高中数学 3.4 反证法同步练习 北师大版选修1-2

§4反证法eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 ()． ①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 解析考查反证法的基本思想．所以选C. 答案C2．下列命题不适合用反证法证明的是 ()． A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交 B．两个不相等的角不是对顶角 C．平行四边形的对角线互相平分 D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1 解析A中命题条件较少，不足以正面证明；B中命题是否定性命题， 其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含多个结 论，而反设只有一个结论． 答案C3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的 是 ()． A．三个内角中至少有一个钝角 B．三个内角中至少有两个钝角 C．三个内角都不是钝角 D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 解析“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至 少有两个”． 答案B4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180° 矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角． ③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为________． 答案③①②5．用反证法证明：“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为 ________． 答案a≤b6．证明：1、eq\r(3)、2不能为同一等差数列的三项． 证明假设1、eq\r(3)、2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差 为d，则1＝eq\r(3)－md,2＝eq\r(3)＋nd，其中m、n为某两个正整数，由上面两 式消去d，得n＋2m＝(n＋m)eq\r(3).因为n＋2m为有理数，而(n＋m)eq\r(3)为无 理数，所以n＋2m≠(n＋m)·eq\r(3)，因此假设不成立，所以1、eq\r(3)、2不能 为同一等差数列的三项．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．下列命题错误的是 ()． A．三角形中至少有一个内角不小于60° B．四面体的三组对棱都是异面直线 C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点 D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数 解析a＋b为奇数⇔a、b中有一个是奇数，另一个是偶数． 答案D8．设a、b、c都是正数，则三个数a＋eq\f(1,b)、b＋eq\f(1,c)、c＋eq\f(1,a) ()． A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 解析a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥6，故三个数中至 少有一个不小于2. 答案D9．下列命题：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执 果索因法；④分析法是间接证明；⑤反证法是直接证明．其中正确的命 题有________． 解析显然，分析法是直接证明，而不是间接证明，反证法是间接证明， 而不是直接证明． 答案①②③10．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是 ________． 解析假设共面，则直线AB与CD也共面，与已知矛盾． 答案异面11．求证：在一个三角形中，至少有一个内角不小于60°. 证明假设△ABC的三个内角都小于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C ＜60°，则三式相加得∠A＋∠B＋∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛 盾，所以∠A，∠B，∠C都小于60°的假设不能成立，从而在一个三角 形中，至少有一个内角不小于60°.12．(创新拓展)求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0. 证明假设bc＝0，则有三种情况出现： ①若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0，x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛盾． ②若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2