高考数学一轮复习专题讲座6概率统计在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关理北师大版

PAGE专题讲座6概率、统计在高考中的常见题型与求解策略1．(2016·东北三省四校联考)已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(9,25)C.eq\f(16,25) D.eq\f(2,5)解析：选B.PQ中点组成的区域为M，如图阴影部分所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为eq\f(25π－16π,25π)＝eq\f(9,25)，故选B.2．如果X～B(20，p)，当p＝eq\f(1,2)且P(X＝k)取得最大值时，k的值为()A．8 B．9C．10 D．11解析：选C.当p＝eq\f(1,2)时，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(20－k)＝Ceq\o\al(k,20)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(20)，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．3．(2016·邯郸调研)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析：设向上的数之积为X，则随机变量X的取值为0，1，2，4，P(X＝0)＝eq\f(3,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝eq\f(1,36)，因此EX＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)4．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabceq\f(1,12)解析：由题意得，a＋b＋c＋eq\f(1,12)＝1，①因为EX＝0，所以－1×a＋0×b＋1×c＋2×eq\f(1,12)＝0，即－a＋c＋eq\f(1,6)＝0.②因为DX＝(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×eq\f(1,12)＝1，即a＋c＝eq\f(2,3).③联立①②③解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4).答案：eq\f(5,12)eq\f(1,4)5．(2016·辽宁省五校联考)在某次考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格．(1)用样本估计总体，请根据茎叶图对甲、乙两个班级的成绩进行比较；(2)从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，求有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；(3)从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取2人，3人中及格人数记为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)从茎叶图可以得到：甲班平均分为89分；乙班平均分为89分．甲班的方差大于乙班的方差．所以甲、乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定．(2)事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记为A；事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记为B，则P(B|A)＝eq\f(P（A·B）,P（A）)＝eq\f(\f(4,10)×\f(5,10),\f(4,10)×\f(5,10)＋\f(6,10)×\f(5,10)＋\f(4,10)×\f(5,10))＝eq\f(2,7).(3)X的取值为0，1，2，3，X的分布列为X0123Peq\f(2,15)eq\f(19,45)eq\f(16,45)eq\f(4,45)期望EX＝eq\f(7,5).6．(2016·成都调研)为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，则P(A)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,15).所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为eq\f(1,15).(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.P(X＝0)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(4×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(4,15)，P(X＝2)＝eq\f(Aeq\o\al(2,4)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(Aeq\o\al(3,4)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(2,15)，P(X＝4)＝eq\f(Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(6,6))＝eq\f(1,15).所以随机变量X的分布列为X01234Peq\f(1,3)eq\f(4,15)eq\f(1,5)eq\f(2,15)eq\f(1,15)因此，EX＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,15)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(2,15)＋4×eq\f(1,15)＝eq\f(4,3).1．(2016·郴州一模)某次数学测验共有10道选择题，每道题均有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该考生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．解：(1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B，则P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3).该考生选择题得50分的概率为P(A)·P(A)·P(B)·P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,36).(2)该考生所得分数X＝30，35，40，45，50，P(X＝30)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9)，P(X＝35)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)·Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝40)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋Ceq\o\al(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(13,36)，P(X＝45)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,6)，P(X＝50)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,36).该考生所得分数X的分布列为X3035404550Peq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(13,36)eq\f(1,6)eq\f(1,36)所以EX＝30×eq\f(1,9)＋35×eq\f(1,3)＋40×eq\f(13,36)＋45×eq\f(1,6)＋50×eq\f(1,36)＝eq\f(115,3).2．(2016·洛阳统考)在某学校的一次选拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：组别[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数5182826176(1)求抽取的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩z服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2)，且规定82.7分是复试线，那么在这2000名考生中，能进入复试的有多少人？(附：eq\r(161)≈12.7，若z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)＝0.9544，结果取整数部分)(3)已知样本中成绩在[90，100]中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ.解：(1)样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))和样本方差s2分别为eq\o(x,\s\up6(－))＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70，s2＝(－25)2×0.05＋(－15)2×0.18＋(－5)2×0.28＋52×0.26＋152×0.17＋252×0.06＝161.(2)由(1)知，z～N(70，161)，从而P(z＞82.7)＝eq\f(1－0.6826,2)＝0.1587，所以能进入复试的人数为2000×0.1587≈317.(3)显然ξ的取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al