2019-2020学年高中数学课时分层作业5柱体锥体台体的表面积与体积含解析新人教A版必修

PAGE课时分层作业(五)柱体、锥体、台体的表面积与体积(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．πC[底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.]2．已知高为3的直棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1­ABC的体积为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),6)D．eq\f(\r(3),4)D[由题意，锥体的高为BB1，底面为S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).]3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8πB[设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，所以r＝1,所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.]4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A．5πB．6πC．20πD．10πD[用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.]5．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A．54 B．54πC．58 D．58πA[设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圆锥＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.]二、填空题6．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________．eq\r(3)[设底面半径为r，则eq\f(1,3)πr2×4＝4π，解得r＝eq\r(3)，即底面半径为eq\r(3).]7．已知一个圆台的正视图如图所示，若其侧面积为3eq\r(5)π，则a的值为____．2[圆台的两底面半径分别为1，2，高为a,则母线长为eq\r(1＋a2)，则其侧面积等于π(1＋2)·eq\r(（1＋a2）)＝3eq\r(5)π，解得a2＝4，所以a＝2(舍去负值)．]8．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是________．eq\f(S,2)[如图所示，设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)πl2＝S，,πl＝2πr，))解得r＝eq\r(\f(S,2π)).所以圆锥的底面面积为πr2＝π×eq\f(S,2π)＝eq\f(S,2).]三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．[解]设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝eq\f(1,3)πl，得l＝6r.又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圆锥的高h＝eq\r(35)·eq\r(\f(15,7))，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×eq\r(35)×eq\r(\f(15,7))＝eq\f(25\r(3),7)π.10．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，截下一个棱锥C­A1DD1，求棱锥C­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．[解]已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥C­A1DD1的底面积为eq\f(1,2)S，高为h，故三棱锥C­A1DD1的体积为：VC­A1DD1＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)S))h＝eq\f(1,6)Sh，余下部分体积为：Sh－eq\f(1,6)Sh＝eq\f(5,6)Sh.所以棱锥C­A1DD1的体积与剩余部分的体积之比1∶5.[能力提升练]1．三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________．eq\f(1,4)[如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝eq\f(1,3)Sh，V1＝VE­ADB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,12)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).]2．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开