高考数学解题技巧 教师版

更多逆袭资料，关注公众号：高中领域目录第一讲函数相关技巧一、技巧知识点二、技巧训练技巧1分式函数求值域技巧2口算奇偶性求参数技巧3形如f(x)=奇函数+常数第二讲平面向量一、技巧知识点二、技巧训练技巧1奔驰定理技巧2三角形的四心技巧3极化恒等式解三角形一、技巧知识点二、技巧训练技巧一三角形的射影定理技巧2三角形的中线定理技巧3角平分线的定理数列一、技巧知识点二、技巧训练技巧1等比数列前n项和规律技巧2单一条件口算结果技巧3公式法口算通项技巧4错位相减法口算结果技巧5斐波那数列第五讲焦点三角形一、技巧知识点二、技巧训练技巧1焦点三角形的周长技巧2焦点三角形的面积技巧3焦点三角形的离心率第六讲离心率一、技巧知识点二、技巧训练技巧1焦点三角形中的离心率技巧2点差法中的离心率技巧3渐近线与离心率技巧4焦点弦与离心率第七讲点差法一、技巧知识点二、技巧训练技巧1点差法在椭圆在的应用技巧2点差法在双曲线在的应用技巧3点差法在抛物线在的应用更多逆袭资料，关注公众号：高中领域外接球与内切球一、技巧知识点二、技巧训练技巧1外接球之墙角模型技巧2外接球之汉堡模型技巧3外接球之斗笠模型技巧4外接球之折叠模型技巧5外接球之切瓜模型技巧6外接球之麻花模型技巧7外接球之矩形模型技巧8内切球半径第九讲法向量秒求一、技巧知识点二、技巧训练第十讲导数一、技巧知识点二、技巧训练技巧1常见的函数构造技巧2秒杀解导函数不等式第十讲不等式一、技巧知识点二、技巧训练技巧1配凑法技巧2分类常数法技巧3对勾函数第十一讲小专题技巧大集合一、技巧知识点二、技巧训练技巧1集合点元素技巧2特征与全称量词技巧3穿根引线解不等式技巧4复数的几何意义几何化函数相关技巧一、技巧知识点分式函数求值域分子分母为同类型函数（一）注意事项求值域前先求定义域，如果给出区间则不用求定义域几个极限值（二）模式二.奇偶性常见函数的奇偶性（前提定义域关于原点对称）

有对称轴函数解不等式或比较大小比较的是两个自变量与对称轴距离的远近当函数的对称轴为x=a，则f(x1)>f(x2)当函数的先增后减时，当函数的先减后增时，奇偶性的运算同性相加减的同性，异性相加减为非奇非偶同性乘除为偶函数，异性乘除为奇函数函数模型为f(x)=g(x)+k，其中g(x)为奇函数，所给区间要关于原点对称f(x)+f(-x)=2k推导：f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2kf(x)max+f(x)min=2k推导:f(x)max+f(x)min=g(x)max+k+g(x)min+k=2k(奇函数的最大值与最小值成相反数）如何找kf(0)=k推导:f(0)=g(0)+k=k二、技巧训练技巧1分式函数求值域【例1】（1）（2020山西省太原市实验中学）已知函数的取值范围（2）（2020湖南省长沙市第一中学）函数的值域为。【解析】，则其值域【，】（2）【常规法】分离常数由已知:,.【技巧法】t=x2,t≥0，则函数y=f(x)=t−1t+1,f(0)=-1,f(∞)=1(取不到，开区间），

变式1．（2019上海市普陀区曹杨第二中学函数），的值域是______【技巧法】f(0)=32,f(2)=74【常规法】,因为,故，故变式2．（2020广东省东莞市北师大东莞石竹附属学校）函数的值域是【技巧法】t=x2,t≥0，则y=f(x)=−t+2t+2,f(0)=1,f(∞)=-1(取不到，开区间），即∈，【常规法】，，则，，即函数的值域是，变式3.（2020陕西省西安市高新一中）函数的值域为_____【技巧法】的定义域为，则y≠f(−1)=4【常规法】由题.因为的值域为,故的值域为,故的值域为，技巧2口算奇偶性求参数【例2】（1）若函数是偶函数，则实数（）A． B．0 C．1 D．（2）已知是奇函数，且实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】（1）【技巧法】因为函数为偶函数，正弦为奇函数，所以对数为奇函数，根据常见函数可知【常规法】因为是偶函数，是奇函数，所以是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以，选C.（2）因为是定义域为的奇函数，所以，可得，此时，易知在上为减函数.又因为，所以，所以.选D.变式1．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（理））已知函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【技巧法】根据常见奇偶性函数可知f(x)为偶函数，根据对勾函数已知二次函数可知x>0函数为单调递增，则x<0函数为单调递减，，即，解得，选D.【常规法】设，由，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以为偶函数.由可知，，即，解得，选D.

变式2．（2020·河北桃城·衡水中学高三其他（文））若函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【技巧法】根据常见函数可知f(x)为奇函数求为单调递增则可化为所以原不等式等价于不等式.①当时，可化为，所以；②当时，可化为，所以.综上，原不等式的解集为.【常规法】因为函数的定义域为，且满足，所以为上的奇函数，则可化为，因为恒成立，所以为上的增函数.所以原不等式等价于不等式.①当时，可化为，所以；②当时，可化为，所以.综上，原不等式的解集为.选A.变式3．（2020·河南罗山·高三月考（理））已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】由题意是偶函数，且在上单调递增，∴不等式可变为，∴，解得．选B．技巧3形如f(x)=奇函数+常数【例3】（1）（2020·河南平顶山·高三月考（文））已知函数，若，则（） B． C．1 D．2（2）（2019秋•市中区校级月考）已知，，，若的最大值为，的最小值为，则等于A．0 B．2 C． D．（3）（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））已知函数，则（）A．2019 B．2020 C．4038 D．4040【解析】（1）因为是奇函数，∴.选C（2）函数为奇函数，，即，即．选（3）所以.选C变式1．（2019秋•椒江区校级期中）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于A．2 B．4 C． D．【解析】设，则是奇函数的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为，选

