2023湘教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-第2章 平面解析几何初步综合拔高练

综合拔高练

五年高考练

考点1直线方程及其应用

1.（2020全国in文,8）点（0,-1）到直线y=k（x+l）距离的最大值为（）

A.lB.V2

C.V3D.2

2.（2019江苏,10）在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+3x>0）上的一个动点，则点P到直线

x+y=0的距离的最小值是.

考点2点与圆、直线与圆的位置关系

3.（2020全国I文,6）已知圆x2+y2-6x=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为

（）

A.lB.2

C.3D.4

4.（2020北京,5）已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）

A.4B.5

C.6D.7

5.（2020全国II理,5）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（）

3^/5延

6.（多选X2021新高考H,11）已知直线l:ax+by-r2=0与圆C4+yZur2,点A（a,b）,则下列说法正确的

是（）

A.若点A在圆C上,则直线1与圆C相切

B.若点A在圆C内,则直线1与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离

D.若点A在直线1上,则直线1与圆C相切

7.（2021天津/2）若斜率为b的直线与y轴交于点A,与圆x2+（y-l）2=l相切于点B,则

|AB|=.

8.（2020天津,12）已知直线x-V3y+8=0和圆x2+y2=r2（r>0）相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值

为.

9.（2020浙江,15）已知直线y=kx+b（k>0）与圆x2+y2=l和圆（x-4）2+y2=l均相切，则

k=,b=.

考点3直线与圆的方程的综合应用

10.（2020全国I理,11）已知。M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为1上的动点.过点P作。M

的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）

A.2x-y-l=0

B.2x+y-l=0

C.2x-y+l=0

D.2x+y+l=0

11.(多选)(2021新高考I』l)己知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点人(4,0)闻0,2),则()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时,|PB|=3企

D.当NPBA最大时,|PB|=3&

三年模拟练

应用实践

1.(2022吉林长春外国语学校期末)若圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0上存在到直线4x-3y-2=0的距离

等于1的点,则实数a的取值范围是()

(2.(-8,一汕长,+8)

2.(2022山东德州期末)已知直线l:ax+y-2=0与圆C:(x-l)2+(y-a)2=4相交于A,B两点，则△ABC为

钝角三角形的充要条件是()

A.aG(l,3)

B.aG(2-V3,2+V3)

C.aG(2-V3,l)U(l,2+V3)

D.aG(-oo,2-V3)U(2+V3,+oo)

3.(2021安徽阜阳太和一中月考)已知点P(t,t),teR,点M是圆x2+(y-l)2=/上的动点，点N是圆

(x-2>+y2芸上的动点，则IPNHPMI的最大值是()

A.V5-1B.2

C.3D.V5

22

4.(2021江西南昌二中月考)已知圆Ci：(x-2>+y2=4,C2：(x-2-5cos0)+(y-5sin0)=l(eeR),aifflC2

上一点P作圆C)的两条切线，切点分别是E,F,则屈•丽的最小值是()

A.6B.5

C.4D.3

5.(多选X2020山东泰安期中)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离

之比为定值九(人/1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，

已知A(-42),B(2,2),点P满足黑=2,设点P的轨迹为圆C,则下列结论正确的是()

A.圆C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16

B.过点A作圆C的切线，两条切线的夹角为£

C.过点A作直线1,若圆C上恰有三个点到直线1的距离为2,则直线1的斜率为土空

D.在直线y=2上存在异于A,B的两点D,E,使得圈=2

6.(2022河南洛阳期末)直线kx-y+l-k=0与圆C:(x-2)2+(y-2)2=4相交于A,B两点，则4ABC面积

的最大值为.

7.(2022安徽合肥一中期末)已知圆Ci：x2+y2-2x-4y+3=0,直线l:y=x-a(a>0).若直线1与圆Ci和圆

C2均相切于同一点，且圆C2经过点(4,-1),则圆C2的标准方程为.

8.(2022山西长治二中月考)如图，在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,过点P(0,3)且斜率

为k的直线1与圆O交于不同的两点A,B,点Q(0,1).

(1)若直线1的斜率k=&,求线段AB的长度；

(2)设直线QA,QB的斜率分别为ki,k2,求证:ki+k2为定值，并求出该定值；

(3)设线段AB的中点为M,是否存在直线1使|M0|=,|MQ|?若存在，求出直线1的方程;若不存在,

请说明理由.

迁移创新

9.(2020广东佛山一中期中)规定:在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心

的位置，我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动,

目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都

简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面

直角坐标系，解决下列问题：

⑴如图①,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B，(8,-4)处运动，求碰

撞前母球A的球心运动的直线方程；

⑵如图②,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B后，使

目标球B向B(8,-4)处运动？

⑶当A的位置为(0,a)时，使得母球A击打目标球B,目标球B(4a,0)可以向能碰到目标球

C(7&,-5a)的方向运动，求a的最小值(只需要写出结果即可).

