高中数学 2-1-1合情推理规范训练 苏教版选修1-2

第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理双基达标限时15分钟1．经计算发现下列不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r(4.5)＋eq\r(15.5)<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b成立的条件不等式________________________________________________________________________．答案若a＋b＝20，则eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10)(其中a，b为正实数)2．观察下列等式：Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(5,5)＝23－2Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(9,9)＝27＋23Ceq\o\al(1,13)＋Ceq\o\al(5,13)＋Ceq\o\al(9,13)＋Ceq\o\al(13,13)＝211－25Ceq\o\al(1,17)＋Ceq\o\al(5,17)＋Ceq\o\al(9,17)＋Ceq\o\al(13,17)＋Ceq\o\al(17,17)＝215＋27由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，Ceq\o\al(1,4n＋1)＋Ceq\o\al(5,4n＋1)＋Ceq\o\al(9,4n＋1)＋…＋Ceq\o\al(4n＋1,4n＋1)＝________________.解析由类比推理，每一个等式的结论由两项组成，第一项2的指数为(4n＋1)－2＝4n－1，第二项前有(－1)n，指数为2n－1，即有24n－1＋(－1)n·22n－1.答案24n－1＋(－1)n·22n－13．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则此四面体的体积V＝__________.解析运用分割法思想，设四面体S­ABC的内切球的球心为O，连接OS、OA、OB、OC，将四面体分成四个三棱维，则VS­ABC＝VO­SAC＋VO­SAB＋VO­SBC＋VO­ABC＝eq\f(1,3)S1R＋eq\f(1,3)S2R＋eq\f(1,3)S3R＋eq\f(1,3)S4R＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R.答案eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案1∶85．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为__________________．答案(n＋2)2－n2＝4n＋4(n∈N*)6．若数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,n＋12)，记f(n)＝(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值．解f(1)＝1－a1＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))＝eq\f(3,4)·eq\f(8,9)＝eq\f(2,3)＝eq\f(4,6)，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))＝eq\f(2,3)·eq\f(15,16)＝eq\f(5,8).由此猜想，f(n)＝eq\f(n＋2,2n＋1).eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910……按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为__________．解析前n－1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n－1)个，即有eq\f(n2－n,2)个，因此第n行第3个数是全体正整数中第eq\f(n2－n,2)＋3个，即为eq\f(n2－n＋6,2).答案eq\f(n2－n＋6,2)8．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at－(t－1)as＝0”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“___________________”．答案若{bn}是等比数列，b1＝1，s、t是互不相等的正整数，则有eq\f(b\o\al(s－1,t),b\o\al(t－1,s))＝19．由图(1)有面积关系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，则由图(2)有体积关系：eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝____________.解析由三棱锥的体积公式V＝eq\f(1,3)Sh及相似比可知：eq\f(VP­A′B′C′,VP­ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC).答案eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)10．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．解析这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，即有1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，…将该数列的每一项除以3得余数分别为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…由此可见余数的变化规律是按1,1,2,0,2,2,1,0循环，周期是8，且一个周期中第四个数与第八个数都是3的倍数，即在三个周期中有6个报出的数是3的倍数，后面6个数中除以3的余数为1,1,2,0,2,2，只有一个是3的倍数，故共有7个是3的倍数，共拍手7次．答案711．从大、小正方形的数量关系上，观察如右图所示的几何图形，试归纳可得出什么结论？解从大、小正方形的数量关系上，容易发现1＝12，1＋3＝2×2＝22，1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42，1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.12．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有怎样的等式成立？解由此，猜测本题的答案为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．事实上，对于等差数列{an}，如果ak＝0，则an＋1＋a2k－1－n＝an＋2＋a2k－2－n＝…＝ak＋ak＝0.所以有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋an＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2k－2－n＋a2k－1－n)(n<2k－1，n∈N＋)从而对等比数列{bn}，如果bk＝1，则有等式b1b2…bn＝b1b2…b2k－1－n(n<2k－1，n∈N＋)成立．∵b9＝1，∴b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)成立．13．(创新拓展)我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？①类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；②探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以说明；③在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项的和Sn.解①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．②由①知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，∴等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．③当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈N＋，则Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝eq\f(2k－2