2023-2024学年高一数学2019单元复习试题单元复习13立体几何初步基础题

单元复习13立体几何初步

考点01基本立体图形

一、单选题

1.下列命题中不正确的是（）

A.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

B.正四棱锥的侧面都是正三角形

C.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台

D.以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台

【答案】B

【分析】由正四棱锥的概念判断B；由旋转体的结构特征判断A、C、D.

【解析】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确；

对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误；

对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；

对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆

台，故D正确.

故选：B.

2.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）

A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆柱、一个圆锥

C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥

【答案】D

【分析】根据旋转体的概念，作出直观图，可得答案.

【解析】图①是一个等腰梯形，CD为较长的底边，

以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，

如图②，包括一个圆柱、两个圆锥，

故选：D

3.若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是（）

y

【分析】利用斜二测画法判断.

【解析】解：由斜二测画法知：平行或与X轴重合的线段长度不变，平行关系不变，

平行或与》轴重合的线段长度减半，平行关系不变，

故选：A

4.已知正四面体的棱长为“，E为CD上一点,且CE:EO=2:1,则截面48E的面积是（）

AV22n应2V172

A.----aB.——aCr.-----a2Dn.-----a

421212

【答案】D

【分析】在立体图形中作平面几何分析，利用余弦定理和面积公式求解即可.

C

21

因为CO=a,C£:EO=2:1,所以C£=-a,E。=—a,

33

所以在正三角形NCD中，由余弦定理可知：

AE2=AC2+CE2-2ACCE-cosZACD

22a、2_2a172

3329

因为△8CD和A4C£＞都是正三角形，

所以ZADE=ZBDE,AD=BD,DE=DE,

所以“DE知BDE,所以BE=4E,

所以是等腰三角形，取NB中点尸，贝IJN5JLEF,

故选:D.

5.如图，AA'B'C是斜二测画法画出的水平放置的“BC的直观图，“是8C’的中点，且A'D'〃y轴，B'C'//x

轴，A'D'=2,B'C'=2,则()

B.“8C的面积为4

C.A，B'C'的面积为2

jr

D.NABC=-

3

【答案】B

【分析】根据斜二测画法确定原图形，由此判断各选项.

【解析】由图象知:BC=B'C'=2,AD=2A'D'=4,

AD1BC,。为8c的中点

所以4c=jF+J=历，A错误；

春5c的面积S=！x8CxNO=4,B正确；

2

因为NN'。。'=45°，A'D'=2,

所以"'B'C的8'C'上的高HE=A'D'sin45"=6,

“⑻。的面积S=,x2x近=/，C错误，

2

/O'1

二、多选题

6.下列关于棱柱的说法正确的是（）

A.所有的棱柱两个底面都平行

B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行

C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D.棱柱至少有五个面

【答案】ABD

【分析】根据棱柱的定义判断.

【解析】由棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻四边形的公共边互相平行的几何体

是棱柱，知A、B正确的；对于C,如棱台，有两个面互相平行，其余各个面都是四边形，但它不是棱柱，

所以C错误.三棱柱有五个面，〃棱柱有〃+2个面23）,D正确.

故选：ABD

7.下列说法错误的是（）（多选）

A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥

B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥

D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体

【答案】ABC

【解析】选项48不符合棱锥，棱台定义，所以错误；选项C,会得出棱锥的各个侧面的共顶点的角之和

是360。，构成平面图形，所以错误；选项。，可推出侧棱与底面垂直，所以正确.

【解析】选项4有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，

由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，

故N错误；

选项8,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，

而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，

因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故8错误；

选项C,当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360。时，

各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；

选项D,若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直，

又底面也是长方形，符合长方体的定义，故。正确.

故选:ABC.

【点睛】本题考查多面体的定义，以及结构特征，属于基础题.

8.如图，四边形/8CO的斜二测直观图为等腰梯形HB'C'Z）,已知H8'=2C3'=4,则（）

A.A'D'=6

B.BC=2及

C.四边形43C。的周长为6+2贬+26

D.四边形/BCD的面积为6啦

【答案】ACD

【分析】利用斜二测画法的规则，逐个求解边长，根据选项可得答案.

【解析】由已知等腰梯形中，ZD'A'B'=45°,A'B'=2C'D'=4,所以=近，

由斜二测画法得，在原图直角梯形/BCD中，AB=2CD=4,AD=2五-ZBAD=g易得8c=26,

所以四边形ABCD的周长为6+2应+2内，面积为券x2收=6&.

故选：ACD.

9.在正方体力8c0-力£。]。]中，2A[E=ED],CtF=2FD[,过E,尸的平面将正方体/BCD-44CQ1截

成两部分，则所得几何体可能是（）

A.三棱锥B.直三棱柱C.三棱台D.四棱柱

【答案】ABC

【分析】根据已知结合平面图形分别分析即可得出.

【解析】如图，连接。瓦。尸，则平面OE尸可截得三棱锥。尸，故A正确;

如图，过E作EG_LN。，过尸作尸〃_LCO,则过E,F的平面EF/7G可截得直三棱柱-OG4,故B

正确.

如图，延长2。至P,连接尸瓦尸尸，分别与力28交于MV两点，则可得平面EFN”截得三棱台

DMN-D\EF,故C正确;

因为EF将四边形4及GA分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

10.下列关于棱锥、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是.

【答案】①②

【分析】根据棱台的特征可判断①；根据四面体的定义可判断②；找反例可判断③.

【解析】对于①：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故①正确；

对于②：由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥，故②正确；

对于③：如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故③错误.

故答案为：①②.

11.设/={x|x为长方体},8={x|x为直平行六面体},c={x|x为正四棱柱},O={x|x为正六面体},

则集合4B,C,。之间的包含关系为.

【答案】DJCJAJB

【分析】先判断出四个集合中的元素关系，再根据集合包含关系定义判断即可.

【解析】在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，再其次是正四棱柱（上下底

面是正方形的长方体），最少元素的是正六面体.

故答案为：D=C=A=B

四、解答题

12.试从正方体/8CD-44GA的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，画图并用适当

的符号表示出来.

（1）只有一个面是等边三角形的三棱徘；

（2）四个面都是等边三角形的三棱锥.

【答案】（1）答案见解析

（2）答案见解析

【分析】（1）3条棱是正方体的面对角线，3条棱是正方体的棱即可，

（2）6条棱均为正方体的面对角线即可.

（1）

如图所示，三棱锥4-/片。（或三棱锥48。，三棱锥8-/8。，三棱锥C-班）G，三棱锥。-4C2,

三棱锥B「4BG，三棱锥C,-Bg,三棱锥D.-A^D答案不唯一）.

(2)

如图所示，三棱锥片-4CA（或三棱锥4-8DG答案不唯一）.

13.如图，梯形是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图.若4R平行于V轴,

【答案】5

【分析】如图，根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形的形状，求出底边边长以及高，然

后求出面积.

【解析】如图，根据直观图画法的规则，

直观图中44平行于歹轴，42=1,=原图中/。//。丫,

从而得出/DJ-OC,且40=24"=2,

22

直观图中44〃CQ,4耳=]GA=2,=原图中N8//C。，AB=-CD=2,

即四边形上底和下底边长分别为2,3,高为2,如图.

故其面积S=gx（2+3）x2=5.

考点02基本图形的位置关系

一、单选题

1.设4、4为两条不同的直线，。为一个平面，则下列命题正确的是（）

A.若直线4〃平面a,直线为〃平面a,贝必〃4

B.若直线4上有两个点到平面々的距离相等，则411a

C.直线4与平面a所成角的取值范围是（0卷）

D.若直线4,平面a,直线平面a,则4〃4

【答案】D

【分析】平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，A错误，：当直线与平面相交时，也成立，B

错误，直线与平面垂直时夹角为C错误，D正确，得到答案.

【解析】对选项A：平行于同一平面的两条直线可以相交，平行，异面，错误；

对选项B：当直线与平面相交时，也满足有两个点到平面a的距离相等，错误；

对选项C：直线与平面垂直时夹角为错误；

对选项D：垂直于同一平面的两条直线平行，正确.

故选：D

2.如果直线“u平面a,直线bu平面用，且a〃£,则a与）

A.共面B.平行

C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线

【答案】D

【分析】根据线面和面面的位置关系直接得出结论.

【解析】a//p,说明a与b无公共点，

，a与6可能平行也可能是异面直线.

故选：D.

3.已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，可能

有“两点分别在两条相交或平行直线上“，从而必要性不成立.

【解析】“这四个点中有三点在同一直线上“，则第四点不在共线三点所在的直线上，

因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内“，从而充分性成立；

“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线上，从

而必要性不成立，

所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.

故选：A.

4.在正方体/BCD—44CQ中，直线加、〃分别在平面/BCD和4阴4内，且加_L〃，则下列命题中正确

的是()

A.若用垂直于则”垂直于48B.若根垂直于48,则“不垂直于48

C.若机不垂直于48,则"垂直于N5D.若加不垂直于48,则〃不垂直于

【答案】C

【分析】根据线面垂直的判定定理及直线位置关系来判定选项即可.

【解析】AB选项，若“垂直于48,由面/8CZ)上面,面月8CZ)c面484%=48,可得加垂直于

面488圈,

即面内的所有直线均与加垂直，而〃可能垂直于Z8,也可能不垂直于月8,故A错误，B错误;

CD选项，若优不垂直于Z8,则8C,机为面内的两条相交直线，由题可知8C_L〃，阳J,〃，则〃垂

直面48CD,又4Bu面4BCD,所以〃垂直于ZB,故C正确，D错误.

故选：C

5.正方体/8C。-44GA中，E为。4中点，。是4c与8。的交点，以下命题中正确的是（）

A.8G〃平面/8B.平面ZEC

C.80_L上平面NECD.直线48与直线/E所成的角是60。

【答案】C

（分析］根据正方体的结构特征,证明BCJ/AD、判断A；证明DB、±平面AD.C判断B；证明4。，上平面AEC

判断C；求出直线48与直线ZE所成的角余弦判断D作答.

【解析】在正方体-44G。中，对角面/8G"是矩形，则8CJ/力"，直线与平面ZEC相交,

因此8G与平面4EC不平行，A错误；

平面/BCD,/Cu平面/8C。，则，/C,又BDLAC,BDcBB、=B,BD,BB、u平面BDB1,

则有平面8。用，而。qu平面8。用，有力C_L。修，同理力

于是。平面ZCD-因为平面/CQc平面NEC=/C,因此。鸟不

垂直于平面/EC,B错误;

令AB=2,E为。。中点，。是AC与8。的交点，则+

EO2=DO2+DE2=诋2+『=3,EB；=ED；+D戍=I2+(2历=9,

即EOZ+BQ?=EB；,有用。_LEO,又/司=。为，。为ZC的中点，则8014C,

/。口69=。,4。,£。匚面/1£6',因此耳。1平面/EC,C正确；

取CG中点尸，连接后£8尸，4尸，因为E为。A中点，则四边形。EF为平行四边形,

于是EFUDCIIAB,EF=DC=AB,四边形NBFE为平行四边形，即5F//ZE,

则为直线与直线4E所成的角或其补角，由选项C知，A、B=20BF=卡,AF=EB、=3,

因此cos乙4BF=4/+犷-4尸=(2@+(⑹-3;Vw，不是60。，D错误.

12A.BBF2x2。卡10

故选：C

6.如图，菱形纸片/8C。中，』4=；，。为菱形力BCD的中心，将纸片沿对角线8。折起，使得二面角

7T

A-BD-C为飞,E,尸分别为48,C。的中点，则折纸后cos/EOF=()

115

A.&B.?C.--D.0

oo

【答案】A

【分析】作出二面角Z-SO-C得平面角，设出菱形N8C。的边长，求出EF的长，利用余弦定理即可求得

答案.

