2020年概率论与数理统计期末考试题库288题（含答案）

2020年概率论与数理统计期末测试复习题288题［含

答案］

一、选择题

1.若A.B相互独立，则下列式子成立的为(A)。

AP(助)=P口)P(B)B.P(A5)=Oc.P(A\B)=P(B\A)D

P(A|B)=P(B)

2.已知连续型随即变量X的概率密度为

其它

求(1)c；(2)分布函数F(x)；(3)P(-0.5<X<0,5)o

(1)匚小心=(

解：c=l/4

(2)当x<—1时，R(x)=「=0

J—00

当一1V1<酎，F(x)=「-f——J--dt--arcsin1

JRL小/1-r71

1.冗、

=—(zarcsinx+—)

712

当x>1时，F(x)=「f⑴di=1

J—O0

0,x<-1

]7t

故F(x)=<—(arcsinx+—),—1<x<1

712

1,x>\

(3)P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=l/3

3.设4,42两个随机事件相互独立，当A，A?同时发生时，必有A发生，则(A)»

AP(44)WP(A)B.P(A&)NP(A)cP(AiA2)=P(A)

P(A)P(4)=P(A)

k+\

4.设离散型随机变量的概率分布为10,"=0]，2,3,则"(X)=

(B)。

A.1.8B.2C.2.2D.2.4

5.若A与B对立事件，则下列错误的为(A)。

AP(AB)=P(A)P(B)B.2(A+B)=1cP{A+B)=P(A)+P(B)D

P(AB)=O

6.设总体X的数学期望EX=u,方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是来自总体X的简

单随机样本，则下列P的估计量中最有效的是（D）

A.-X]H----XnH-----XRH-----B.—X|H—XrH—XQ

616233333'3233

3411

C.-X]+-X2-----X3------X4D.-X.+—X4--X-,4--X

515253544142743444

7.设①（X）为标准正态分布函数,

fl,事件A发生

10,否则|2…310(')且P(A)=0.4,乂，X2,…，Xg相

100

r=£x,.

互独立。令*'=>,则由中心极限定理知丫的分布函数尸（旧近似于（B）。

y-40y-40

中(-1—)0(

①扃)

A.(y)B.C①(1°)D.24

8.若£（xr）=E（x）E（y）,则⑴）。

A.X和丫相互独立B.X与y不相关c.D（XY）=D（X）D（Y）D

o（x+y）=£>（x）+z）（y）

9.设随机事件A.B互不相容，P（A）=P，P（B）=q,则P（AB）=（c）。

A.GPMB.1均CTD.P

fl,事件A发生

Xj=\二।i=l,2,…，100,

10.设①（X）为标准正态分布函数，〔°'心则且

100

Y=^JXI.

P（A）=0.9,X|,、2,…，X侬相互独立。令,.=|则由中心极限定理知y的分布

函数F（y）近似于（B）。

A.①(y)B.①--3--))c①(y一90)D.0)(-—9—))

II.设K是一组样本观测值，则其标准差是(B)o

(七一元)2卜7汽(七一彳1n

-y(x,.-x)2

A.BT〃一1泊

(千一无)

〃仁

12.若E(xy)=E(x*(y),则(D)0

A.x和y相互独立B.x与y不相关c.°(xr)=o(x)£>(y)D

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

13.若随机事件A，6的概率分别为尸(A)=0.6,P(B)=0.5,贝|jA与8-定(D

)。

A.相互对立B.相互独立C.互不相容D.相容

14.设①(X)为标准正态分布函数，

fl,事件A发生.

X.=<.rtz=1,2,…，九，

口人且P(A)=P,XpX》'X“相互独

Y=YXi

立。令<=),则由中心极限定理知丫的分布函数"(>)近似于(B)。

①(广叩)①(上口)

A.①(y)BJ〃p(l-p)ccp(y-np)D.叩(l-p)

'9—6、

15.已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为”—66)

求随机向量(X—Y,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+6-2*(-6)=27

D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+6+2*(-6)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=9-6=3

