y+l=0B.3x+y+7=0

C.x-3y-11=0D.3x+y+13=0

x-3y+1=0,

【解析】选D曲题意列方程组，

x+2y+6=0

x=-4

解得,_］，即两直线/i：x-3y+l=0,/2：x+2y+6=0的交点为(-4,-1);

设与3x+y-1=0平行的直线方程为3x+y+m=0,则3x(-4)+(-1)+m=0,解得m=13,

故所求的直线方程为3x+y+13=0.

2.（2021•遵义高二检测）双曲线J-y2=1的焦点到渐近线的距离是（）

A.1B.^2C.小D.2

【解析】选A.双曲若-y2=l的渐近线为y=士当x,

a2=3,b2=l,c2=a2+b2=3+1=4,即c=2,

则一个焦点F（2,0）,渐近线方程为叩x+y=0,

323

则焦点F到其渐近线的距离d=—/2==L

小闺3

3.（2021・绍兴高二检测）已知数列｛an｝是等差数列，若a9+3au<0,a.aii<0,且数列｛a。｝的前

n项和Sn有最大值，那么6取得最小正值时n等于（)

A.20B.17C.19D.21

【解析】选C.因为a9+3ali=(a9+an)+2ali=2aio+2ali=2(aio+an)<0.

所以aw+8ii<0,又aioean<O且Sn有最大值，得公差为负,可得aio>O,an<0,

又可得：S19=19aio>O,而S20=lO(aio+3H)<0,进而可得Sn取得最小正值时n=19.

4.(202］靖远局二检测)函数f(x)=(1-乂沱〉有()

A.最大值为1B.最小值为1

C.最大值为eD.最小值为e

【解析】选A.f(x)=-ex+(1-x)ex=-xe*,当x<0时，f4x)>0,当x>0时，「冈<0,

所以网在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减,所以f(x)有最大值为f(0)=1.

5.(2021•宜宾高二检测)已知圆心在y轴上的圆C与直线x=3切于点M(3,2).若直线3x+4y

+m=0与圆C相切，则m的值为()

A.9B.7

C.-21或9D.-23ng7

【解析】选D.圆心在v轴上的圆C与直线x=3切于点M(3,2).

可得圆C的半径为3,圆心为(0,2).

因为直线3x+4y+m=0与圆C相切，

I8+mI

所以由切线性质及点到直线的距离公式可得=3,解得m=-23或7.

732+42

6.已知正项数列同｝的前n项和为加，且ai=l,a*=2Sn+n+l(nGN*),设数列U

的前n项和为Tn,则Tn的取值范围为()

A.(0,/B.(0,1)

C.(5,11D.,1)

【解析】选D.因为第+1=2Sn+n+1,

所以第=2Sn-i+n(n>2),

2

因此染+1-an=2(Sn-Sn-1)+1=2an+1,BPa„+1=(an+1),

又同｝为正项数列，所以an+i=an+l(n>2),al=2+l+l=4,a2=2满足,

故数列｛a。｝是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an=n(neN*),

1_1_J.

因此

11

3n3n+1n+l)n+1

1111

2-3n-n+1

因为nGN*,

所以/<Tn<l.

7.（2021•合肥高二检测）已知抛物线C：y2=2Px（p>0）的焦点为F,准线与x轴交于点K,过点K

作圆（x-电2+丫2=中的切线，切点分别为点A,B.若AB=S，则P的值为（）

A.1B.小C.2D.3

【解析】选C.如图，连接FA,

因为F就是圆（x-1

的圆心，

所以FA_LKA,且FA=5.

又KF=p,

所以/AKF=30°,那么/AKB=60°,

所以^AKB是等边三角形，

g、lVI

所以AB=AK=2p.

又AB=S，所以p=2.

8.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f，(x),当x>0时，xf〈x)-f(x)<o,若

f(e)f(ln2)f(­3)

a,b=|n2,c=§—，贝！Ia,b,c的大小关系正确的是()

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

f(x)

【解析】选D.构造函数g(x)=~^,

xf'(x)-f(x)

所以g'(x)=

因为xf(x)-f(x)<0,

所以g，(x)<0,所以函数g(x)在(0,+8)上单调递减.

f(x)

因为函数f(x)为奇函数，所以g(x)=^是偶函数，

、f(■3)

所以C=-=g(-3)=g⑶，

_3

f(e),、-f(ln2)„

因为a=7-=g(e),b=.2=g(/n2),

所以g(3)<g(e)<g(/n2),所以c<a<b.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9.(2021抚I褊二检测)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25,直线/：(2m+1)x+(m+1)y

-7m-4=0.则以下几个说法正确的有()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.圆C被y轴截得的弦长为4加