变式2．（2021·宁夏银川二十四中高三月考）若，且，则（）A． B． C． D．【解析】设，则，所以，则，所以.选B.变式3．已知函数f（x）=In（x+）+1，若实数a满足f（-a）=2，则f（a）等于（）A．1 B．0 C． D．【解析】∵函数f（x）=In（x+）+1，实数a满足f（-a）=2，∴，∴，∴=-1+1=0．选B．变式4．已知函数，则（）A．2019 B．2020 C．4038 D．4040【解析】，令，则，所以为奇函数，所以关于坐标原点对称，则关于成中心对称，则，，选C变式5．已知函数，则（）A．2 B．0 C． D．【解析】设则所以，即为奇函数，所以所以．选D巩固1．（2019江苏省盐城市）函数的值域为______．【技巧法】t=x2,t≥0则f(t)=3t+2018t+1,f(0)=2018,f(∞巩固2．函数的值域是______．【技巧法】【常规法】由题知因为,所以，所以,则，因此巩固3．（2020黑龙江省哈尔滨师范大学附中）函数的值域为________.【技巧法】令，则故【常规法】令，则，故由于，∴，∴，即函数的值域为巩固4．（2020·江西省信丰中学高三月考（文））已知函数，且，则函数的值是A． B． C． D．【技巧法】，令，得，解得，【常规法】，令，其中，所以函数为奇函数，即，可得，令，得，解得巩固5．（2020·山西大同·高三月考（文））设函数的最大值为5，则的最小值为【技巧法】f(x)max+f(X)min=6,则f(x)的最小值为1【常规法】由题可知，，设，其定义域为，又，即，由于，即，所以是奇函数，而，由题可知，函数的最大值为5，则函数的最大值为：5-3=2，由于是奇函数，得的最小值为-2，所以的最小值为：-2+3=1..巩固6（2020·广东霞山·湛江二十一中高三月考）已知函数的最大值为M，最小值为m，则【技巧法】f(x)max+f(X)min=4【常规法】设，因为，所以为奇函数，则的最大值为，最小值为，由奇函数对称性知，两者相加为0，即，∴.巩固7．（2019·杏花岭·山西实验中学高三月考）已知函数，其中为函数的导数，则【解析】令，则有因为的定义域是R，所以是奇函数，所以是偶函数所以，所以选A巩固8．（2019·山东任城·济宁一中高三月考）设函数，若，.【解析】因为，所以因此函数为奇函数，又，所以巩固9．（2019·湖南娄底·高三期末（文））已知函数，其导函数为，则的值为.【解析】函数，，，.巩固10．（2019秋•渝中区校级月考）已知，则在区间，上的最大值最小值之和为.【技巧法】f(0)=1,则最大值和最小值的和为2【常规法】由令，可得是奇函数，可得区间，上的最大值最小值之和为0．那么在区间，上的最大值为，最小值为；在区间，上的最大值最小值之和为2．．巩固11（2020秋•广东月考）已知函数在，上的最大值为，最小值为，则）【技巧法】所给区间不管原点对称需要换元，令t=x-1,则t∈f(t)=(t2-1)sint+t+1t,f(0)=1,则f(x)的最大和最小值为2k【常规法】由令，，上，可得，；那么转化为由于是奇函数可得，，的最大值与最小值之和为0，那么的最大值与最小值之和为2．．巩固12．（2019秋•宁波期中）已知函数的最大值为，最小值为，则【解析】，令，则，即为奇函数，图象关于原点对称，，，，且，，则．巩固13．（2020·陕西西安·高三月考（理））已知：，：函数为奇函数，则是成立的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【技巧法】根据常见函数可知【常规法】当时，，即有，故有即为奇函数：当为奇函数时，有，即，有：∴综上，知：，选C

巩固14．设函数，则使得成立的的取值范围是【解析】，所以，为上的偶函数又，当时，，故在上为增函数因，由得到故，或巩固15．已知函数是奇函数，则的值等于【技巧法】可知当时，函数的解析式为：，当时，函数的解析式为：，综上可得：的值等于或3【常规法】函数为奇函数，则：，即：恒成立整理可得：，即恒成立，当时，函数的解析式为：，当时，函数的解析式为：，综上可得：的值等于或3

巩固16．若函数为奇函数,则=【解析】由函数f（x）为奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴=∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）∴（4a﹣3）x2=0∴4a﹣3=0即a=巩固17.若函数是奇函数，则【解析】技巧法:由常见函数可知a=0【常规法】由得，∴，∴巩固18.已知函数为偶函数，则【技巧法】由常见函数可知所以【常规法】由题意，函数为偶函数，又由函数为奇函数所以函数为奇函数，则，得所以，得，所以

第二讲平面向量一、技巧知识点一：奔驰定理1：奔驰定理内容三角形的面积比等于其所对应的系数比已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：2.推导过程证明方法一：如图延长与边相交于点则推论是内的一点，且，则二.极化恒等式2.推导过程：三角形的四心1.推论重心：中线的交点，①是的重心②中线长度分成2：1③=内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等是的内心②外心：①是的外心②垂心：高线的交点，高线与对应边垂直①是的垂心:证明：如图为三角形的垂心，同理得，②由，得，即，所以．同理可证，．二、技巧训练技巧1奔驰定理【例1】是内一点，满足，则（）A． B． C． D．【技巧法】公共点P，三角形ABC，则【常规法】是内一点，且满足，延长到，使得，延长到，使得连结、、，则是的重心，设，则，，．选技巧法注意事项技巧法注意事项条件一般是3个同起点的向量相加减且等于零向量，若系数有正有负则公共点在三角形外，系数都为正则公共点在三角形内三角形所对应的向量的找法图像法：三角形顶上的向量顶点法：公共点即起点，剩余3点构成三角形的三个顶点，对应的向量两个点其中一个点为公共点，另外一点则是三角形的顶点。变式1.已知所在平面内一点，满足，则与的面积的比值为（）A． B． C． D．【技巧法】,所以,即公共点为P，三角形ABC，则所对应的向量，其系数为2，为整个三角形，其所对应的系数为三个向量的系数,6，所以面积比为【常规法】如图所示,,所以,即,所以,设和的中点分别为,则由可得,即,即点是的中位线上靠近点的三等分点,所以,选:C变式2.（广东省深圳外国语学校2020）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（）A．3 B．2 C． D．【技巧法】公共点为A，三角形为PCB，则与对应的向量为，则与的面积之比为【常规法】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：由，故，所以与的面积之比为，选D．变式3.已知点O是内一点，满足，，则实数m为（）A．2 B．-2 C．4 D．-4【技巧法】，【常规法】由得：设，则，三点共线如下图所示：与反向共线本题正确选项：