_CMX—y,x+y)_3_]_

Px-YX+Y~J.(x-y)J0(x+y)-V27*V3-3

'XI3)3

4a~1

所以，(X—Y,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为1)和13

16.设随机变量X的概率密度为

x

"“幻、一］［e~。，9x其>它0

设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。

解：当y<0时，FY(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=O；

当y>l时，FY(y)=P(YWy)=P(F(X)Wy)=l；

当OWyWl时，FY(y)=P(YWy)=P((F(X)Wy)=。(X"尸

=F(F-'(y))^y

d［1,0<y<1,

因此，fY(y)="yl0,其匕，

V=[6

17.已知随机向量(X,Y)的协差矩阵V为V69)

计算随机向量(X+Y,X—Y)的协差矩阵(课本116页26题)

解：DX=4,DY=9,C0V(X,Y)=6

D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25

D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=1

COV(X+Y,X-Y)=DX-DY=-5

产—5]

故(X+Y,X-Y)的协差矩阵(一§1)

18.设随机向量(X,Y)联合密度为

6元，0<x<y<l;

V

f(x,y)=1°5其它.

(1)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判断X,Y是否独立，并说明理由。

解：(1)当x<0或x>l时，fX(x)=O；

当。81时，.尸口8一46M6x(1).

6x-6x2,0<x<1,

0其它

因此，(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=U火匕.

当y<0或y>l时，lY(y)=O;

当O0W1时，4("口(7"寸6a=3号力=3广

3y2,0<^<1,

<

因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=10'其匕

(2)因为f(l/2,1/2)=3/2,而fX(l/2)fY(l/2)=(3/2)*(3/4)=9/8Wf(l/2,1/2),

所以，X与Y不独立。

19.连续型随机变量X的密度函数f（x）必满足条件（C）。

A.0</（x）<lB.在定义域内单调不减

C.[f（x）dx=1D.limf（x）-1

J-OC

20.设X「X2是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为力（幻和

人“）,分布函数分别为耳（X）和鸟（力，则（B）。

A./（x）+/2（x）必为密度函数B.耳必为分布函数

C居（》）+居（幻必为分布函数D.工（x）"2（x）必为密度函数

21.对任意两个事件A和8,若P(AB)=°,则(D)。

AAB=(|>AB=d>「P(A)P(5)=0P(A-B)=P(A)

a.IuJ.JnL/.

22.一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B«加工零件A时停机的概率

是0.3,加工零件A时停机的概率是0.4o求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停

机，求它是在加工零件A时发生停机的概率。

解：设G,G,表示机床在加工零件A或B,D表示机床停机。

（1）机床停机夫的概率为

P（B）=P（C"（D|G）+P（G）/（04）=§*+§*°”=55

（2）机床停机时正加工零件A的概率为

-x0.3a

P(C,).P(DIC,)3=2

P(GI0=

P(D)1111

30

23.设随机变量X的概率密度为/(©=ce闵，则。=。

(A)-2(B)0(C)2(D)I

24.设随机变量X在区间［1,2］上服从均匀分布，求Y=e-的概率密度f(y)0

1

［答案：当『KyKe,时，f(y)=2y,当y在其他范围内取值时，f(y)=o.］

［2x0<x<l

25.已知随机变量X的密度函数为I°OtherS

求：(1)X的分布函数F(x)；(2)P{0.3<X<2}(同步45页三.3)

26.若随机事件A，8的概率分别为P(A)=0.6,尸(约=0.5则A与B-定⑴

).

A.相互对立B.相互独立C.互不相容D.相容

27.：。2未知，求U的置信度为1-a置信区间

(X(«-1)-/=)

3：求。2置信度为1-a的置信区间

An-l)S2(n-l)S2

XXif"-1)

28.正常人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者9人，测得其脉搏为(次/分)：

29.某厂生产某种零件，在正常生产的条件下，这种零件的周长服从正态分布，均值为

0.13厘米•如果从某日生产的这种零件中任取9件测量后得亍=0.146厘米，S=0.016厘

米。问该日生产的零件的平均轴长是否与往日一样？

(已知：a=0.05,r005(9)=2.262,/005(8)=2.306,%02s=1.96)

_T=~s/~

解：待检验的假设为"。：〃=°」3选择统计量/'〃当"。成立时，T〜t(8)

RIO兀5⑻}=S05取拒绝域w={IT\>2.3061

由已知

"।।=^x-p=_^0.146r-0.13

71>2・306拒绝”。，即认为该生产的零件的平均轴长与往日有

显著差异。

30.已知连续型随机变量X的概率密度为

(2x,xG(0,A)

f%=[0,其它

求(1)A；(2)分布函数F(x)；(3)P(-O.5<X<1)»)