C.直线/与圆C恒相交

D.直线/被圆C截得的弦最长时，直线I的方程为2x-y-5=0

【解析】选ABC直线/的方程整理得m(2x+y-7)+x+y-4=0,

2x+y-7=0

由《,

X+y-4=0

x=3

解得,所以直线/恒过定点(3,1),A正确；

[y=l

在圆方程中令x=0,得l+(y-2产=25，丫=2±2乖,

所以y轴上的弦长为4#,B正确；

(3-1)2+(1-2产=5<25,

所以点(3,1)在圆内，直线/与圆一定相交，C正确；

直线/被圆C截得弦最长时,直线过圆心(1,2),

一1、125

贝(|(2m+1)+2(m+l)-7m_4=0,得m=-§,直线方程为§x+§y-§=0,即x+2y-5

=0,D错.

y/5-1

10.(2021・无锡高二检测)我们把离心率为七一的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率

m+1

为，一的双曲线称为黄金双曲线，则()

X2y2

A.双曲线3--1=—=I是黄金双曲线

3y/5+1

v21/2

B.如果双曲线前-云=l(a>0,b>0)是黄金双曲线，那么b2=ac(c为半焦距)

C.如果双曲线3-去=l(a>0,b>0)是黄金双曲线，那么右焦点F2到一条渐近线的距离等于

焦距的四分之一

X2V2

.过双曲线亚-京的右焦点且垂直于实轴的直线/交于两点，

DC：=l(a>0,b>0)F2CM,N

0为坐标原点，若/MON=90。，则双曲线C是黄金双曲线

X2y2

【解析】选BD对于A：V-£,=1,

3y/5+1

a2=3,b2=m+1,

所以c2=，^+4,

所以ezj=M手[f=匕?I，故A错误;

X2V2

对于B：双曲线/-京=l(a>0,b>0)是黄金双曲线，

cy[5+1

所以e=』=一z-，由c2=a?+b2,

aZ.

所以b2=产；/2-a?=、-a?=ac,故B正确；

22

对于c：双曲线7X-aV=l(a>0,b>0)的一条渐近线

2

y=弓X,贝UF2(C,o)到其距离d喜X—/1如=b,而由B可知，b=ac£c?,故C错

误；

对于D：M,N两点的横坐标为c,y2=6-1]b2,得M(c,?),N(c,-号),则OM—f

=(c,《,ON—玲=(~-£),

b4

所以OM—玲,ON—玲二c2-至二0,则b2=ac,由B可知，双曲线C是黄金双曲线,故D正确.

11.在《增减算法统宗》中有这样一则故事："三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛

减一半，如此六日过其关"则下列说法正确的是()

A.此人第三天走了四十八里路

B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

1

c.此人第二天走的路程占全程的

D.此人前三天走的路程是后三天走的路程的8倍

【解析】选ABD.根据题意知，此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路,

1

则同｝是首项为a1,公比为q=5的等比数列.

ai(l-q6)

所以S6==378,解得ai=192.

i-q

1

2

所以a3=aiq=192x-=48,所以A正确.

由ai二192,Se=378，得互+a3+加+as+a6=Se-ai=378-192=186,

又192-186=6,所以B正确.

、11

因为a2=aiq=192x^=96,"S6=94.5,

所以az>/S6,所以C不正确.

2

因为ai+a2+a3=ai(l+q+q)

=192x(1+£+/)=336,

所以后3天走的路程为378-336=42,而且42x8=336,所以D正确.

1

12.(2021・南通高二检测)设函数f(x)=x/nx,g(x)=5x?,给定下列命题，其中正确的是()

A.若方程f(x)=k有两个不同的实数根，则kG([,0)