技巧2三角形的四心【例1】点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心．【解析】，即同理可得：，点为的垂心本题正确结果：垂【例2】在中，设，则动点M的轨迹必通过的（）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心【解析】设为中点，则，为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项：变式1.（河北省保定市）过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心【解析】本题采用特殊位置法较为简单.因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.如图：则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点是的重心，选B.变式2．（辽宁朝阳柳城高中）设点P是△ABC所在平面内一点，，则点P是△ABCA．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】由于点P是△ABC所在平面内一点，同理可知,则说明点P是三角形ACB的垂心，选D.变式3．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若，则点O是三角形ABC的______心．【解析】由可得点到三角形各顶点的距离相等，所以点是三角形的外心故答案为外心.变式4．设是平面内一定点，为平面内一动点，若，则为的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【解析】若可得，即为即有，则，故O为的外心，选B.

技巧3极化恒等式【例3】（1）（2020福建省南平市）在中，若，边上中线长为3，则（）A．-7 B．7 C．-28 D．28（2）（2020届河南省八市重点高中联盟领军）在中，，点在上，且，若，则的值是（）A． B． C． D．【解析】（1）在中，设的中点为，则.由题意知：.则选A.（2）如图，设的中点为.因为.因为，所以.又因为，所以，，所以.选A.

变式1.（2018•天津）如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为A． B． C． D．3【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点做轴，过点做轴，，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，当时，取得最小值为，选．变式2.已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是【解析】则A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），设P（x，y），则=（﹣x，2﹣y），=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），所以•（+）=﹣x•（﹣2x）+（2﹣y）•（﹣2y）=2x2﹣4y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣3]所以当x=0，y=时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6变式3．已知等边△ABC内接于圆：x2+y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是【解析】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，则当，即时等号成立

巩固1．（2020上海市控江中学）点在△内部，且满足，则△的面积与△、△面积之和的比为________【技巧法】由奔驰定理可得【常规法】作，则，以为邻边作平行四边形，连接，交于，如图所示：，根据与相似得：，，，，的面积与、面积之和的比为巩固2．已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．【解析】由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.∴巩固3．（2020届山西省太原市第五中学校）设点在的外部，且，则。【技巧法】有奔驰定理可得3:1【常规法】连接并延长至，满足，连接并延长至，满足，连接并延长至，满足，如图所示.所以可得，，.因为，所以，即为的重心，所以可得，因为，所以而所以，同理，，所以，所以.巩固4．(2020·哈尔滨三模)已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为。【解析】设AC、BC边的中点为E、F，则由，得∴点O在中位线EF上，∵△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，∴点O为EF上靠近E的三等分点，∴λ＝巩固5．设点是的重心，且满足，则【解析】因为点是的重心，所以,因为,由正弦定理可得,所以,即,故,则,则由余弦定理可得.

巩固6．若在△中,，其外接圆圆心满足，则__________.【解析】由，得为△的重心，又为外接圆圆心，所以可得△为等边三角形，故.巩固7．已知是锐角的外心，．若，则实数______．【解析】设外接圆的半径为，∵，∴∵，，∴即，即故，故，故巩固8．（2020湖北省重点高中联考协作）已知是平面上一定点，满足，，，则的轨迹一定通过的（外心 、垂心、重心、内心）【技巧法】由四心可知为垂心【常规法】，，即，，，，∴与垂直，即，点P在BC的高线上，即P的轨迹过的垂心.选B巩固9．已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的（填三角形的四心）【解析】由题：，所以O是外接圆的圆心，取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N是三角形三条中线交点，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.巩固10．（2020河南省八市重点高中联盟）已知是半径为1的圆的一条直径，点是圆上一动点，则的最大值等于。【解析】，当为圆直径时取等号，巩固11．（2020届江苏省无锡市）正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.【解析】由题可得：，

巩固12．（2020届江苏省苏州市张家港市）已知正方形的边长为4，是的中点，动点在正方形的内部或其边界移动，并且满足，则的最小值是______．【解析】如图所示，由，则动点在以为直径的半圆上，取的中点所以又动点在以为直径的半圆上，设圆心为，半径为1.所以的最小值为，所以．巩固13．如图所示，在中，，则的最小值是__________【解析】.设,易得，故,因为,.故当且仅当反向时取得最小值,为

巩固14．（2020届浙江省湖州市）正方形的边长为2，，分别为，的中点，点是以为圆心，为半径的圆上的动点，点在正方形的边上运动，则PM∙PN的最小值是______.【解析】易得,,当且仅当同向时取等号.即考虑的最小值即可.当与重合时,.当与不重合时，设夹角为,由图易得当在上时取最小值为,当在时,取最大值为,故,利用向量模长不等式有,且两次“”不能同时取“=”.故此时.综上所述,的最小值是