2

(1)f(x)dx=J(^2xdx=A=1

解：A=1

(2)当x<()时，F(x)=j^/(/Xr=0

当0<x<1时，F(x)=J'f(t)dt=£'2tdt=x2

当x21时，F(x)=f'=1

0,x<0

故F(x)=lx\0<x<l

1,x>1

(3)P(-0.5<X<l)=F(1)—F(-0.5)=l

31.某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布N(〃，692),现从一批产

品中抽测20个样本，测得样本标准差S=1.2o问在显著水平&=°」下，该批产品的标准

差是否有显著差异？

222

(已知:招052a9)=30.14,Zo95(19)=10.12；Zoo5(2O)=31.41,Za95(20)=10.85)

(〃-■

u/VV-........

解：待检验的假设是"o：b=°•选择统计量/在"。成立时

w-r(i9)

夕%2。,。5(19)>卬>42。95(19)}=0.90

取拒绝域W={W>30.114,W<10.117}

w=("—DS)=19xL2-=33.778

由样本数据知觉0.9233.778>30.114

拒绝”。，即认为这批产品的标准差有显著差异。

32.设随机事件A.B互不相容，P(A)=p,P(B)=q,则P(M)=(c)o

A.(1-P)4B.pqC.qD.P

33.设随机事件A与3互不相容，且P(A)>P(B)>0,则(口)。

AP(A)=1—P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)c.P(Au8)=ld

P(AB)=1

34.设(、1，、2，"、'")为总体"(1,22)的一个样本，文为样本均值，则下列结论中正

确的是(D)。

—尸~r(〃):Z(X/—1)~~/(〃，1)—/=~L~N(O,I)

A.2/J〃.B.4i=i.QA/2/A.D.

彳之(Xj-1)2~/(〃)

4i=l；

35.已知连续型随机变量X的分布函数为

F(x)=A+fiarctanx

求(1)A,B；(2)密度函数f(x)；(3)P(l<X<2)o

TT

(1)limF(x)=A+-B=\

xf22

71

limF(x)=A——B=0

XT-002

解：A=1/2,B=1/兀

(2)

/⑴=F(x)=1

%(1+广)

1「

—arctan2

(3)P(0<X<2)=F(2)—F(0)=71

36.设系统L由两个相互独立的子系统L1.L2串联而成，且L1.L2的寿命分别服从参数为

a,尸°力6)的指数分布。求系统L的寿命z的密度函数。

解：令X.Y分别为子系统L1.L2的寿命，则系统L的寿命Z=min(X,Y)。

显然，当zWO时，FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=O；

当z>0时，FZ(z)=P(ZWz)=P(min(X,Y)Wz)=1-P(min(X,Y)>z)

1-fae^dx^B*\dy.。-(&+夕”

=l—P(X>z,Y>z)=l—P(X>z)P(Y>z)=工人=l-e0

因此，系统L的寿命Z的密度函数为

[B（z）=<+z〉0

fzg=dz0,z<0

37.一批螺丝钉中，随机抽取9个，测得数据经计算如下：元=16.I0cv几s=2.1(km。设螺

7

丝钉的长度服从正态分布，试求该批螺丝钉长度方差b-的置信度为0.95的置信区间。

2

(已知:检(一⑻=17.535,%。97；(8)=218；%02sz⑼二段像，Zo.975(9)=2.7)

解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以

(〃-1)S2/1、

=-p-~二(〃)P{Zo.0252(8)<W<及—(8)}=0.95

j(〃_1)S2(n-l)S2

的置信区间为：1总°25(〃T)%；975(〃T)，

’8x2.1028x2.102、

"的置信度0.95的置信区间为117-5352-180J即(2.012,16.183)

38.设总体X的概率密度函数是

/("⑶=七渡

-8Vx<+00

%，%2，％3，'X，，是一组样本值，求参数6的最大似然估计?