【解析】如图，连接O4OC,则。Z，82OCJ_BO,

故NCOA即为二面角A-BD-C得平面角，即NCOA=1,

设/。的中点为"，连接FN,则尸加〃/C,

JT

设菱形纸片为8。中的边长为2,因为NZ=1,则为正三角形，

则。。=；8。=1℃=0/=6,

故"OC为正三角形，故AC=6,;.MF=2

2

又。/_L8O,OCJ.B。，OAflOC=O,OA,0Ccz^OAC,则8。2平面0/C,

ACu平面0/C,故8OJ.ZC,

又因为A/,E为/的中点，所以“E〃8D,所以MELMF,

又ME=、BD=1,MF=昱,故.EF=《ME,+MF?二旦,

222

故在AOE/中，OE=-AD=\,OF=-BC=\,

22

1+1-4

故cos/EOF=OE、O产-EF?=1，

2OEOF2x1x1一力

故选：A

二、多选题

7.已知直线/与平面a,/？,7,能使得a〃7的充分条件是（）

A.a1又丫[pB.

C.a//p,p//yD.I//a,l//y

【答案】BC

【分析】要使得£〃7成立，即两平面平行，则这两个平面垂直于同一条直线，或者这两个平面平行于同一

个平面，而两平面垂直于同一个平面或平行于同一个直线则不能判定这两个平面平行.

【解析1八以a〃/，两平面垂直于同一个平面可以相交，故A错;

lLa,lVy^a//y,两个平面垂直于同一条直线两平面平行，故B对.

。〃凡£〃？na〃7,两个平面平行于同一个平面两平面平行，故C对，

l//a,l//rGa//y,平行于同一个直线的两平面可以相交，故D错，

故选：BC.

8.如图所示，已知几何体48C。-44GA是正方体，则（）

A.BC〃平面44口

B.4。〃平面耳GC2

C.异面直线4。与/q所成的角为60。

D.异面直线4。与8自所成的角为90。

【答案】BC

【分析】结合线面垂直、线面平行、异面直线所成角、线线垂直等知识逐•对选项进行分析，从而确定正

确答案

【解析】对于A,由几何体是正方体可知8C/A4。，而4£）c平面4

故8c平面/4。相交，故A错误；

对于B,平面平面且/Qu平面N4DQ,

所以4。〃平面8£C8,故B正确；

对于C,AD,,阳与均为正方体面对角线，故/。尸物.〃，

三角形/四R是等边三角形，

则直线4。与/月所成的角为60。，故C正确;

对于D,A'D”CB\,

C；Dx

同理，三角形C2Q是等边三角形,

直线4。与BQ所成的角为60。，故D错误.

故选：BC.

9.如图，四棱锥S-"CD的底面N88为正方形，底面Z8C。，则下列结论中正确的有()

A.ACLSBB.N8〃平面SCD

C.S4与平面488所成角是/"8D.48与8C所成的角等于。。与SC所成的角

【答案】AB

【分析】根据空间位置关系的判定即空间角的定义直接判断各选项.

【解析】A选项，•.F8CD为正方形，.•7CJ.8。，又SD_L平面/BCD,，SZ)_L/1C,又8DcS£>=。，.：ZC工

平面SB。，.•.4C_L3B,A选项正确；

B选项，•:ABCD为正方形，；.AB//CD,又N8<z平面SCO,且CDu平面SC。，，/皮/平面SC。，B选项

正确；

C选项，QS。，底面/8C。，.^.当1与平面/8C。所成角是N网。，C选项错误；

D选项，・・•/BCD为正方形，则NB与5c所成的角90。，又SDL底面N8CD,则NSZ)C=90。，所以。C与SC

所成的角/SC。<90。，D选项错误;

故选：AB.

三、填空题

10.若平面a，平面7,平面夕_L平面7,则a与尸的位置关系是.

【答案】相交或平行

【分析】根据面面之间的位置关系即可得出答案.

【解析】解：若平面ad■平面7,平面夕，平面7,

则a与6相交或平行.

故答案为：相交或平行.

11.正四棱柱的高是底面边长的近倍，则其体对角线与侧棱所成的角的大小为—.