解三角形一、技巧知识点射影内容中线定理1.中线定理推导由2AD=AB+AC得24AD2=AB2+AC2+2AB∙AC=|AB|22.三角形面积由2AD=AB+AC得24AD2=AB2+AC2+2AB∙AC=|AB|2≥2bc+2bccosA=2bc（1+cosAbc≤2|AD|2S◮ABCmax=12bcsin3.三角形的周长角平分线定理角平分线上的点到两边的距离相等三角形一个角的角平分线,这个角平分线其对边所成两条线段与这个角两邻边成比例即二、技巧训练技巧一三角形的射影定理【例1】（2017•新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，，若，则．【技巧法】由射影定理可得，，，故答案为：【常规法】，由正弦定理可得，，，，，变式1.（2020•青岛模拟）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，且，则B=【技巧法】由射影定理可得，因为，则．【常规法】因为，由正弦定理可得，，因为，所以，所以，因为，则．变式2（2020•安徽模拟）在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为。【技巧法】由射影定理可得，，得．，解得．则的面积．【常规法】，，，即，，解得，，解得．，解得，则的面积．变式3（2020•南充模拟）的内角，，的对边分别为，，，若，则内角C=。【技巧法】由射影定理可得故，又，所以．【常规法】由正弦定理得：，即，即，由于，故，又，所以技巧2三角形的中线定理【例2】（2020·梅河口市第五中学高三（理））在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为__________．【技巧法】【常规法】在△ABC中，，BC边上的中线AD=3，，设AB＝c，AC＝b平方可得9＝化简可得，，∴bc≤36，当且仅当时成立故△ABC的面积S＝变式1．（2020·广东高三月考（理））在中，，已知BC边上的中线，则面积的最大值为______【技巧法】【常规法】中，，边上的中线长为3，设，平方可得：化简可得，可得：，故的面积

变式2．（2020·全国）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，向量，，且.（1）求角；（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小.【解析】（1）因为，，，所以，由正弦定理得.因为，所以，所以，因为，所以；（2）因为的面积为，所以，因为，，所以.在中，为的中点，，由余弦定理得.所以.技巧3角平分线的定理【例3】（2020·梅河口市第五中学）已知中，．是的角平分线，交于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的长．【解析】（Ⅰ）在中，，在中，因为是的角平分线，所以（Ⅱ）法一：由题知，所以，所以法二：所以变式1．（2019·江苏）在中，，，角A的角平分线，则______.【解析】由题意，，，角的角平分线，在中，由正弦定理：，可得，则，所以，那么，则，所以．在中，由正弦定理：，所以.可得

变式2．（2020·梅河口市第五中学高一期末（文））已知中，是的角平分线，交于.（1）求的值；（2）若，求.【解析】（1）在中，在中，，因为是的角平分线，所以（2）设，则，所以，所以，所以变式3．在中，，，为的内角平分线，.（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求角的大小【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得：在三角形ACD中,由正弦定理得：因为（Ⅱ）在三角形ABD中,由余弦定理得在三角形ACD中,由余弦定理得又解得，又巩固1.（2020春•上饶月考）在中，角，，的对边分别是，，，且面积为，若，，则角等于【技巧法】由射影定理可得所以，故，，，，故，则角．【常规法】因为，由正弦定理可得，，即，因为，所以，故，，，，故，则角．巩固2.（2020春•路南区校级月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．若，的面积为，则b+c=【技巧法】由射影定理可得所以即，所以，，所以，因为，由余弦定理可得，，故．【常规法】因为．由正弦定理可得，．因为，所以即，所以，，所以，因为，由余弦定理可得，，故．巩固3．（2019·福建高三（理））已知为等腰三角形，，边上的中线的长为7，则的面积为__________．【分析】先设等腰三角形的腰长为，进而可得底边的长，再由余弦定理列出方程，即可求出，从而可得结果.【解析】设等腰三角形的腰长为，因为，所以，由余弦定理可得：，，因为与互补，所以，即，解得，所以，所以巩固4．已知三角形两边长分别为和，第三边上的中线长为，则三角形的外接圆半径为________.【分析】设AB=1，AC=，AD=1，D为BC边的中点，BC=2x，则BD=DC=x，由余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC通过cos∠ADB=﹣cos∠ADC，代入可求BC，则A=90°，外接圆的直径2R=BC，从而可求结果．【解析】设AB=1，AC=，AD=1，D为BC边的中点，BC=2x，则BD=DC=x△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC=因为cos∠ADB=﹣cos∠ADC所以=﹣∴x=1∴BC=2∴AB2+AC2=BC2即A=90°∴外接圆的直径2R=BC=2，从而可得R=1

巩固5．（2020·浙江省杭州第二中学高三）中，，，，则边上的中线长_______.【解析】设，，，由余弦定理得：，所以，或（舍去），在中，，由余弦定理得：，所以.故答案为：.巩固6．在中，，．边上的中线，则_____．【技巧法】【常规法】设，中，，中，，,，解得：，，中，,，巩固7．（2020·新疆高三月考（理））在中，已知,，BC边上的中线，则________．【解析】如图所示，由中线长定理可得：，由余弦定理得到：，即．联立成方程组，解得：，故由，可得．巩固8．（2019·浙江）若锐角的面积为，则边上的中线为_________．【技巧法】锐角的面积为，，，则：，解得：，所以：，所以：，解得：．根据中线定理可得

【常规法】锐角的面积为，，，则，解得：，所以：，所以：，解得：．在中，利用余弦定理：，在中，利用余弦定理：得：，解得：巩固9．（2019·辽宁高三（理））已知△，，，是边上的中线，且，则的长为__________．【解析】取AB中点E，因为D为BC中点，所以,由余弦定理得，即巩固10．在中，角的平分线长，角，，则__________．【解析】设角B的平分线为，由正弦定理得，即，得，，，巩固11．中，，，的角平分线，则________.【解析】由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因为，所以．所以所以＝，所以巩固12．（2020·全国）在中，，的角平分线交于点，若，，则______.【解析】在△ABC中，由余弦定理得.所以.所以.在△ABD中，由正弦定理得.故答案为：.巩固13．（2020·安徽高三月考（理））在中，已知，，，角的平分线交边于，则______.【解析】作出图形，如下图，分别过点和点作的垂线，垂足为，因为为角的平分线，，所以，则，，则，又，所以，即