解：似然函数

n11

L^n（-i=ye26--------exp

（国）"

lnL=--ln（2^-）--lnJ---Sx；

2v722s，=i'

A1«o

dlnL22

_ZL+_!_Sx=-Zx

d82S282^1n/=1

39.随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s),设炮口速度服

从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的方差0的置信度为0.95的置信区间。

(已知:2b,0252(8)=17.535,^(8)=2.18；%一⑼=母02,为原⑼=27)

因为炮口速度服从正态分布，所以

Q?-I)S___

41)P-(8)〈卬〈％9752(8)}=。95

(»-1)52(n-l)S2

"的置信区间为：l忌。25(〃T)点.975(”力

(8x98x9)

"的置信度0.95的置信区间为117.535‘2.180)即(4.106,33.028)

ax+b0<x<l

/（X）=<

0others

40.已知随机变量X的密度函数为

且E(X)=7/12。求：(1)a,b；(2)X的分布函数F(x)(同步49页三.2)

41.设①(X)为标准正态分布函数，

vJ1,事件A发生.।,

口人尸(A)=P,X「X"'xn相互独

y这X,

立。令<•=>,则由中心极限定理知丫的分布函数F(>)近似于(B)。

①)①(上叫

A①(y)B.，秋(1一P)cO)(y-np)D.秋P)

42.连续型随机变量X的密度函数f(x)必满足条件(C)。

A.0</(x)<lB.在定义域内单调不减

f+CO

C.If(x)dx=1D.limf(x)=1

43.随机向量(X,Y)服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为

/X/2\

，一〃I[/_b；poQ2

〃一V—2

UM【2b02。2)

计算随机向量(9X+Y,X-Y)的协差矩阵(课本116页33题)

解：E(9X+Y)=9EX+EY=9u1+u2

E(X-Y)=EX-EY=u1-u2

D(9X+Y)=81DX+DY+18COV(X,Y)=81o12+18P。1。2+。22

D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=。12—2P。1。2+。22

COV(9X+Y,X-Y)=9DX-DY-8COV(X,Y)=9。12—8P。1。2—。22

然后写出它们的矩阵形式(略)

44.已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布NO，。?）。从中随机抽取9根，经计算得

2

其标准差为8.069。求b的置信度为0.95的置信区间。

（已知：忌必⑼=19023,/975⑼=27/必⑻=17.535,总如⑻=2.180）

解：由于抗拉强度服从正态分布所以，

P(,2(8)<W<2b,2(8)}=0.95

(J~Z0025975

(n-l)52(n-l)S2

)

的置信区间为:

’8x8.06928x8.0692、

人的置信度为0.95的置信区间为I05352,180)即(29.705,238.931)

45.某人外出可以乘坐飞机.火车.轮船.汽车四种交通工具，其概率分别为

5%.15%.30%.50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为

100%.70%.60%.90%。求该人如期到达的概率。

解：设A,4,A,4分别表示乘坐飞机,火车.轮船.汽车四种交通工具，B表示如期到

达。

4

P(B)=ZP(A)P(BIA)

贝IJ-=1=0.05x1+0.15x0.7+0.3x0.6+0.5x0.9=0.785

答：如期到达的概率为0.785。

四（1）设随机变量X的概率密度函数为

Ax,0<x<l

f(x)=<

0,其它

求(1)A；(2)X的分布函数F(x)；(3)P(0.5<X<2)o

(1)jf(x)dx=£Axdx=^X2|y=y=1

解：A=2

(2)当x<OH寸，F(x)=「f3dt=0

J-co

当0<x<M,F(x)=[=f2tdt=x2

J—：oJo

=匚加m=1；2。力=1

当王N1时,FM.

0,x<0

故F(x)=<x2,0<x<l

1,x>\

(3)P(1/2<X<2)=F(2)—F(l/2)=3/4

事件A发生

Xj=i=l,2,…，100,

46.设中（X）为标准正态分布函数，0.否贝U且

KX）

y=2x,.