图②

答案与分层梯度式解析

五年高考练

1.B解法一:点(0,-1)到直线y=k(x+l)的距离d』.厚坐!=粤k注意到k2+122k,于是

Vk2+1Vfc2+1

2(k2+l)Nk2+2k+l=|k+lF,当且仅当k=l时取等号.即|k+l|WU2+1•所以£1=嘴生或我,故点

V/C2+1

(0,-1)到直线y=k(x+l)距离的最大值为a.故选B.

解法二:由题意知，直线l:y=k(x+l)是过点P(-l,0)且斜率存在的直线，点Q(0,-l)到直线1的最大距

离在直线1与直线PQ垂直时取得，此时k=l,最大距离为|PQ仁a，故选B.

2.答案4

解析设P(%o^o+J,xo>O,则点P到直线x+y=0的距离d』.襄L或(x0+§24,当且仅当

xo=4即xo=a时等号成立.

X。

故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.

3.B圆x2+y2-6x=0化为(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),设为C,半径为3,

设P(l,2),当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短,

此时|CP|=J(3-1)2+(0-2)2=2夜.

根据弦长公式得，最小值为2j9-|CP|2=25飞=2.故选B.

4.A设圆心为人仪,丫),由已知得⑨3)2+0-4)2=1,即人在以(3,4)为圆心、1为半径的圆上，所以圆

心A到原点的距离的最小值为J(3-0)2+(4-0)2-1=54=4.故选A.

5.B设圆心为P(xo,yo),半径为r「.•圆与x轴、y轴都相切,，厢仁伙仁!•，又..•圆经过点(2,1),，

x()=yo=i'且(2%))2+(1-丫0)2=於,，02)2+任-1)2=，,解得r=l或r=5.

①r=l时，圆心P(l,l),则圆心到直线2x-y-3=0的距离为产冏=竺;

旧+(-1)2s

②r=5时，圆心P(5,5),则圆心到直线2x-y-3=0的距离为-『二'=竺.故选B.

值+-5

6.ABD圆心C(0,0)到直线1的距离d=-

若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=a,所以(1=二=^=咻所以直线1与圆C相切，故A正确.

若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<M,所以d=高训，所以直线1与圆C相离，故B正确.

若点A(a,b)在圆C外，则aZ+b?>!*2,所以(1=启q<|r|,所以直线1与圆C相交，故C错误.

若点A(a,b)在直线1上，

则a2+b2-a=0,即aZ+b?/,所以d=-^====|r|,

所以直线1与圆C相切，故D正确.故选ABD.

7.答案V3

解析假设点A在x轴的上方，斜率为百的直线与x轴交于点D,则可得tan/ADO=K，所以

金增，如图所示由圆的方程可得，圆的半径IBCH,由于B为切点，所以AB_LBC,所以

|AB|=|BC|:

tanNE4c

8.答案5

2

解析设圆心(0,0)到直线X-V3y+8=O的距离为d,则d=1网=4,••.id蜉)+d2=32+42=25,X

JI2+(-V3)212)

r>0,/.r=5.

9.答案且;-理

l7p=7=(\b\=\4k+b\,庚=彳(舍非正数),

解析解法一油直线与圆相切的充要条件知出；=3

z

.詈町=1k\b\=yjk+16=2V3

\yjk2+lV—3

解法二:如图所示.

10.DOM的标准方程为(x-l)2+(y-l)2=4,半径r=2,圆心为如图所示，由题可知,AB_LPM,

|PM|,|AB|=2S四边形APBM=2(SAPAM+SAPBM)

=2(|PA|+|PB|),

V|PA|=|PB|,

/.|PM|•|AB|=4|PA|=4j|PM『-|AM|2

=471PM|2-4,

当|PM|最小时,|PM|•|AB|最小，易知|PM|min=；言=b,

此时|PA|=1,AB〃1,设直线AB的方程为y=-2x+b(bW-2),

圆心M到直线AB的距离d=整，

V5

ABI嗡磊・・〃喈上MAF,

即等+蓑4,解得b=-l或b=7(舍去).

综上所述，直线AB的方程为y=-2x-l,即2x+y+l=0,故选D.

11.ACD；A(4,0),B(0,2),.•.过点A,B的直线方程为花=1,即x+2y-4=0,设圆(x-5)2+(y-5)2=16的

圆心为C,则C(5,5),圆心C到直线x+2y-4=0的距离毁手产〉4,

.♦.点P到直线AB的距离的范围为［竿-4,竽+4］「..华<5,.•.竿-4<1,竿+4<9,.•.点P到直线

AB的距离小于10,但不一定大于2,故A正确,B错误;如图所示,当过点B的直线与圆相切

时,NPBA最小或最大(P点位于Pi时NPBA最小，位于P2时NPBA最大)，此时

|BC|=J(5-0)2+(5—2)2=425+9=取,.•.|PIB|=|P2B|=J|BC|2-42=S^=3或，故C,D均正确.