数列一、技巧知识点等比数列前n项和规律二．单一条件口算结果实质考查等比或等差中项1.无论是等差还是等比数列，如果只知道一个条件是取法确定具体的数列，那么可以处理为非0的常数数列，因为非0的常数数列即是等差也是等比数列。（常数数列：每一项都是相同的）三．公式法口算通项an=Sn-Sn-1(n≥2)四．口算错位相减法的结果五．斐波那数列黄金分割数列数列特点：0112358132134...三个数据为一组，第一数据为偶数，第二、三个数据为奇数二、技巧训练技巧1等比数列前n项和规律【例1】（2020·福建省厦门第六中学）已知等比数列的前项和（为常数），则（）A． B． C．1 D．2【技巧法】【常规法】∵等比数列的前项和（为常数），∴，，成等比数列，∴，解得或∵时，是常数，不成立，故舍去.选C变式1．（2020·安徽含山（理））已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．﹣9【技巧法】Sn＝3nx9+3t,3t+9=0,t＝﹣3【常规法】因为等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则a1＝S1＝33+3t＝27+3t，a2＝S2﹣S1＝（34+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，则有（27+3t）×162＝542，解得t＝﹣3，选C.变式2．（2020·安徽屯溪一中）已知等比数列的前项和为，则的值为()A． B． C． D．【技巧法】【常规法】，，，选C.技巧2单一条件口算结果【例1】（1）（2020·宁夏高三其他（文））为等差数列的前项和，若，则（）.A．-1 B．0 C．1 D．2（2）（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知各项为正数的等比数列满足﹐则的值为（）A． B． C． D．【解析】（1）技巧法：【常规法】因为，所以，选B.技巧法：由等比中项的性质可得，【常规法】已知各项为正数的等比数列满足，由等比中项的性质可得，，由对数的运算性质可得，选D.【例2】（2020·河南）已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A． B． C． D．【技巧法】【常规法】因为等差数列，的前项和分别为和，且，所以可设，，所以，，所以选A变式1．设是等差数列的前项和,若,则A． B． C． D．【解析】，，选A.变式2．（2020·广东云浮·）在正项等比数列中，若，则（）．A．5 B．6 C．10 D．11【技巧法】【常规法】因为，且为等比数列，所以，所以.选D.变式3．（2020·浙江宁波）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（）A． B． C． D．【解析】由等差中项的性质可得，，由等比中项性质得，，.选C.变式4．已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（）A． B． C． D．2【技巧法】【常规法】根据等差数列的性质可得，设，，则，，所以，选D.技巧3公式法口算通项【例3】（2020·南京市秦淮中学高三其他）已知数列的前项和，则数列的通项公式为______．【技巧法】【常规法】当时，，当时，，又适合上式，所以变式1．（2020·湖南湘潭·高考模拟（文））已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．【技巧法】【常规法】由题意，可知当时，；当时，.又因为不满足，所以.变式2．（2020·山西大同·高三一模（文））已知为数列的前项和，若，则数列的通项公式为___________.【解析】【常规法】为数列的前项和，①时，②①②，得：，数列的通项公式为.

技巧4错位相减法口算结果【例4】（2020·江西东湖·南昌二中高三其他（文））已知数列的前项和为，点，在函数的图象上，数列满足，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解析】（2）数列满足，整理得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，故．①，②，①②得：，整理得．【常规法】（1）数列的前项和为，点，在函数的图象上，所以，①当时，，当时，，②，①②得（首项符合通项）．故．（2）数列满足，整理得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，故．①，②，①②得：，整理得．变式1．（2020·河南高三其他（文））已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）如果数列，求数列的前项和．【解析】（1）数列的前项和为，且①．所以：②②①得：．（用技巧法口算结果，减少计算量）（2）数列，所以，所以①，②①②得：，整理得：．（用技巧法口算结果，减少计算量）变式2．（2019·甘肃天水·高考模拟（文））在正项等比数列{}中，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．【解析】（1）设正项等比数列{an}的公比为(，∵∴，所以∴q＝2，(舍去)所以；（2）∵，∴，①，②①﹣②得＝，∴.（用技巧法口算结果，减少计算量）.技巧5斐波那数列【例5】（2020·吉林前郭尔罗斯县第五中学）“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若，则（）A． B． C． D．【解析】【常规法】因为数列为“斐波那契”数列，所以，，所以，，，，，将以上2017个等式相加可得，，即，所以，所以所以.选C.变式1．（2020·河北高三月考）数列、、、、、、、、、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前项中，偶数的个数为（）A． B． C． D．【解析】由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第项为偶数，由于，所以前项中偶数的个数为．选B.变式2．（2019·福建高三（理））斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”.如图，矩形是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分.在矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【解析】由图可知各正方形的边长为：1，1，2，3，5，8，矩形的面积为：阴影部分面积为：所求概率为：，选B

巩固1．（2020·湖北黄州·黄冈中学高三其他（理））已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A． B． C． D．【解析】由等差数列的性质可得，.选B.巩固2．（2020·甘肃高三其他（文））已知等比数列的前项和为，则a=（）A．0 B． C． D．1【解析】因为，所以，，，，求得.选C．巩固3．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末（理））斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【解析】因为矩形的边长为和5，故矩形面积；又阴影部分的面积为；故在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.选D.