P（A）=0.6,X|,X2,…，Xioo相互独立°令,=1则由中心极限定理知y的分布

函数尸（丁）近似于（B）,

①铲）

A.①⑴B,取C①吐6。）

47.已知连续型随机变量X的分布函数为

0,x<0

F(x)=<Ay[x,0<x<1

1,x>l

求(1)A；(2)密度函数f(x)；(3)P(0<X<0.25)»

解

(Fx=A=

.r->l

(2)

1

fx二F'x=<2\[x'

0,其他

(3)P(0<X<0.25)=1/2

48.615.114.914.815.215.114.815.014.7

若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径4的置信度为0.95的置信区间。

（已知：/005（9）=2.262,r005（8）=2.306,“）必=L960）

U=（0

解：由于滚珠的直径X服从正态分布，所以

R|U|<5}=0-95

（亍-“0.025丁，斤+“0.025―）元=/£玉=14.911

所以〃的置信区间为：经计算I

〃的置信度为0.95的置信区间为

（14.911-l.96x平/4.911+L96X的

即(14.765,15.057)

49.设总体X服从参数为％的指数分布，%，/，/，，天是一组样本值，求参数4的最大

似然估计。

lnL=/tlnA-/lZx

解：似然函数<'='/=11

dinL

~~dT

50.若事件4,A3两两独立，则下列结论成立的是（B）。

A,4,4，4相互独立B.4,&两两独立

C.P（4A2A3）=P（4）P（4）P（4）口A|,A?,A3相互独立

51.己知连续型随机变量X的分布函数为

1----x>2

/(X)={X2

0,x<2

求（1）A；（2）密度函数f（x）；(3)P(0WXW4)。

(2)

£

x>2

(1)bF(x)=l-A/4=03

«2f(x)=F\x)=-1

.解：AE0,x<2

(3)P(0<X<4)=3/4

52设X的分布函数F(x)为：

0x<-\

0.4-1<X<1

F(x)-<

0.8l<x<3

-1x-3,则X的概率分布为().

分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量

[答案：P(X=-l)=0.4,P(X=l)=0.4,P(X=3)=02]

53.已知连续型随机变量X的概率密度为

a4x,0<x<1

f(x)=■

0,其它

求(1)a；(2)X的分布函数F(x)；(3)P(X>0.25)o

(1)J/(x心=£ay/xdx=-1a=l

解：a=3/2

(2)当％<0时，F(x)=['f(t)dt=0

J-00

312

当04x<1时・，F(x)=J'y63dt=X

当x21时，F(x)=f'=1

J—30

0,x<0

故F(x)=Jx3/2,0<x<l

1,x>l

(3)P(X>l/4)=1—F(l/4)=7/8

'4—5、

54.已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为—I5J9?)

求随机向量(X—Y,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X-Y尸DX+DY-2Cov(X,Y)=4+9-2*(-5)=23

D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=4+9+2*(-5)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=4-9=-5

_c“v(x—y,x+y)__5_-5

Px-Y'x+Y-J°(x-y)Jz)(x+y)―岳*百一病

(23-5>

所以，(X—Y,X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为.513)和

V69

1

55.设随机变量X的密度函数为f(x),则Y=5-2X的密度函数为(B)

望)亭)

A.--/(-B.-/■(-

22八

*年)

C.D.—Z(-

2

56.设随机向量(X,Y)联合密度为

'8xy,0<x<y<l;

“「0,其它.

f(x,y)=i

(1)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判断X,Y是否独立，并说明理由。

解：(1)当x<0或x>l时，fX(x)=O；

当044时，fX(x)J:/ay"kf8孙dy=4ry2b以(1-炉).

4x-4x3,0<x<1,

<

因此，(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=10'其它.

当y<0或y>l时，fY(y)=O；

当0<yWl时，fY(y)=[^f(x,y)dx=^8xydx=4yx21^=4/.

4y3,0<y<l,

0其它

因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)=〔',

(2)因为f(l/2,1/2)=2,而fX(l/2)fY(l/2)=(3/2)*(l/2)=3/4Wf(l/2,1/2),

所以，X与Y不独立。

57.设①(幻为标准正态分布函数，

芭=｛fl。,，事否件则A发生'i2,…，l0°/P(A)=0.4X,,X2,…，Xm相

100

r=

互独立。令,则由中心极限定理知丫的分布函数口(>)近似于(B)。

y-40

①①(.)

A.①(y)B,V24c①(y—40)D.24

58.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（A）。

22C22!2!

A.42B.C.P；D,4!

3.已知随机变量X的概率密度为/x（x）,令Y=-2X,则丫的概率密度人“）为

（D）。

A.Vx（-2y）8.小一小「打（/）D.”与）

4.设随机变量X~/（x）,满足/（X）=/（-x）,尸（外是X的分布函数，则对任意实数。

有（B）。

AF（-«）=1-£/（X）^B）⑴公c.WMF©D.

