高中数学 第三章 统计案例章末质量评估 北师大版选修2-3

章末质量评估(三)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列结论正确的是 ()．①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①②③④解析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故③不正确．答案A2．两个相关变量满足如下关系x1015202530y10031005101010111014两变量的线性回归方程为 ()．A．y＝0.56x＋997.4 B．y＝0.63x－231.2C．y＝50.2x＋501.4 D．y＝60.4x＋400.7解析利用公式b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)≈0.56，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈997.4.∴线性回归方程为y＝0.56x＋997.4.答案A3．如果有95%的把握说事件A和B有关系，那么具体计算出的数据()．A．χ2＞3.841 B．χ2＜3.841C．χ2＞6.635 D．χ2＜6.635解析由独立性判断的方法可知，如果有95%的把握，则χ2＞3.841.答案A4．若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝eq\f(1,4)，则P(E∩F)的值等于()．A．0 B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析P(E∩F)＝P(E)·P(F)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16).答案B5．分类变量X和Y的列联表如下：Y1Y2总计X1aba＋bX2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d则下列说法正确的是 ()．A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强解析因为χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)，当(ad－bc)2越大时，χ2越大，说明X与Y关系越强．答案C6．一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y＝73.93＋7.19x(单位：cm)，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是 ()．A．她儿子10岁时的身高一定是145.83cmB．她儿子10岁时的身高一定是145.83cm以上C．她儿子10岁时的身高在145.83cm左右D．她儿子10岁时的身高一定是145.83cm以下解析用线性回归方程预测的值不是精确值而是估计值．答案C7．考察人的高血压病是否与食盐摄入量有关，对某地区人群进行跟踪调查，得到以下数据：是否患高血压喜欢食物情况患高血压未患高血压合计喜欢较咸食物34220254喜欢清淡食物2613531379合计6015731633则认为人的高血压病与食盐摄入量有关的把握大约为 ()．A．99% B．95%C．90% D．无充分依据解析χ2＝eq\f(1633×34×1353－26×2202,254×1379×60×1573)≈80.155，∵80.155＞6.635，∴有99%的把握认为人的高血压病与食盐摄入量有关．答案A8．下列说法中错误的是 ()．A．如果变量x与y之间存在着线性相关关系，则我们根据实验数据得到的点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)将散布在某一条直线的附近B．如果两个变量x与y之间不存在线性关系，那么根据它们的一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能写出一个线性方程C．设x，y是具有相关关系的两个变量，且x关于y的线性回归方程为y＝bx＋a，b叫做回归系数D．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计假设检验的方法来判断变量y与x之间是否存在线性相关关系解析如果两个变量x、y之间不存在线性关系，仍能套用线性回归系数公式，求得b、a，从而写出一个线性方程，不过此方程不能称为线性回归方程．答案B9．如图所示，在这5组数据中，去掉哪组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大 ()．A．A(1,3) B．B(2,4)C．C(4,5) D．D(3,10)解析从散点图容易观察，去掉D(3,10)后，其余点大致在一条直线附近．答案D10．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是 ()．A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析∵P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，即P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,9).P(Aeq\x\to(B))＝P(Beq\x\to(A))，即P(A)·P(eq\x\to(B))＝P(B)·P(eq\x\to(A))，P(A)(1－P(B))＝P(B)(1－P(A))，P(A)＝P(B)．∴P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))，又P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3).答案D二、填空题(每小题5分，共30分)11．已知一个线性回归方程为y＝1.5x＋45，xi∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，7，5，13，19))，则eq\x\to(y)＝________.解析因为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且y＝1.5x＋45，所以eq\x\to(y)＝1.5×9＋45＝58.5.答案58.512．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2≈4.013，那么有________的把握认为两个变量间有关系．解析由χ2≈4.013＞3.841，故有95%的把握认为两个变量间有关系．答案95%13．抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6时，则两骰子点数之和大于8的概率为________．解析设蓝骰子的点数为3或6时的事件为A，两骰子点数之和大于8的事件为B.则：P(A)＝eq\f(1,3)，P(A∩B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(5,18),\f(1,3))＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)14．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是________．解析本题研究的两个变量是性别与职称．因此收集的数据应分别是男、女正、副教授人数．答案男正教授人数，男副教授人数，女正教授人数，女副教授人数15．某天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．解析两个闹钟至少有一个准时响有三种情况：甲准时响而乙没准时响，其概率为0.80×(1－0.90)＝0.08；乙准时响而甲没准时响，其概率是(1－0.80)×0.90＝0.18；甲、乙都准时响，其概率为0.80×0.90＝0.72，故两个闹钟至少有一个准时响的概率为：0.08＋0.18＋0.72＝0.98.答案0.9816．某化工厂为预测某产品的回收率y，需研究它和原料有效成份含量之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得：eq\i\su(i＝1,8,x)i＝52，eq\i\su(i＝1,8,y)i＝228，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝478，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝1849，则y与x的线性回归方程是________．答案y＝11.47＋2.62x三、解答题(每小题10分，共40分)17．假定某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：产量x(千件)234345单位成本y(元/件)737271736968(1)试确定回归直线及相关系数r；(2)指出产量每增加1000件时，单位成本下降多少；(3)假定产量为6000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少？解(1)eq\i\su(i＝1,6,x)i＝21，eq\i\su(i＝1,6,y)i＝426，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝79，eq\i\su(i＝1,6,y)eq\o\al(2,i)＝30268，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1481，eq\x\to(x)＝3.5，eq\x\to(y)＝71，b＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\x\to(x)2)＝eq\f(1481－6×3.5×71,79－6×3.52)＝eq\f(－10,5.5)＝－1.818，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝71＋1.818×3.5＝77.363，∴回归方程为y＝77.363－1.818x.r＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,6,y)2－6i\x\to(y)2))＝eq\f(1481－6×3.5×71,\r(79－6×3.52)\r(30268－6×712))＝eq\f(－10,\r(5.5)×\r(22))＝－eq\f(10,11)＝－0.91.(2)产量每增加1000件时单位成本下降1.818元．(3)当x＝6时，y＝66.455元．18．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)解(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为eq\f(70,500)×100%＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈9.967，因为9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．(3)根据(2)的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男女的比例，再把老年人分成男女两层，并且采用分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．19．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．解(1)随机抽查这个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，所以有24种不同的抽法，因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P1＝eq\f(24,50)＝eq\f(12,25)，又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是P2＝eq\f(19,50).(2)由χ2统计量的计算公式得χ2＝eq\f(50×18×19－6×72,24×26×25×25)≈11.538，由于11.538＞6.635，所以我们有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”．20．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5