2022-2023学年人教A版选择性必修第二册 4数列的概念

4.1数列的概念（2）-B提高练

一、选择题

1+.

1.在数列｛〃/中，4=-2,。〃+1—[c，则%021—()

[~an

11

A.-2B.一一C.——D.3

32

【答案】A

.1_1

【详解】•••4—-2,an+l=",.・a、=—,=一,&=3,a5=—2

l—a“32

，该数列是周期数列，周期T=4.又2021=505x4+1,，/（⑶=4=一2,故选：A.

2.已知数列{4},它的前〃项和S>,=（"+1）2,则“6的值为（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】A

【详解】4=S6—Ss=49—36=13,故选：A

3.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）

A.an+i=an+〃,neN*B.an=an_x+n,n^N\n>2

C.%+i=%+(〃+l),〃£N*,〃N2D.an-an_x+(n-l),neA^*,n>2

【答案】B

【详解】结合图象易知，4=1,。2=3=%+2,。3=6=%+3,。4=1°=。3+4.

4.数列｛a.｝的q=l,a=(〃,a“),Z?=(a“+i，〃+l),且aJ_b，则%(»=()

100100

A.——B.----C.100D.-100

9999

【答案】D

gn

【详解】因为〃_LZ?,所以〃％+i+=。，即---=------,

%〃+1

a.1a2_2/_3的9二99

所以丁一5

%3'%4“10010°

所以」l-4-iX上C4-nx二Ct-ox

^1^2^^3^^4

a_1

所以x又4=1,所以400=TOO.故选：D

“loo10°

2a”,0Wa.<|

3

5.（多选题）若数列｛氏｝满足八,q=《，则数列｛4｝中的项的值可能为（)

c，1，

2%~y-<an<1

1246

A.-B.-C.一D.-

5555

【答案】ABC

2an,0<an<^

3

【详解】数列｛%｝满足4+1q=g,依次取〃=1,2,3,4,…代入计算得,

2。〃-1，5<。〃<1

1243

a2=2（\—1=—,〃3=2。2=（，。4=2。3=1，%=2。4-1=1=4，因此继续下去会循环，数

1234

列｛4｝是周期为4的周期数列，所有可能取值为：丁丁丁丁故选：ABC.

6.（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,

5,其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列｛斯｝

称为“斐波那契数列”，记S,为数列｛a,,｝的前“项和，则下列结论正确的是（）

A.<28=34B.§8=54C.$2020=02022—1D.。1+。3+。5+…+。2021="2022

【答案】BCD

【详解】对于A,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21,故A错误；

对于B,S&=1+1+2+3+5+8+13+21=54,故B正确；对于C,可得%=。用—

则％+%+/+%++a“=q+（g—％）+（%—%）+（%一/）++（%+i一%-J

即S"——。2+々"+1_”"+2—1，■•$2020_。2022—1，故C正确;

对于D,由%=%+1-。“_1("22)可得，

%+%+%++。2021=%+(%一。2)+(。6一%)++(%022一4020)=%022，故D正确.

二、填空题

7.已知数列｛4｝的前几项和为S“，且S“=1+4,〃eN*，则4=

5,7?—1

【答案】zzeN*

2H-1,H>2

【详解】因为数列｛〃/的前〃项和为且S〃=1+4,〃£N*

2

当〃22时，an-Sn-Sn_x=+4-(n-l)-4=2n-l；

r5,AZ—1

又％=3]=1-+4=5不满足上式，所以,neN*•

2n-l,n>2

[n+l.n=2k

8.在数列｛4｝中，an=\，^am_1am=am+lf则机=_________.

3,n=2K+1

【答案】8

【详解】当加为偶数时，由册_14=。",+1得3"1*（和+1）=3"出，解得m=8符合;

2

当〃7为奇数时，由=(+1得(m—l+l)x3"'=(m+l+l),即3"=1+—,

m

2

令必=3%,%=1+—，在同一直角坐标系中作出函数的图像，如图所示:

x

22

由图可知两个函数图像只有一个交点，即方程3'"=1+—只有一个根，且31=1+—,所以由

m1

2

3"=1+—得租=1,由根=。祖+1可知加22,所以根=1不满足题意.综上，m=8.

m

9.已知数列｛与｝的通项公式为4=；^^,前几项和为S“，则5〃取得最小值时〃的值为

2n—17

【答案】8

Qin

［详解］令20,解得〃W3或.•・当时，«„>0,S〃单调递增,

2“—172

当时，«„<0,S.单调递减，当“28时，4〉0,S“单调递增，所以S〃取得最小值时”

的值为8.

10.被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，

再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，

则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被

称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔

子数列｛£｝：耳=耳=1，工=工.1+£.2(”〉2),若将数列｛可｝的每一项除以2所得的余数按

原来项的顺序构成新的数列｛«„｝,则数列｛。“｝的前2020项和为.

【答案】1347

【详解】由题意可得｛£｝=｛1,1,2,3,5,8,13,21,34,…｝,所以数列｛4｝=｛1,1,0,1』,0,1,1,0,…｝,

所以数列｛4｝是一个周期为3的周期数列，而2020除以3商673余1,所以数列｛q,｝的前2020项

和为2x673+1=1347.

三、解答题

11.在数列｛斯｝中,ai=2,斯+i=a〃+ln(l+。求斯.

【详解】由题意，得斯+1“=1心出，

n

71

.(n>2),

即「M2=ln悬

.:当ri>2时,〃i=ln(台•翳•…・|)=ln.：斯=2+lnn(n>2).

当n=l时,〃i=2+ln1=2,符合上式，

・：〃〃=2+ln〃(几£N*).

2