三年模拟练

1.A将圆的方程化为标准形式得圆仪气)2+。+2)2=16,所以圆心坐标为(好2),半径r=4,因为圆

x2+y2-2ax+4y+a2-12=0上存在到直线4x-3y-2=0的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d满

足d0+l=5,即d=¥W5,解得ae卜号,管故选A.

5L44J

2.C圆C的圆心为C(l,a),半径r=2,由于4ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则

NCAB<45。,设圆心C到直线1的距离为d,则d=粤:则sinNCAB=&=^<[,整理可得

a2-4a+l<0,解得2-B<a<2+Vl易知直线1不过圆心C,则2a-2#0,解得aWL综上所

述,aW(2-V5,1)U(1,2+百).故选C.

3.B设圆x2+(y-l)2乏的圆心为A,圆(x-2>+y2芸的圆心为B,则A(0,l),B(2,0),则

44

|PNHPM|W|PB|+g-(|P*-3=|PBHPA|+1,设点A关于直线y=x的对称点为A：则A<1,O),则

|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA'|+1W|A'B|+1=2,故选B.

XCOS2

4.A由C2：(-2-50)+(y-5sin0)2=l(0CR)可得，圆C2的半径为1,圆C2的圆心在圆

A:(x-2)2+y2=25上运动.设A(2,0),则|PA|6[4,6].

由图可知，屈•PF=|PF|2COS20=(|PA|2-4)•(l-2sin29)=(|PA|2-4)(l一意)=|PAF+^-12,由函数

y=x+y-12在xe口6,36]上为增函数可知,当|PA|2=16时，而•而取最小值，为6.故选A.

1PlJ(X+4)2+(y-2)2

5.ABD设点P(x,y),因为A(・4,2),B(2,2),点P满足黑=2,所以*=2,

|Pfi|J⑴2)2+俨2)2

化简，得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正确；

易知圆心C(4,2),圆C的半径R=4,所以|AC|=8,设两切线的夹角为a,所以sin白众三,则一会所以

L|LL6

a\,故B正确；

易知直线1的斜率存在,设直线l:kx-y+4k+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线1的距离为2,所以

圆心到直线1的距离(1=粤=2,解得k=土半，故C错误；

收+i15

、(r-m)2+(y-2)2

假设直线y=2上存在异于A,B的两点D(m,2),E(n,2),mWn^Hj-------==2,

J(x-n)2+(y-2)2

化简，得x2+y2+等k4y+”等=0,因为点P的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+4=0,所以

4n2-/+12_

3

解得『二:2,或｛，[],(舍去)，故存在D(12,2),E(6,2),故D正确.故选ABD.

6.答案2

解析直线方程kx-y+l-k=O可整理为y-l=k(x-l),所以直线kx-y+l-k=O恒过点P(l,l),因为

(1-2)2+(1-2)2<4,所以点P(1,1)在圆内.如图，连接AC,BC,CP,贝<AC|=|BC|=2,设NACB=0,

易得|CP|=J(2-1)2+(2—1尸=方,当直线kx-y+l-k=O与直线CP垂直时,0取最小值盘所以在

△ABC中,0金［；用),所以SAABC=||AC||BC|•sin0=2sin0W2,当且仅当0、时取等号.

7.答案(x-3)2+y2=2

解析圆G的方程可整理为(x-l)2+(y-2)2=2淇圆心为Ci(l,2),半径为a,因为圆J与直线1相切,

所以啜=e,解得a=l(负值舍去)，所以直线l：y=x-l,由｛(个疗J。=2,得=:即切点为

(2,1),

设圆C2的圆心C2(m,n),则〃加2)2+(n-l)2=J(>4)2+(n+①，且二=-1②，由①②得

m=3,n=0,所以C2(3,0),所以圆C2的半径为J(3-2)2+(0-1)2=a,所以圆C2的标准方程为

(x-3)2+y2=2.

8.解析⑴若直线1的斜率k=&，则直线1的方程为y=V2x+3,

圆心0(0,0)到直线1的距离d=^==V3,HO的半径r=2,所以|AB|=23-d2=2V¥^=2.

(2)设直线1的方程为y=kx+3(kW0),A(xi,yi),B(X2,y2),

由［消去y,得(1+k2)x2+6kx+5=0,

则X1+X2=l5不的=号,

由A=36k2-4x(1+k2)x5=16k2-20>0,WWk2>^,

4444

所以kI+k2=2+々之士匹匕

XlX2XiX2

559

=2k+Z+Z=2k+入山=2k+-x-^x—=0.

x\X23X\X231+k5

所以ki+k2为定值0.

(3)存在.设点乂90,刈),由(2)知凶)*詈=毒,所以yo=kx()+3=T|J+3=T^.

又因为|MO|=1|MQ|,即31Moi2=2|MQF,

3(xo+yo)=2(xo+(y-1)，即呼+y(21632目/3\216332

所以0日,，即(俞)+(r)+3•俞7,

整理，得鼻=急，解得k2=署，

:，故k2=号>|满

所以存在满足条件的直线1,其方程为y=±等