B.若方程kf(x)=x2恰好只有一个实数根，则k<0

C.若xi>X2>0，总有m[g(xi)-g(x2)]>f(xi)-a2)恒成立，则m>l

D.若函数F(x)=f(x)-2ag(x)有两个不同的极值点，则实数ae(0,今

【解析】选ACD.对于A,f(x)的定义域是(0,+8),

f(x)=/nx+1,

1

令f(x)>0，有/nx>-1,即x二,

可知f(x)在(o,3上单调递减，在0，+8)上单调递增，

所以极小值等于最小值，

所以f(x)min=ff1)=-7，

且当x玲0时f(x)玲0,又f(l)=0,

从而要使得方程f(x)=k有两个不同的实数根，

即y=f(x)与y=k有两个不同的交点，

所以kd(4,0)，故A正确；

对于B,易知x=1不是该方程的根,

当XXI时，f(x)，O,方程kf(x)=x2恰好只有一个实数根，

x

等价于y=k和y=族只有一个交点，

Inx-1_

/=―—―，又X>0且XH1,

(Inx)2

令yz>0,即/nx>l,有x>e,

x

知y=位在(O，1)和(1，e)单调递减,在(e,+8)上单调递增，

x=l是一条渐近线，极小值为e,

x

由y="的大致图象可知k<0或k=e,故B错误；

对于C,当xi>x2>0时，m[g(xi)-g(x2)]>f(x0-仅)恒成立，

等价于mg(xi)-f(xi)>mg(x2)-fd)恒成立,

即函数y=mg(x)-f(x)在(0,+8)上为增函数,

即『=mgz(x)-F(x)=mx-/nx-l>01亘成立,

Inx+1_

即m>--—在(0,+8)上恒成立，

Inx+1

令r(x)=---,

-Inx

则r'(x)=,

令r'(x)>0得/nx<0,有0<x<l,从而r(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,

则r(x)max=I■⑴=1,于是m>l,故C正确；

对于D,F(x)=x/nx-ax2(x>0)有两个不同的极值点，

Inx+1

等价于Fz(x)=/nx+l-2ax=0有两个不同的正根，即方程2a=一~—有两个不同的正根，

1

由C可知，0<2a<l,gp0<a<2,贝UD正确.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.各项为正数的等比数列同｝中，a?与a10的等比中项为生，则/og3a4+/og3a8=.

A/B1

【解析】根据题意，等比数列同｝中，az与五。的等比中项为手，则有a2ai0=§,

1

又由等比数列的性质可得：a4a8=a2a1。=§,

1

贝!]/og3a4+/og3a8=/og3a4a8=/og3J=-1.

答案：-1

14.(2021・西安高二检测)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8

_.191

万斤,每种植一万斤莲藕，成本增加0.5万元.如果销售额函数是f(x)=-oX3+7Tax2+Tx(x

o1Oz

是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数).若种植2万斤，利润是2.5万

元，则要使利润最大，每年需种植莲藕万斤.

1

-+

【解析】设销售利润为g(x)，得g(x)二8

9111o9

—ax2+-x-l--x=-ox3+T7ax2-1,

1622816

19

当x=2时,g(2)=-WX23+五ax22-1=2.5,

解得a=2.

19

所以g(x)=-ox3+gx2-1,

g'(x)=-gx2+4x=-gx(x-6),

所以函数g(x)在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减.

所以当X=6时，函数g(x)取得极大值即最大值.

答案：6

15.(2021•广州高二检测)已知数列同｝的前n项和是1,且a。+加=3n-1,则数列的通

项公式an=.

【解析】由题得an+Sn=3n-1,an-1+Sn-1=3n-4,

、13

两式相减得an=5an-1+5,

1

所以an-3=5(an-i-3),

所以B-3｝是一个等比数列，

所以an-3=(ai-3)住)。T=(1-3)停)…，

所以an=3-gn-2.

答案：3-d)n"

V2fw

16.(2021•贵阳高二检测)在椭圆彳+x2=l上有两个动点P,Q,E(0,1)为定点，EPXEQ,

则EP—3QP—玲的最小值为.

【解析】由题意得EP—fQP一玲=EPT・(EP—f-EQ--)=EP—>2-EP—，EQT=

EP—>2.

设椭圆上一点P(x,y)，则EP―>=(X,y-1),

EP—>2=x2+(y-1)2=(1-及+(y-1)2

42

又-2<y<2,所以当y=§时，EP—玲2取得最小值§.

兹里--

口木■3

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)(2021,北乐局一检测)已知等差数列｛an｝；两足a?=4,33+34=17.

⑴求数列同｝的通项公式；

(2)若数列｛bn｝满足bi=2,再从①bn+l=2bn；®2bn+l=bn；③bn+1=-bn这三个条件中任选一

个作为已知条件，求数列同+bn｝的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解

答计分.

【解析】⑴设等差数列同｝的公差为d.

32-431+d=4

由彳，可得彳,

33+34=17[2ai+5d=17

解得ai=l,d=3.

所以an=ai+(n-l)d=3n-2

⑵选①：

,bn+1

==

由bi2,bn+12bn(导bn^0,b=2,

所以｛bn｝是等比数列，公比q=2.

所以bn=biqn-1=2n.

所以Tn=(ai+a2+...+an)+(bi+b2+...+bn)

n(l+3n-2)2(1-2n)

=2

3n2-n

=-—+2n+1-2

选②：

bn+11

由bi—2,2bn+1—bn可得bn，O/~—21

1

所以｛bn｝是等比数列，公比q=5.

mn-1mn-2

所以bnubiqn-jZ.R=R

所以Tn=(ai+a2+...+an)+(bi+b2+...+bn)

n(l+3n-2)2JL-1]

3n2-n小n-2

选③：

==

由bi=2,bn+1bn可得bn，OI-~1/

所以｛bn｝是等比数列，公比q二-1,

所以bn=biqn-i=2・(-1)….

