8.2.3排列组合的应用（解析版）

8.2.3排列组合的应用同步练习基础巩固基础巩固一、单选题1．为进一步在全县掀起全民健身热潮，如东县于2023年10月28日在如东小洋口旅游度假区举办大运河自行车系列赛．已知本次比赛设有4个服务点，现将5名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，共有（

）种不同的分配方式．A．30 B．60 C．120 D．125【答案】B【分析】根据题意，分2步进行分析，先在5人中选出2人，安排在最后一个服务点，再将剩下的3人安排到其他3个服务点，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析：先在5人中选出2人，安排在最后一个服务点，则有C5将剩下的3人安排到其他3个服务点，则有A3故共有10×6=60种安排方法.故选：B2．五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（

）A．360 B．240 C．216 D．168【答案】B【分析】优先考虑去乌兰布统，再把剩下的三个景区各安排一辆大巴前往，利用分步计算原理得解.【详解】这6辆旅游大巴，A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有C41故选：B.3．用2,3,4,5,7这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（

）A．120个 B．72个 C．60个 D．48个【答案】D【分析】利用分步乘法计数原理可得答案.【详解】由题可知，不同的偶数共有C21故选：D.4．从5件不同的礼物中选出3件分别送给3名同学，则不同的送法共有（

）A．240种 B．125种 C．120种 D．60种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求解.【详解】由题意可知C5故选：D5．将六位数“124057”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为（

）A．152 B．180 C．216 D．312【答案】D【分析】由题意，分末尾是2或4，末尾是0，即可得出结果.【详解】由题意，末尾是2或4，不同偶数个数为C2末尾是0，不同偶数个数为A5所以共有312个.故选：D6．某校安排三个年级的课外活动，时间在周一至周五，要求每个年级只参加一次且每天至多安排一个年级且高三年级安排在另外两个年级的前面，则不同的安排方法共有（

）A．60种 B．40种 C．30种 D．20种【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理和排列组合，先选时间再安排年级即可求解【详解】从周一到周五选择三天，共有C53=10根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C5故选：D7．小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，且周一只能完成其中1项工作，则不同的安排方式有（

）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】C【分析】先按照周一，再安排其他两天，利用分步计数原理及排列组合知识进行求解；【详解】先从4项工作中选1项安排在周一完成，再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三，所以不同的安排方式有C4故选：C8．安排5名志愿者完成A,B,C三项工作，其中A项工作需3人，B,C两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有（

）A．10种 B．120种 C．60种 D．20种【答案】D【分析】先安排A项工作的3人，再安排B,C两项工作的2人，然后利用乘法原理可得结果.【详解】从5名志愿者中任选3人完成A项工作，有C5剩余2名志愿者完成B,C两项工作，有A2故不同的安排方式共有10×2=20种.故选：D9．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（

）.A．9个 B．24个 C．36个 D．54个【答案】D【分析】先选后排，计算出结果.【详解】先从3个偶数中选出1个，再从3个奇数中选出2个，先选后排，共有C31故选：D10．在1,2,3,4,5,6,7这组数据中，随机取出五个不同的数,则数字3是取出的五个不同数的中位数的所有取法为（

）A．24种 B．18种 C．12种 D．6种【答案】D【解析】根据题意，由中位数的定义分析可得要使数字3是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有4，5、6、7中的两个，必须有1，2这2个数字，由组合数公式计算可得答案．【详解】由题得必须有1，2这2个数字，4，5、6、7中必须有两个，所以所有取法为C2故选：D【点睛】本题主要考查中位数的定义，考查排列组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题11．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是.【答案】310【分析】先找到5个社团选两个分给两个人的个数为A52=20，再找到3个球类运动社团选两个的个数有A【详解】总的样本点的个数为A52=20，事件“他们加入的都是球类运动社团”包含的样本点有A3故答案为：31012．2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为．【答案】60【分析】运用分步乘法先安排2人去A场馆，再安排其余3人到剩余3个场馆即可得结果.【详解】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有C52种结果，第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有A3故答案为：60.13．安排5名志愿者完成A,B,C三项工作，其中A项工作需3人，B,C两项工作都只需一人，则不同的安排方式共有种.【答案】20【分析】先从5人选3人一组参加A项工作，然后其他两人完成B,C即可.【详解】A项工作安排3人有C53=10，然后安排B,C则所安排的方式共10×2=20种.故答案为：20.14．在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽取3件，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法的种数为；【答案】9604【分析】补集法，考虑“没有次品”的种数.【详解】“没有次品”的抽法种数为：C98至少有一件是次品的抽法的种数为：C100故答案为：9604.15．从6位同学中选出2人分别担任班长和团支书，则有种不同选法.(用数字作答)【答案】30【分析】由排列组合中的分步原理可得：先从6位同学中选出2人，再安排选出的2人担任班长和团支书运算即可得解．【详解】从6位同学中选出2人分别担任班长和团支书，则可以先从6位同学中选出2人，再安排选出的2人担任班长和团支书，则共有C6故答案为：30．【点睛】本题考查了排列组合中的分步原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．三、解答题16．用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？【答案】（1）144；（2）270.【分析】（1）先排个位数，方法数有C31种，然后排千位数，方法数有C41种，剩下百位和十位任意排，方法数有A42种，再按分步乘法计数原理即可求的种类数.（2）有三类，第一类是千位是2,3,4,5中任意一个的、第二类是千位是1，且百位是4,5中的一个的、第三类是千位是1，且百位是3【详解】(1)C41（2）A41【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的首位不能为零，故第二考虑的是千位.本小题属于基础题.17．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有1+24+90=115种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有C4第二种，3红2白，取法有C4第三种，2红3白，取法有C4根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有6+60+120=186.能力进阶能力进阶18．已知一个平面内有10个点，其中任意3点都不共线，且过任意两点所连成的线段中，任意两条线段的长度都不相等：(1)这些点共可以连成多少条不同的线段？(2)以这些点为端点共可以作出多少个不同的非零向量？【答案】(1)45(2)90【分析】（1）在已知的点中，任意3点都不共线，而任意两点都能连成一条线段，由组合知识可解得；（2）根据向量的方向性，任意两条线段的长度都不相等，由排列知识可得出结果.【详解】（1）解：因为已知的点中，任意3点都不共线，而任意两点都能连成一条线段，因此共可以连成的不同线段条数为C10（2）因为以任意一点为始点，另一点为终点，均可作出一个非零向量，而且连成的所有线段中，任意两条线段的长度都不相等，因此，共可以作出不同的非零向量个数为A1019．7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）（1）7人排成一排，甲不排头，也不排尾．（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人