【答案】45。

【分析】由于正四棱柱的四条侧棱互相平行，先找到体对角线与侧棱所成的角，解三角形即得解.

【解析】如图所示，设4B=BC=x,DR=6x,所以BR=2x.

由于正四棱柱的四条侧棱互相平行，所以体对角线与侧棱所成的角为

在直角三角形瓦独中，cosNBD\D=^=?,

BD[2

因为NBDQ为锐角,所以NBD1D=45.

故答案为:450.

12.给出下列命题：

①若平面a上有3个不共线的点到平面耳的距离相等，则平面&与平面夕平行;

②若平面外的直线/上有3个点到平面。的距离相等，则直线/与平面a平行；

③若直线/上有2个点到直线机的距离相等，则直线/与直线机平行.

其中正确命题是（只填编号）.

【答案】②

【分析】对于①，考虑3个点在平面少的两侧的情况，即可判断；对于②，由题意可得3个点均在平面a同

侧，由3个点到平面a的距离相等，则直线与平面平行，即可判断；对于③，若直线/与相交，直线/上

在交点两侧的2个点到的距离也可能相等，即可判断.

【解析】对于①：这两个平面可能相交，位于平面£两侧的不共线的3个点到平面"的距离可能相等，故①

错误；

对于②：平面外的直线/上有3个点到平面a的距离相等，则3个点均在平面a同侧，由3个点到平面a的

距离相等，则直线与平面平行，故②正确；

对于③：若直线/与加相交，直线/上在交点两侧的2个点到用的距离也可能相等，所以/与根也可能相交,

故③错误.

故答案为：②.

13.已知二面角若直线直线b_L/，且直线a,6所成角的大小为60。，则二面角的

大小为.

【答案】60。或120。

【分析】作出二面角的平面角，然后利用直线夹角与二面角的平面角的关系求出二面角的大小

【解析】设点P是二面角a-/-£内的一点，过P分别作直线a力的平行线尸4P8,且尸4垂直于a于A,PB

垂直于夕于5,设平面尸交直线/于点O,连接。4,OB,由于PB1。，Iua，Iu。,

故PZL,PB±l,又PACPB=P,P4P8u平面尸/B,

故/工平面尸又。/,O8u平面P/8,故/_LO4,11OB,

所以//O8为二面角的平面角，

因为直线6所成角的大小为60。，所以乙4P8=60。或120。，

当4尸8=120。时，如图

因为4PB+4(OB=180。，所以408=60°；

当乙4P8=60。时，

如图

p

因为4P8+4O8=180。，所以403=120°;

综上,二面角a-/一6的大小为60°或120。

故答案为：60。或120。

14.如图，在正方体中，。是正方形及其内部的点构成的集合.给出下列三个结论:

@VPeQ,AtP>A]A-

②MwO,4P〃月C：

@VPeQ,4尸与8c不垂直.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【分析】（1）平面488,即可判断①；（2）利用平行四边形的性质证明线线平行，即可判断；（3）

利用线面垂直的判定证明5（，平面43GR,过％作平面45G。的平行面与平面N8CD的交线在正方形

488外，即可判断.

【解析】对于①，4/，平面/SCO,.•.VPeO,A{P>AXA,故①正确；

对于②，当P到达。点时，&P〃B、C,•.•力0//。。，48尸。。，，448是平行四边形，

：.Afl//BtC,:.AXP//Bf：,.-.3PeQ,4尸〃AC,故②正确；

对于③，V5.CISCpS.C1/1S,.-.5,C_L平面28GA

过4作平面4BCQ的平行面A.B.EF与平面ABCD的交线EF在正方形ABCD外,

.-.VPeQ,4尸与AC不垂直，故③正确.

故答案为：①②③.

四、解答题

15.如图，在直三棱柱中，AC1BC,“是棱CG上的一点.

(1)求证：BCLAM；

(2)若M,N分别是CC“/8的中点，求证：CN〃平面/MB-

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据8C_LCG，/CS8C,利用线面垂直的判定与性质即可证得结论；

(2)取工用中点。，可证得四边形CM0N为平行四边形，由线面平行的判定可证得结论.