所以Tn=(ai+a2+...+an)+(bi+b2+...+bn)

n(l+3n-2)2[1-(-1)n]

=n+

21-(-1)

3n2-n+2

=-------2--------(-邛

18.(12分)(2021•黄冈高二检测)已知与x=-1相切的圆C的圆心在射线x-3y=0(x>0)上,且

被直线/：3x-4y+5=0截得弦长为473.

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C上有且仅有2个点到与/平行的直线1的距离为2求直线「在X轴上截距的取值范围.

【解析】⑴依题意设圆心坐标C(3t,t),t>0,圆心到直线/：3x-4y+5=0的距离为

I9t-4t+5I

=t+l,

+42

又圆与X=rl相切,则圆的半径r=3t+l,

因为弦长为4s,所以(3t+I)2=12+(t+l)2,

3

解得t=l或t=-5(舍去),

所以圆心C(3,1),r=4,

所以圆的方程为(x-3/+(y-1)2=16.

|5+m|

⑵设直线/'的方程为3x-4y+m=0/则圆心到直线厂的距离为d=~^—,当且仅当2<d<6

时，圆C上有且仅有2个点到/，的距离为2；

|5+m|

即2<―--<6,

所以-35<m<-15或5cm<25,

设直线/'在x轴上的截距为a,则2=-f,m=-3a,

所以-35<-3a<-15或5-3a<25,

35-255

角牟得5<a<y36-y<a<--.

19.(12分)已知｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，81=bl—1,95—5(34"33),bs—4(b4-ba).

⑴求同｝和｛bn｝的通项公式；

(2)cn=a2nb2n+l,求数列｛j｝的前n项和Sn.

【解析】⑴设等差数列同｝的公差为d,等比数列｛bn｝的公比为q,

由ai二1,a5=5(a4-a3),可得l+4d=5d,

解得d=1,所以an=l+n-l=nr

432

由bi=1,b5=4(b4-b3),可得q=4(q-q),

解得q=2,所以bn=2ny

2nn

(2)由⑴可得汕=2n,b2n+i=2=4,

所以Cn=a2nb2n+i=2nx4n,

1

故Sn=2x4+4x42+6x43+...+2(n-1)x4。-+2nx4n

nn1

4Sn=2x42+4x43+6x44+...+2(n-l)x4+2nx4+,

上述两式相减，得-23n+1

3Sn=2x4+2x4+2x4+...+2x4"-2nx4

4(1-4n)

=2x-2nx4n+1

1-4

=一|-(2n1)xzr+i,

86n-2

所以Sn=g+—^—X4n+1.

a-ex

20.(12分)已知函数f(x)=q-(aGR,a#0).

⑴当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f⑴)处切线的方程；

⑵求函数f(x)的单调区间.

【解析】(1)当a=1时，f(x)(x*0),f(l)=e,切点(1,e),

e'x"e”

f'(x)=F^,k=f(l)=0,

所以切线方程为y-e=0,即丫=6.

exx-exex(x-1)

(2)fz(x)=a—乒—=a(xiO),

①a>0，当x-l>0,

即x>l时，f(x)>0,函数f(x)单调递增；

当x-1<0,即x<0或0<x<l时,f(x)<0,

函数f(x)在每个区间上单调递减；

②a<0，当x-1>0,

即x>l时,f(x)<0,函数f(x)单调递减；

当x-1<0,即x<0或0<x<l时，f(x)>0,

函数f(x)在每个区间上单调递增；

综上所述,a>0时,f(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(--,0),(0,1)；

a<0时,f(x)的单调递增区间为(-8,0),(0,1),单调递减区间为(1,+8).

21.(12分)已知椭圆C：§

=l(a>b>0)的两个顶点分别为点A(-2,0),B(2,0),离心率

d+5

⑴求椭圆C的方程；

(2)点D为X轴上一点，过D作X轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线

交BN于点E.

证明：4BDE与4BDN的面积之比为定值.

【解析】⑴因为焦点在x轴上，两个顶点分别为点A(-2,0),B(2,0),所以a=2,

因为e=；=乎今c=S,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为宁+y2=1；

x2

(2)设D(xo,0),M(xo,yo),N(x°,-yo),yo>O,可得yj

直线AM的方程为：片之…,

Xo+2

因为DE,AM，所以kDE=-丁

Xo+2

直线DE的方程：y=-(x-xo),

-yo

直线BN的方程：y=--------(x-2),

Xo-2

直线DE与直线BN的方程联立可得

Xo+2

v=-(X-xo)

<

-yo

y=—;(x-2)

<X。-2

Xo+2vo

整理为：k（x"）=仁仅-2）,

即(xj-4)(x-xo)=yo(x-2),

/|-x]

(Xo-4)(X-Xo)=——(X-2),计算可得

4xo+2

XE=~^