巩固4．（2020·安徽高三月考（理））裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足：，，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是（）A． B． C． D．【解析】裴波那契数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，观察发现前12项中，第4项，第8项，第12项都能被3整除.以此类推前40项中，第4项，第8项，第12项，第16项，第20项，第24项，第28项，第32项，第36项，第40项，共10项，能被3整除.所以能被3整除的概率为.选A巩固5．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：，，，，，，，，，，，……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A． B． C． D．【解析】数列第1个，第2个为奇数，故第3个为偶数，第4个，第5个为奇数，第6个为偶数.根据规律：共有偶数个，故.选.巩固6．（2020·江西高三（文））意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（）A． B． C． D．【解析】由题意可得，该数列依次每3项中，有2项是奇数，另外1项是偶数所以前120项中有80项是奇数所以这个数是奇数的概率为选B巩固7．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）设数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，若，则（）A． B． C． D．【解析】数列，均为等差数列，它们的前项和分别为，，，选巩固8．（2020·合肥一六八中学高三其他（理））已知数列为等差数列，且满足，则数列的前11项和为（）A．40 B．45 C．50 D．55【解析】因为数列为等差数列，故等价于，故可得，又根据等差数列前项和性质.选D.巩固9．两等差数列，的前n项和分别为，，且，则A． B． C． D．2【解析】由等差数列的前项和，依题意有，所以，所以，选C.巩固10．(多选）（2020·福建省永泰县第一中学高三月考）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（）A．B．且C．D．【解析】斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然，，，，，所以且，即B满足条件；由，所以所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，令，则，所以，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；即C满足条件；选BC巩固11．（2020·福建漳州·高三其他（文））若是等差数列的前项和，且，则__________.【解析】因为，所以，解得巩固12．（2020·陕西渭南·（理））已知数列{an}的前n项和Sn=n(n+1)+2,其中,则an=_____.【解析】当n=1时，S1=a1=4，当n≥2时，由Sn=n(n+1)+2，①得Sn﹣1=(n﹣1)n+2，②①﹣②，得an=2n，其中n≥2，所以数列{an}的通项公式an=.巩固13．（2020·湖北高三月考（理））设为数列的前项和，若，则____【解析】当时，，即，当时，，两式相减可得，即，即，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.巩固14．（2020·浙江高三其他）已知数列的前n项和，则____________；数列的通项公式为____________．【解析】由题意易得，当时，，而，所以巩固15．（2020·浙江高三月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则______；______.【解析】因为斐波那契数列满足，，，∴；；；…；所以，因为．巩固16．（2020·陕西西安中学）斐波那契数列(Fibonaccisequence)，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义：a1=1，a2=1，(n≥3，n∈N*)，记其前n项和为Sn，设a2019=t(t为常数)，则________(用t表示)，________(用常数表示).【解析】斐波那契数列满足：，，，设，则：根据可得，所以，所以巩固17．（2020·全国高三其他（理））已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【解析】（1）当时，；当时，，不适合.综上所述，；（2）由（1）可得.当时，；当时，，得，上式下式得，满足，因此，.巩固18．（2020·河南高二其他（文））设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，因此（2）由题意知：，所以，则两式相减得因此，

焦点三角形一、技巧知识点一．技巧内容椭圆双曲线图形周长2a+2c22离心率二．技巧推导过程1.

2.椭圆中焦点三角形的面积公式椭圆中的离心率4.

5.双曲线中焦点三角形的面积公式6.双曲线中的离心率二、技巧训练技巧1焦点三角形的周长【例1】（2020·黑龙江）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（）A．20 B．16 C．18 D．14【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为选C变式1．（2020·西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．【解析】椭圆（其中a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a+2c=16，椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4，所以椭圆C的方程为：，选D

变式2．（2019·广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是__________．【解析】设椭圆的半焦距为，由题意得，，所以，故椭圆的方程是技巧2焦点三角形的面积【例1】（2020·安徽省定远中学）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则__________．【解析】（技巧法）（常规法）因为的面积为9，所以因为，所以即，【例2】（2020·山西大同）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为【解析】（技巧法）（常规法）双曲线，则，所以，则，平方得，且，由余弦定理，即解得，则变式1．（2020·云南陆良）已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则（）A．2 B．4 C．6 D．8【解析】（技巧法）（常规法）由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，选B变式2（2020·广东汕头）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为()A．36 B．16 C．20 D．24【解析】（常规法）设则,即,又,选B变式3．（2020·上海普陀·高三三模）设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（）A． B． C． D．【解析】（技巧法）（常规法）双曲线，则不妨设是双曲线的右支上一点，则由双曲线的定义，得，则,所以所以，即所以，所以，选C技巧3焦点三角形的离心率【例1】设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为【解析】(技巧法），选D。（常规法）设，，则，即，，【例2】（2020·河北衡水中学）已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为【解析】（常规法））由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，∴，∴，∴∴．由，∴，离心率的范围为

变式1．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考（理））已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（）A． B． C． D．【解析】变式2．（2020·安徽合肥·高三二模（文））记，为椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是()A． B．C． D．【解析】（常规法）当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝1，m＞1，由对称性可知当M为上下顶点时，∠F1MF2最大，因为，∴∠F1MF2，∠F1MO，所以tan∠F1MO1，即1，解得m≥2；当焦点在y轴上时，a2＝1，b2＝m，0＜m＜1，当M为左右顶点时，∠F1MF2最大，因为，∠F1MF2，∠F1MO，所以tan∠F1MO1，即1，解得0＜m，选A．巩固1．（2020·全国高三单元测试）已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6 B．5 C．4 D．3【技巧法】△AF1B的周长公式4a=16,第三边等于16-10=6【常规法】因为根据已知条件可知，椭圆＋＝1中16>9,说明焦点在x轴上，同时a=4,b=3,而过点F2的直线交椭圆于A，B两点，则点A到F2，F1的距离和为2a=8,点B到F2，F1的距离和为2a=8，结合椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a=16.在结合三角形的周长公式可知，其中两边之和为10，则另一边的长度为16-10=6选A.巩固2．（2020·广西钦州一中）设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解析】（技巧法）（常规法），，由椭圆定义，，由⊥得，的面积为4，则，即，，即,解得，即，选C.巩固3．（2020·河南高三其他（文））椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（）A．1 B．C． D．2【解析】设，，则又（1），（2）（1）式平方减去（2）式得：，得：.选C.巩固4．（2020·黑龙江绥化·高三其他（理））已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【解析】由题意得：，所以，所以，解得.选C巩固5．（2020·山西临汾）已知椭圆的左，右焦点分别为，若上的点到的距离为，则△的面积为（）A． B． C． D．【解析】依题意知，，，所以，因为，且，所以，在△中，，因为，所以，所以△的面积为.选C.