【解析】(1)由直棱柱结构特征知：CG_L平面/8C,又8Cu平面RBC,•・.8CLCG，

QAC1BC,ACQCC,=C,ZC,CGu平面8C_L平面/CC/,

(2)取/用中点。，连接。

•••。川分别为/牛48中点，:.DNHBB、,DN=gBB\；

由直棱柱结构特征知：四边形8CG4为矩形，又M为CG中点、，；.CM//BB\,CM=；BB],

DNHCM,DN=CM,二四边形CMDN为平行四边形，CN//DW,

•••DMu平面。70平面/〃4，，。\7/平面41/4.

16.如图，在四棱锥尸-48CZ)中，四边形48co是等腰梯形，乙48c=60。，AB//CD,CB=CD=1.点、E

为棱PC的中点，点尸为棱上的一点，且48=44尸，平面尸8CJ_平面/BCD

(1)证明：AC±PB；

(2)证明：EF〃平面为。.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)由条件可证梯形中NC18C,再结合面面垂直的性质即可证明；(2)取棱中点为G,可

证明EF//AG,结合线面平行的判定定理即可证明结果.

【解析】(1)由条件易得：4)=OC=1,4£>C=120。，

则NC?=i+i-2xlxlxcosl20°=3,AC=y/3,

ZABC=120°,由余弦定理可知：AB=2,

则NZC8=90。，所以/CJ_8C.

又平面PBC±¥tSABCD,

且平面「平面ABCD=BC,

且/Cu平面ABCD,

贝IJ/CJ•平面PBC,

又P8u平面PBC,

所以/C_LP8；

(2)由(1)可知N3=2.

取棱P£)中点为G,连接我尸、EG、AG,

因为E为尸C的中点，所以EG〃£>C,且

又/尸所以/尸〃DC,S.AF=^DC,

422

所以EGM1F,且EG=ZF,所以四边形NFEG为平行四边形,

所以EF/NG.

又比过平面PAD,

且/G4平面PAD,

则EF〃平面刈。.

17.如图，在四棱锥P-/8CD中，PA1ABCD,底面Z8CZ)是菱形，PA=AB=2,NB4D=60：

⑴求证：48〃平面尸C。；

(2)求证：直线平面HC；

(3)求直线PB与平面PAD所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

⑶半

【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；

(2)根据线面垂直的判定定理证明；

(3)根据线面夹角的定理找到线面角，再根据直角三角形中求正切值.

【解析】(1)证明：因为四边形是菱形，所以AB//CD.

因为平面尸CZ),CDu平面PCZ),所以/B//平面PCD.

(2)证明：因为四边形是菱形，所以NC上80.

又因为PZ_L平面N8C。，8。匚平面”88,所以P41BD.

又因为P/n/C=Z,尸4NCu平面"C,

所以平面R4c.

(3)如图，过8作BEJ.AD,连接尸E,

因为尸/d.平面8Eu平面488,所以P41.BE.

又因为BE1AD,PA[]AD=A,

P4/Ou平面尸/。，所以8£_L平面尸49.

所以/BPE是直线PB与平面PAD所成的角.

因为48=2,48/。=60°,所以/E=l.

在RaBEP中，BE=K，PE=yjPA2+AE2=#)，

所以tanNBPE=法=叵.

PE下5

所以直线PB与平面PAD所成角的正切值是巫.

5

18.已知三棱锥。中，△5。是边长为3的正三角形，==与平面88所成角的余

(1)求证：AD1BC；

(2)求二面角Q-/C-8的平面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵迈

3

【分析】(1)取8C中点为E,连接4瓦。£,由正四面体的性质得再由线面垂直的

判定及性质证明结论；

(2)取中点为H,连接CH,BH,由正四面体的性质和二面角的定义知N8HC为所求二面角的平面角,

进而求其正弦值.

