2025高考数学一轮复习-17.3-导数与函数零点【课件】

17.3-导数与函数零点讨论函数零点的个数举题说法1【解答】【解答】1故当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：【解答】已知函数f(x)＝aex－cosx－x(a∈R).(1)若a＝1，求证：f(x)≥0；根据函数零点情况确定参数2【解答】当a＝1时，f(x)＝ex－cosx－x，令g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－1，当x＜0时，g′(x)＜0，g(x)在(－∞，0)上为减函数，当x＞0时，g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以g(x)≥g(0)＝1，而cosx≤1，所以ex－x≥cosx，即f(x)≥0.已知函数f(x)＝aex－cosx－x(a∈R).(2)若f(x)在(0，π)上有两个极值点，求实数a的取值范围．【解答】2变式已知关于x的方程xex＝ax＋alnx有两个不相等的实数根x1，x2，求实数a的取值范围．(提示：xex＝ex＋lnx)【解答】随堂练习A．1 B．2C．3 D．4A【解析】2．若函数f(x)＝2x3－6x＋m有三个零点，则实数m的取值范围是

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)A．[－4，4] B．(－4，4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B【解析】【解答】配套精练A组夯基精练一、

单项选择题1．函数f(x)＝ex与g(x)＝x＋1的图象的交点个数为

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)A．0 B．1C．2 D．不确定B【解析】令h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，令h′(x)＝ex－1＝0，得x＝0.当x＜0时，h′(x)＜0，当x＞0时，h′(x)＞0.所以当x＝0时，h(x)取得最小值h(0)＝0，即h(x)＝ex－x－1只有一个零点，所以f(x)与g(x)的图象只有1个交点．【解析】f(x)＝ln(x＋1)－sinx，f′(x)＝－cosx.B【解析】【答案】C4．若函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，－2) B．(－∞，－3)C．(－4，－1) D．(－3，0)【解析】f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a，若f(x)存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极小值，则a＜0.【答案】B【解析】【答案】BC令f′(x)＝0，解得x＝1，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以当x＝1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(1)＝1，当x→0时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，要使得方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则0＜a＜1，所以C正确；其中x＝1是函数f(x)的极大值点，所以D不正确．6．已知函数f(x)＝x3－x＋1，则 (

)A．f(x)有两个极值点

B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线【解析】【答案】AC令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)图象的对称中心，将h(x)的图象向上平移1个单位长度后得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确．令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f(－1)＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．三、

填空题7．函数f(x)＝(1＋x2)ex－1的零点个数为_____．1【解析】因为f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(1＋x)2ex≥0，所以f(x)单调递增，又因为f(0)＝0，所以f(x)有且仅有1个零点．8．已知函数f(x)＝3xlnx－ax3＋6x(a＞0).若y＝f′(x)有且只有一个零点，则a的值为________．【解析】9．若函数f(x)＝ax－x2(a＞1)恰有两个零点，则a的值为_______．【解析】由f(x)＝ax－x2(a＞1)恰有两个零点，可得曲线y＝ax(a＞1)与抛物线y＝x2恰有2个交点．易知曲线y＝ax(a＞1)与抛物线y＝x2在(－∞，0)上有1个交点，则曲线y＝ax(a＞1)与抛物线y＝x2在(0，＋∞)上只有1个交点．当x＞0时，令f(x)＝0，得ax＝x2，方程两边取对数得xlna＝2lnx．因为a＞1，所以lna＞0，且由题意得该方程只有一个实数根，所以直线y＝xlna与曲线y＝2lnx只有一个公共点，所以直线y＝xlna是曲线y＝2lnx的切线．【解答】【解答】11．已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0).(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最大值；【解答】11．已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0).(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．②当a＜0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，得x＝ln(－a).当x∈(－∞，ln(－a))时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，也是最小值．函数f(x)不存在零点等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)＞0，解得－e2＜a＜0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2，0).【解答】14【解析】根据奇函数的对称性，g(x)在x∈[－2024，2024]上的最大值和最小值互为相反数，则g(x)max＋g(x)min＝M－7＋m－7＝0，故M＋m