巩固6．（2020·陆川中学）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】（常规法）由题设可知点在以为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径，即，也即，故应选答案A．巩固7．（2020·全国高三一模（文））设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的最小值为（）A． B． C． D．【解析】当是椭圆的上下顶点时，最大，∴，∴，∴，，，∴，则椭圆的离心率的最小值为，选C.

巩固8．（2019·江西南昌十中））已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为，不妨设P为第一象限的点，做出示意图如下图所示，由椭圆与双曲线的定义得，所以得，又因为，由余弦定理得，所以得所以得即，所以，因为，所以，，，所以，所以，所以，所以，选D

巩固9．（2020·伊美区第二中学）设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（）A． B．C．24 D．48【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,,所以,所以.所以，选C巩固10．（2020·四川青羊·树德中学高二月考（文））设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【解析】由双曲线的定义得，又，，即，因此，即，则，解得，（舍去），因此，该双曲线的离心率为，选B.巩固11．（2020·吉林松原·高三其他（文））已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（）A．15 B．16 C．18 D．20【技巧法】依题意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于为锐角，所以.【常规法】依题意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于为锐角，所以.根据双曲线的定义得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以，选B巩固12．（2020·陕西省丹凤中学高三一模（理））设，分别是双曲线的左右焦点.若点在双曲线上，且，则等于（）A． B． C． D．【解析】根据题意，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，.选D

巩固13．（2020·陕西高三其他（文））已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．因为，所以，，，所以，所以的取值范围是.（常规法）设，，，则由余弦定理得.又，则，解得，所以.因为，所以，，，所以，所以的取值范围是，选B

巩固14．（2020·河北张家口·高三期末（理））已知双曲线的焦点为，，点为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【解析】设，，，解得，，选D.巩固15．（2020·全国高三一模（理））已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，MF1与轴垂直，sin,则E的离心率为（）A． B．C． D．2【解析】由已知可得，选A.巩固16．（2019·平罗中学高三二模（理））已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则双曲线E的离心率为A． B． C．2 D．3（常规法））与x轴垂直，，设，则，由双曲线的定义得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，则，则，选A．巩固17．（2020·陕西西安·高三其他（理））已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是______.【解析】由椭圆的定义可知，，又，联立两式，可得又，所以，所以是以为直角边的直角三角形，所以的面积为.巩固18．（2020·全国高二课时练习）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.【解析】椭圆，可得，设，，可得，化简可得：，巩固19．已知是椭圆的左，右焦点，点在上，且，则的面积为______．【解析】（常规法）由题意，设，，则，由余弦定理可得，，又，∴，∴的面积

离心率一、技巧知识点焦点三角形中的离心率1.椭圆（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为、，则(正弦定理)。2.双曲线：利用焦点三角形两底角来表示:。

双曲线的渐进线与离心率关系直线与双曲线相交时，两个交点的位置两个交点在双曲线的两支：两个交点在双曲线的同一支:两个交点在双曲线的左支:两个交点在双曲线的右支:焦点弦与离心率关系，则有(为直线与焦点所在轴的夹角)。二、技巧训练技巧1焦点三角形中的离心率【例1】(1)．已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2 C． D．（2）（2020·安徽省高三三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．

【解析】（1）不妨设代入双曲线方程得，.故答案选：C（2），（当且仅当时取等号），，由椭圆定义知：，又，，，，又，离心率的取值范围为.选变式1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（）A． B． C． D．【解析】中，所以，选B

变式2．（2020·全国高三专题练习）已知点是以、为焦点的椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率（）A． B． C． D．【解析】点是以、为焦点的椭圆上一点，，，，又，得，由勾股定理可得，即，，该椭圆的离心率为，选A变式3．（2019·辽宁沈阳市·沈阳二中高三月考（理））椭圆的离心率为，、是椭圆的两个焦点，是圆上一动点，则的最小值是（）A． B． C． D．0【解析】椭圆的离心率为，即.，故，当时等号成立.根据余弦定理：，选技巧2点差法中的离心率【例2】（1）（2020·四川外国语大学附属外国语学校）过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．（2）（2020·安徽省潜山第二中学）已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为A． B． C． D．【解析】（1）设，，由直线的斜率为可得，由线段的中点为可得，，由点在椭圆上可得，作差得，所以，即，所以，所以该椭圆的离心率，选B（2）由题意方程可知，，设,则,，整理得：，①又，得，即，②联立①②，得，即，解得，选D变式1．已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．3【解析】设、，则，，所以，所以，又弦中点坐标为，所以，，又，所以，即，所以双曲线的离心率，选B.变式2．（2020·全国高三专题）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）.A．B．C．D．【解析】∵，∴，∴点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，∴，∴，即，∴，即，又，∴，选B变式3．若，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当，且，则椭圆的离心率为【解析】依题意可知，，，，由椭圆定义可知技巧3渐近线与离心率【例3】已知圆的一条切线与双曲线有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【解析】由题意，圆心到直线的距离，解得，圆的一条切线与双曲线有两个交点，所以，所以，所以.选D.变式1．若双曲线（，）与直线无公共点，则离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】若双曲线与直线无公共点，等价为双曲线的渐近线的斜率，即，即，即，即，则，则，，离心率满足，即双曲线离心率的取值范围是，选A．

变式2．已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B．(1,2), C． D．【解析】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，选变式3．（2020·河南新乡市·高三）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解析】题可知，，，，所以，可得.在中，由余弦定理可得，即，解得.双曲线的离心率为，选D技巧4焦点弦与离心率【例4】（2020·石嘴山市第三中学高三三模）已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（）A． B． C． D．【解析】椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为联立直线与椭圆方程，消后，化简可得因为直线交椭圆于A，B，设由韦达定理可得且，可得，代入韦达定理表达式可得，即，化简可得，所以，选D变式1．（2020·河南省高三月考）倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【解析】设到右准线距离为，则，因为，则，所以到右准线距离为，从而倾斜角为，，选B.

变式2．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为【解析】（1）当时，设，则，设，由题意可知，，，，则，，，代入得，即，解得，则，（2）当时，设，，设，则，，由题意可知，，，，则，，，则，则，代入得，即，解得，则，选B.变式3．（2019·浙江高三其他模拟）已知过双曲线的右焦点F，且与双曲线的渐近线平行的直线l交双曲线于点A，交双曲线的另一条渐近线于点B（A，B在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【解析】双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设在第一象限，直线的方程为，与联立，得；直线与联立，得．由，得，即，得，即，则，选B．巩固1．已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，所以直线的斜率，设，则①②由①②得则因为是弦的中点，因为直线的斜率为1即所以，则，选D巩固2．设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，当渐近线的斜率满足，即时，直线l与双曲线左、右支均相交，所以，选C巩固3．（2019·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上一点，若为直角三角形，则这样的点P有（）.A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【解析】由题意，则，当为椭圆短轴顶点时，，，，即，短轴顶点有2个，过或作轴垂直与椭圆相交的点在4个，都是直角三角形，因此共有6个，选C巩固4．（2020·广东广州市）已知,分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上存在点使为钝角,则椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．【解析】设椭圆的上顶点为，则∵椭圆上存在点，使为钝角,故答案为A巩固5．（2020·河北石家庄市）已知椭圆，点M,N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使,则离心率e的取值范围为A．B．C．D．【解析】由题意设，则可得：，选A．巩固6．（2020·全国高三专题练习）椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C． D．－1【解析】设F（－c,0）关于直线x＋y＝0的对称点为A（m，n），则，解得m＝，n，代入椭圆方程可得化简可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1，选D巩固7．已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2．P是椭圆上一点．PF1F2为以F2P为底边的等腰三角形，当60°<PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（） B．（） C．（） D．（0）【解析】由题意可得，即，所以，又，则，所以，则，即，选B巩固8．（2020·广东肇庆市）已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率与直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【解析】依题意可知.设，代入椭圆方程得.代入得，即，与对比后可得，所以椭圆离心率为.选D.巩固9．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【解析】由题意，直线过左焦点且倾斜角为60°，∴，，∴，即∴，∴，双曲线定义有，∴离心率.巩固10．（2020·全国）若、为椭圆：()长轴的两个端点，垂直于轴的直线与椭圆交于点、，且，则椭圆的离心率为______【解析】设、，因为，，所以，所以，所以.巩固11．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过右焦点作倾斜角60°的直线交于，两点（A在第一象限），则________.【解析】因为离心率为，所以,设直线的方程代入椭圆方程：，得又∵点在第一象限，故，所以巩固12．（2020·全国高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是____.【解析】由双曲线的定义可得，又，则，，所以，.因此，双曲线的离心率的取值范围是.巩固13．（2020·台州市书生中学高三其他）已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为【解析】如图，点在椭圆上，所以，由，代入上式得，在，，又，所以，即，

巩固14．（2020·开鲁县第一中学）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是【解析】由题意可得

PF2=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得PF1=2a-PF2=2a-2c．设∠PF2F1=，则，△PF1F2中，由余弦定理可得

cos=由-1＜cosθ

可得3e2+2e-1＞0，e＞，由cosθ＜，可得2ac＜a2，e=综上巩固15．（2020·四川省绵阳南山中学高三）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为【解析】设，则由椭圆的定义，可以得到,在中，有，解得，在中，有，整理得，

巩固16．（2020·河北省高三）已知椭圆，，，过点的直线与椭圆交于，，过点的直线与椭圆交于，，且满足，设和的中点分别为，，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为【解析】如图，不妨设，两条直线的斜率大于零时，连结，由题意知，解得，，或，（舍），，在中，因为，所以，故此时，．设，，则，两式相减得，即，即，因此离心率，所以．

巩固17．（2020·广东省高三月考）已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为【解析】设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以，则，由余弦定理可得，即，∴椭圆的离心率，

点差法一、技巧知识点点差法适用范围中点弦圆锥曲线有三点P、A、B且A、B关于原点对称2.点差法在中点弦中推导过程3点差法在对称中的推导过程4.点差法在圆锥曲线中的结论【小结】小题可以直接利用结论解题，解答题需要写推导过程

二、技巧训练技巧1点差法在椭圆在的应用【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）直线与椭圆相交于两点，若中点的横坐标为，则=（）A． B． C． D．(2)2．（2020·高密市教育科学研究院高三其他模拟）已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（）A． B． C． D．（3）．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（）A． B． C． D．（4）．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB中点所在的直线的斜率为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【解析】（1）设把代入得，，因为中点的横坐标为，所以，解得.选:C（2）设，则，两式相减并化简得，即,由于且，由此可解得，故椭圆的方程为.选D.（3）设，，的中点，则，.因为，两点在椭圆上，所以，.两式相减得：，，，，即，解得.选B（4）设，，中点坐标，代入椭圆方程中，得到，，两式子相减得到，，结合，，，且，代入上面式子得到，，选B.

变式1．（2020·广东珠海市·高三一模）已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（）A．2 B． C． D．【解析】由题得.设，由题得，所以，两式相减得，所以，所以，所以，选C变式2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（）A． B． C． D．【解析】设，，所以，相减得，∴，即，又∵，，所以，即，解得，又，∴．即椭圆的方程为.选A．变式3．（2020·全国高三专题练习）椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）A． B． C． D．【解析】设，，由题知：，.设线段中点为，则.将代入得到.因为，故，选B变式4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知椭圆，作倾斜角为的直线交椭圆于两点，线段的中点为为坐标原点，若直线的斜率为，则（）A． B． C． D．【解析】设，则，，两式相减，得，两点直线的倾斜角为，，即，①直线的斜率为②由①②可得得．选B．变式5．（2020·湖南长沙市·浏阳一中高三）已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆E的离心率为（）A． B． C． D．【解析】令AB的中点为M，坐标为，则，因为A、B两点是直线与椭圆的交点，且焦点在x轴，所以则，选B技巧2点差法在双曲线在的应用【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E