【解析】(I)如图所示，取8c中点为£,连接。为△8C。的中心，

因为△3CD是边长为3的正三角形，AB=AC=AD,则NOJ.面BCD,

又与平面8CQ所成角的余弦值为

3

所以0。二小,即力8=ZC=/Z)=3,即三棱锥是正四面体,

04~-AD-T

所以8CL4瓦8CJ.OE,又4EcDE=E,4E,DEu平面4DE,

所以8c人平面/Z)E,又ZOu平面4OE,所以4D/8C.

(2)如图所示，

取中点为H,连接CH,BH,

由(1)知：三棱锥/一88是正四面体，则4O_LB，,/£)d.C4,

所以二面角D-4C—8的平面角为N84C,

另一方面，CH=BH=—,BC=3,

2

所以由余弦定理得cosZBHC=BH-CH-BC2=1,

2BHCH3

所以sinZBHC=Jl-codNBHC=—,

3

所以二面角。-/C-8的平面角的正弦值里.

3

19.如图，在三棱锥中，△幺8和A/IBC均是边长为6的等边三角形，P是棱以上的点，〃=也”,

3

过点尸的平面a与直线W垂直，且平面aCl平面以5=/.过直线/及点C的平面月口平面Z8C=〃?.

(1)在图中画出/,写出画法(不必说明理由)；

(2)求证：/〃〃？；

（3）若直线叱与平面N8C所成角的大小为曾，求平面尸与平面/8C所成的锐二面角的大小.

【答案】（1）作图与画法见解析；

（2）证明见解析；

【分析】（1）在，5上取点N,使=过点P,N画直线即得直线/.

3

（2）利用线面平行的判定、性质推理作答.

（3）作出平面力与平面/8C所成的锐二面角，借助线面角及余弦定理求解作答.

【解析】（1）在冲上取点N,使过点尸,N画直线/W,则直线RV即为直线/.

3

取叱的中点。，连结力。，BQ,因为和A/18C均为等边三角形，

则以=ZC,VB=BC,即有-C_L4。，VCA.BQ,而4。口8。=u平面/3。，

于是“C_L平面48。，又叱，平面a,因此平面a//平面Z8。，

而平面afl平面以8=/,平面ZBOn平面以8=/8,从而1//AB,*，即3"=乎8，，

所以直线PN即为直线/.

（2）由（1）知，IHAB,而48u平面ABC,/a平面A8C,于是///平面N8C,

因为/u平面广，平面月D平面N5C=/n,

所以/〃%.

（3）取48的中点为D,连接以）n/W=E,连接CRCE,

因为和。8c均为等边三角形，即幺=片8=ZC=8C=6,有Z8J.FD,ABLCD,

而以加。=。,肛8<=平面次7。，于是48上平面MCD,N8u平面/8C,

则平面/8C上平面,在平面-CD中，过忆作于O,

因为平面/8CC平面四第=CD,因此9_L平面/8C,

则/是直线W与平面N8C所成的角，即N-CD=q,又VD=CD=36

TT

从而/以）C=7t-2NUC£>=一，由（2）知，mill,又l"AB,即有加〃则有机，平面政⑦，

6

而CACEu平面几刀，则机，8,机1CE,即NEQ）为平面夕与平面/8C所成的锐二面角的平面角,

由（1）知，竺=丝=巫，有°E=3,在ACZ）E中，由余弦定理得：

VDVA3

CE=y/CD2+DE2-2CD-DEcosZCDE=^（3+32-2x33x*3，

显然CE=OE,即ZDCE=N以）C=巴，

6

所以平面仅与平面NBC所成的锐二面角的大小为

6

考点03空间图形的表面积和体积

一、单选题

1.已知球的半径是2,则该球的表面积是（）

A.271B.4兀C.8%D.16兀

【答案】D

【分析】利用球的表面积公式计算即可.

【解析】S=4nR2=4TTX22=167t,

故选：D.

2.已知某圆锥的母线长为4,底面圆的半径为2,则圆锥的全面积为（）

A.10兀B.12兀C.1471D.16TI

【答案】B

【分析】由圆锥的表面积公式可求得该圆锥的全面积.

