2022年高中数学人教必修第一册同步练习：5 .7 三角函数的应用

5.7三角函数的应用

课后篇巩固提升

A级合格考达标练

1.在两个弹簧上各有一个质量分别为Mi和M?的小球做上下自由振动.已知它们在时间/（单位:s）离开

平衡位置的位移si（单位:cm）和级（单位:cm）分别由si=5sin（2/+J,S2=10cos2/确定，则当好与s时,si

与S2的大小关系是（）

A.SI>S2B.SI<S2

C.s\=S2D.不能确定

奉C

解析当r二§时,51=5$也（?+J=5sin孚二-5,S2=10cos号二10x（4）=-5,故门二级.

----336Z3Z

如图，某港口一天6时至IJ18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinQx+9）+匕据此函数可知,这段时

间水深,（单位:m）的最大值为（）

A.5B.6C,8D.10

H］c

|解析|由题意可知当sin（/+，取最小值-1时，

函数取最小值ymin=-3+A;=2,得k-5,

；.y=3sin（%+p）+5,当sin.x+p）取最大值1时,函数取最大值＞max=3+5=8.

3.有一冲击波，其波形为函数j=-sin竽的图象，若其在区间［0用上至少有2个波峰，则正整数t的最小值

是（）

A.5B.6C.7D.8

H］c

癖府由丫=7苗¥的图象知，要使在区间［0用上至少有2个波峰，必须使区间［0用的长度不小于2T二=

7T日2TI72TI,,、生「

丁，即7--=7,丁=7.故选C.

44画4学

4.（2021天津河西高一期末）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数

y=Asin（o尤+9）+6（A>0,o>0,|9l<7i）,则在6WxW14时这段曲线的函数解析式

是..（不要求写定义域）

|答案［v=10sin(3+乎)+20

।----------------voq

廨府由图可知八=我30-10)=10,7=2义(14-6)=16力=20,；.O=穹=梨=J

1----1Z1loo

点(10,20)在函数的图象上，

..lOsin(310+夕)+20=20,即sin("+g)=0,则”+^=2%兀水£Z,g=2Z兀

o444

•:|0|<兀,则夕二乎.则这段曲线的函数解析式是y=10sin（袅+手）+20.

4o4

［0,24］）,则这一天的最低气温是℃.

朝因为0&W24,所以专<白与<亨，故当工号=今,即心时,函数取最小值-6+20=14.

6.如图所示，某动物种群数量1月1日最低为700,7月1日最高为900,其总量在此两值之间依正弦型

曲线变化.

（1）求出种群数量y关于时间，的函数解析式;（其中，以年初以来的月为计量单位）

（2）估计当年3月1日动物种群数量.

阿⑴设种群数量y关于/的解析式为y=Asin（o什0）+4A>O0>O,|p向9），则［?（上二

乙।0—yUU,

解得A=100/=800.

周期T=2x(6-0)=12,co=也

.*.y=100sin+800.

又当t=6时,y=900,

.•.900=100sin^x6+^/+800,

sin（7i+9）=1,・'・sing=-1,

..•夕二-^艮!7y=100sin（1'/）+800.

（2）当U2时,

y=100sin（牌+800=750,

即当年3月1日动物种群数量约是750.

B级等级考提升练

7.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量

由函数F（r）=50+4sing（O0W2O）给出风。的单位是辆/分J的单位是分，则下列时间段中，车流量增加

的是（）

A.[0,5]B.[5,10]

C.[10,15]D.[15,20]

答案C

癖机当10WK15时，有|7!<5Wg<y<凯,此时尸⑺=50+4sing单调递增，即车流量在增加.故选C.

8.（2021北京海淀高一校级月考）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体

位移的正方向，若已知振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时，则

物体对平衡位置的位移x（单位:cm）和时间/（单位:s）之间的函数关系式为（）

$-wwvwww-^）

\\\\\vvvv\\\\v\v\\\\\\\v\v\\\XvXv\x\vv\\\\v\

III

AOB

A3.2nIT）nC.2TI

A.x=-sinv—B.x=3sin—t

C.x=|sin（3/+]）D.x=3sin（等+]）

HJD

解析设位移x关于时间/的函数为x与⑺=Asina/+夕）（A>0,①>0）,则A=3,周期7="=3,故口="，由题

意可知当t=0时次。取得最大值3,故3sing=3,故9=/+2fai,%£Z，当k=U时，e=1,%=3sin（与什，.故选

D.

9.如图，圆。的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点，角x的始边为射线0A，终边为射线。尸，过点

P作直线OA的垂线，垂足为M将点M到直线OP的距离表示为x的函数於），则y可㈤在区间［0㈤上

的图象大致为（）

答案C

,----,-sin2x,%e[o,-|,

1

朝由题意可得兀0=产1L2」Oq（x）W会排除A,B,D,选项C满足函数的图象，故选C.

^--sin2x,%e(江

10.

为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P（x,y）,若初始位置为

Po偿3）,当秒针从Po（注:此时U0）正常开始走时，点P的纵坐标y与时间*单位:s）的函数关系为

)

Tl7T'

A.y二sin[B.y=sin|寸姿,

C产sin（喻t+弓）D.尸in（嗡吗）

ggc

|解析|设'=析迷什9），其中①＜。

由1=60,得|。|嗡,

又当f=0时,丫=摄；.0关

•'.—in（脸t+胃

IL（多选题）如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）

A.该质点的运动周期为0.8s

B.该质点的振幅为5cm

C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度最大

D.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零

|答案|ABD

|解析|由图可得，半个周期为0.4s,所以周期为0.8s,A正确;平衡位置为x轴，最低点纵坐标是-5,故振幅

为5cm,B正确;当质点位于最高点或最低点时速度为零，故C错误,D正确.

12.（2021江苏无锡高一期末）

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图）.假

设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的筒车,在匀速

转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度”（单位:米）与转动时间f（单位:秒）满足函数关系式

H=2sin（静+夕）（0,J,且t=0时,盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后,盛水筒

M与水面距离为米.

答案|0.25

解析H=2sin（静+0）+*9e'%），

当f=0时,H=2sin0+,=2.25,贝Isin°=_,

4Z

,：（pG（0,乳，0=”.故"=25帛白+9+1.当f=100时,盛水筒M与水面距离为H=2sin（

266U64

於xlOO+p+|=2x（+卜。.25（米）.

13.生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型.下表中给出了在24小时期间

人的体温的典型变化（从夜间零点开始计时）.

时

间/024681012

时

⑴作出这些数据的散点图；

(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据;

(3)作出(2)中所选函数的图象.

敏1)散点图如下：

Aj/℃

37.6-

37.4-

37.2-

37-

36.8r

36.6-

36%......................................................................

024681012141618202224tfh

⑵设t时的体温y=Asin(caf+0)+C,则。=至空*=37,A=37.4-37=0.4,。=於=第=白.由

'L12412

0.4sin^x16+0)+37=37.4,得sinl苧+p)=1,取夕=吊.

(3)图象如下:

新情境创新练

14.为迎接夏季旅游旺季的到来,某景区单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，景区的工作人员发

现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投

入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的

变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.

(1)试用一个正弦型三角函数描述一