F（-«）=2F（a）-1

5.设①（X）为标准正态分布函数，

X,”事学发生；』2」。。，

1°，否则；且P（A）=0.8,X],X2,…，Xioo相

100

r=£x,.

互独立。令＜=',则由中心极限定理知丫的分布函数尸（＞）近似于（B）。

①（必

A①（y）B.4'c.①（16）'+80）D①（分+80）

1.设A,B为随机事件，P（B）＞0,P（A|B）=1,则必有（A）。

AP（AuB）=P（A）B.An8c,2⑷=口约D,2磔囱=2⑷

2.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4,他连续射击直到命中为止，则射

击次数为3的概率是（C）。

22

（3）3（2）2xl（1）X^C；（1）

A.4B.44C.44D.4

59.6577706469726271

设患者的脉搏次数X服从正态分布，经计算得其标准差为4.583。试在显著水平&=0.05

下，检测患者的脉搏与正常人的脉搏有无显著差异？

（已知:a5⑻=2.306,轨5⑼=2262,t7oa25=1.960）

“0：〃=72

解：待检验的假设为

~s7~

选择统计量7G当"。成立时，T~'（8）

叩乜0s（8）｝=0.05

19

■rp*r\QCx=—EXj—68.667

取拒绝域w=｛I/>2J06｝经计算9'=>

II元-〃68.667-72

口=苏=4.58%=2」82

|T|<2.306

接受“。，检测者的脉搏与正常的脉搏无显著差异。

60.设X”X2是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为/（x）和

力（幻，分布函数分别为6（x）和BO），则（B）o

A./（%）+力（幻必为密度函数B,耳（幻,工（X）必为分布函数

C片（x）+B（x）必为分布函数D.工0）,人（》）必为密度函数

61.若随机向量（*，丫）服从二维正态分布，则①X，Y一定相互独立：②若

Pxy=°,则X，Y一定相互独立；③X和丫都服从一维正态分布；④若'，丫相互独

立，贝ij

Cov（X,Y）=0。几种说法中正确的是（B）。

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

62.设二维随机向量（X,Y）的联合概率密度为

e~y,0<x<y;

小、°，其它・

f（x,y）='

（1）求（X,Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX（x）,fY（y）；

（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由。

解：（1）当x<0时，fX（x）=0；

当x>0时，.=口山"=『G…

e~\x>0,

V

因此，（X,Y）关于X的边缘概率密度fX（x）=10'其它.

当yWO时，fY（y）=O；

[f(x,y)dx=['e~ydx=ye~y.

当y>0时，fY(y)=J-8，Jo

ye~y,y>0,

<

o其它

因此，(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY(y)="，火5

(2)因为f(l,2)=e-2,而fX(l)fY(2)=e-l*2e-2=2e-3#f(l,2),

所以，X与Y不独立。

63.（*，丫）是二维随机向量，与CoMX,y）=°不等价的是（口）

AE（xy）=E（x）E（y）r）（x+/）=£>（%）+D（r）「

A.DR.L.D（X-Y）=D（X）+D（Y）

D.x和y相互独立

64.设①（X）为标准正态分布函数，

fl,事件A发生

X,=4二，i=l,2,…，100,

.0,।□1则且P（A）=0.2,X],X》…,Xioo相互

10（）

Y这X：

独立。令国，则由中心极限定理知丫的分布函数尸（旧近似于（B）。

①口

A.①（y）B.4，c.①（16丁一20）D.①（4y-20）

65.设二元随机变量（X,Y）的联合密度是

1--（x+y）

v、八------e50x>0,y>0

/（%,》）=（25007

0others

求：（1）关于X的边缘密度函数fX（x）；（2）P{X250,Y250}

（同步52页三4）

[Ax0<x<2

f(x)-<

66.设随机变量X的概率密度函数为1°°thrs

求：(1)常数入；(2)EX；(3)P{1<X<3};(4)X的分布函数F(x)(同步47页三.2)

0+802

f(x)dx=Axdx=1

解：⑴由J-8Jo得到入=1/2

EX-Jxf{x}dx=(gxdx-^

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