【解析】因为圆锥的母线长为4,底面圆的半径为2,则该圆锥的全面积为兀x2?+兀x2x4=12限

故选：B.

3.棱长为2的正方体N8CD-4耳GA的外接球的球心为。，则四棱锥。-48C。的体积为（）

248

A.-B.C.2D.—

333

【答案】B

【分析】求出。到平面N8CZ）的距离，利用体积公式进行求解.

【解析】正方体/8CD-44GA的外接球的球心为O,由对称性可知。为正方体的中心，

O到平面N8C。的距离为1,即四棱锥O-45CD的高为1,而底面积为2x2=4,

14

所以四棱锥048。的体积为：x4xl=；.

故选：B

4.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60。，底面圆的半径为8,则圆锥的侧面积为（）

A.3847tB.3927tC.398兀D.404兀

【答案】A

【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.

【解析】设圆锥的半径为r,母线长为/,则/■=&,

由题意知，2口=?,解得：7=48,

所以圆锥的侧面积为兀”=8x48;t=384兀.

故选：A.

5.已知“8c是边长为3的等边三角形，其顶点都在球。的球面上，若球O的体积3为2乃芍，则球心。到

平面N8C的距离为（）

A.73B.-C.1D.走

22

【答案】C

【分析】设“8C的中心为。-求得。/=百，再根据球O的体积为等，求得半径，然后利用球的截面

性质求解.

【解析】解：如图所示:

因为是边长为3的等边三角形，且“8c的中心为。一

所以。产=6，

又因为球。的体积为32学乃，

42,

所以P乃/二—乃，

33

解得r=2,即0B=2,

所以oq=^OB--O}B-=1,

即球心0到平面ABC的距离为1,

故选：C

6.如图，直角梯形/8co中，AB=3CD,ZABC=301,BC=4,梯形N8CD绕所在直线旋转一周,

所得几何体的外接球的表面积为（）

C.1287rD.2087t

【答案】D

【分析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，可知外接球的球心一定在线段/。或，。的延长线上.

取圆台的轴截面，分情况讨论，作图，分别根据几何关系求出球的半径，即可得出答案.

【解析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台.

取圆台的轴截面

由题意知，球心。一定在线段/。或/。的延长线上

图1

如图1,当球心。在线段力。上时.

过点C作CE//8于E点，则CE=8Csin30°=2，8E=8Ccos30°=，

所以。=0，AB=36

设球的半径为&,OA=x(0<x<2),0D=2-x,

R2^OD2+CD2J??=(2-xJ+3

则由勾股定理可得,即

R2=OA2+AB2R2=x、27

整理可得x+5=0,解得x=-5（舍去）；

o

图2

如图2,当球心。在。/的延长线上时.

过点C作CE工于£点，则CE=8Csin30°=2，8E=BCcos30=26，

所以8=6，AB=36

设球的半径为R,OA=x(x>0),贝iJOD=x+2,

]/?2=OD2+CD27?2=(2+X)2+3

则由勾股定理可得,即

222

[/?=OA+ABR2=X2+27

整理可得x-5=0,解得x=5.

所以，R2=72+3=52.

所以，圆台外接球的表面积为4兀斤=208兀.

故选：D.

二、多选题

7.圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（）

A.87tcam3八B.8-cm3

7T

1634

C.—cmD.—cm'3

71Tl

【答案】BD

【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm,高为

2cm的和圆柱的底面周长为2cm,高为4cm,两种情况分别由体积公式即可求解.

【解析】••,侧面展开图是长4cm,宽2cm的矩形，

若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径H=-cm,h=2cm,

7T

o

此时圆柱的体积展"R%=-cn?

n

若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径A='cm,〃=4cm,

7T

此时圆柱的体积展/h=-cm3

7C

故选：BD

8.正三棱锥底面边长为3,侧棱长为26，则下列叙述正确的是（）

A.正三棱锥高为3B.正三棱锥的斜高为叵

2

C.正三棱锥的体积为乙由D.正三棱锥的侧面积为返

44

【答案】ABD

【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的

正误.

p

设E为等边三角形/O