计量经济学非线性回归模型的线性化

个人收集整理勿做商业用途个人收集整理勿做商业用途个人收集整理勿做商业用途以上介绍了线性回归模型.但有时候变量之间地关系是非线性地.例如yt=0+1+utyt=0+ut上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数地.可采用非线性方法进行估计.估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现.计算机地出现大大方便了非线性回归模型地估计.专用软件使这种计算变得非常容易.但本章不是介绍这类模型地估计.文档收集自网络，仅用于个人学习另外还有一类非线性回归模型.其形式是非线性地，但可以通过适当地变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型地估计与检验方法进行处理.称此类模型为可线性化地非线性模型.下面介绍几种典型地可以线性化地非线性模型.文档收集自网络，仅用于个人学习4.1可线性化地模型⑴指数函数模型yt=(4.1)文档收集自网络，仅用于个人学习b>0和b<0两种情形地图形分别见图4.1和4.2.显然xt和yt地关系是非线性地.对上式等号两侧同取自然对数，得文档收集自网络，仅用于个人学习 Lnyt=Lna+bxt+ut(4.2)文档收集自网络，仅用于个人学习令Lnyt=yt*,Lna=a*,则yt*=a*+bxt+ut(4.3)文档收集自网络，仅用于个人学习变量yt*和xt已变换成为线性关系.其中ut表示随机误差项.图4.1yt=,(b>0)图4.2yt=,(b<0)文档收集自网络，仅用于个人学习⑵对数函数模型 yt=a+bLnxt+ut(4.4)文档收集自网络，仅用于个人学习b>0和b<0两种情形地图形分别见图4.3和4.4.xt和yt地关系是非线性地.令xt*=Lnxt,则文档收集自网络，仅用于个人学习 yt=a+bxt*+ut(4.5)文档收集自网络，仅用于个人学习变量yt和xt*已变换成为线性关系.图4.3yt=a+bLnxt+ut,(b>0)图4.4yt=a+bLnxt+ut,(b<0)文档收集自网络，仅用于个人学习⑶幂函数模型yt=axtb(4.6)文档收集自网络，仅用于个人学习b取不同值地图形分别见图4.5和4.6.xt和yt地关系是非线性地.对上式等号两侧同取对数，得 Lnyt=Lna+bLnxt+ut(4.7)文档收集自网络，仅用于个人学习令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,则上式表示为 yt*=a*+bxt*+ut(4.8)文档收集自网络，仅用于个人学习变量yt*和xt*之间已成线性关系.其中ut表示随机误差项.(4.7)式也称作全对数模型.图4.5yt=axtb图4.6yt=axtb文档收集自网络，仅用于个人学习⑷双曲线函数模型1/yt=a+b/xt+ut(4.9)文档收集自网络，仅用于个人学习也可写成，yt=1/(a+b/xt+ut)(4.10)文档收集自网络，仅用于个人学习b>0情形地图形见图4.7.xt和yt地关系是非线性地.令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得文档收集自网络，仅用于个人学习 yt*=a+bxt*+ut已变换为线性回归模型.其中ut表示随机误差项.图4.7yt=1/(a+b/xt),(b>0)图4.8yt=a+b/xt,(b>0)文档收集自网络，仅用于个人学习双曲线函数还有另一种表达方式，yt=a+b/xt+ut(4.11)文档收集自网络，仅用于个人学习b>0情形地图形见图4.8.xt和yt地关系是非线性地.令xt*=1/xt，得 yt=a+bxt*+ut上式已变换成线性回归模型.种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据1899-1922年美国关于生产方面地数据研究得出地.地估计值是0.75，地估计值是0.25.更习惯地表达形式是文档收集自网络，仅用于个人学习yt=(4.25)这是一个非线性模型，无法用OLS法直接估计，但可先作线性化处理.上式两边同取对数，得：Lnyt=Ln0+1Lnxt1+2Lnxt2+ut(4.26)文档收集自网络，仅用于个人学习取yt*=Lnyt,0*=Ln0,xt1*=Lnxt1,xt2*=Lnxt2，有文档收集自网络，仅用于个人学习yt*=0*+1xt1*+2xt2*+ut(4.27)文档收集自网络，仅用于个人学习上式为线性模型.用OLS法估计后，再返回到原模型.若回归参数1+2=1，称模型为规模报酬不变型（新古典增长理论）；1+2>1，称模型为规模报酬递增型；1+2<1，称模型为规模报酬递减型.对于对数线性模型，Lny=Ln0+1Lnxt1+2Lnxt2+ut，1和2称作弹性系数.以1为例，文档收集自网络，仅用于个人学习1====(4.28)可见弹性系数是两个变量地变化率地比.注意，弹性系数是一个无量纲参数，所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数地大小.文档收集自网络，仅用于个人学习对于线性模型，yt=0+1xt1+2xt2+ut，1和2称作边际系数.以1为例，文档收集自网络，仅用于个人学习1=(4.29)文档收集自网络，仅用于个人学习通过比较(4.28)和(4.29)式，可知线性模型中地回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性系数地一个分量.文档收集自网络，仅用于个人学习例4.1（136P例3.4）略4.2非线性化模型地处理方法模型：无论通过什么变换都不可能实现线性化，对于这种模型称为非线性化模型.可采用高斯—牛顿迭代法进行估计，即将其展开泰勒级数后，再进行迭代估计方法进行估计.文档收集自网络，仅用于个人学习1、迭代估计法思想是：通过泰勒级数展开，先使非线性方程在某组初始参数估计值附近线性化，然后对这一线性方程应用OLS法，得出一组新地参数估计值.下一步是使非线性方程在新参数估计值附近线性化，对新地线性方程再应用OLS法，又得出一组新地参数估计值.不断重复上述过程，直至参数估计值收敛时为止.其步骤如下.文档收集自网络，仅用于个人学习1）对模型：在给定地参数初始值b10,b20…bp0展开泰勒级数：取前两项，便有线性近似：2）将上式左端看成组新地因变量，将右端看成一组新地自变量，这就已经成为标准线性模型，再对其就用OLS法，得出一组估计值.文档收集自网络，仅用于个人学习3）重复第一、二步，在参数估计值附近再做一次泰勒级数展开，得到新地线性模型，应用OLS法，又得出一组参数估计值：.文档收集自网络，仅用于个人学习4）如此反复，得出一组点序列直到其收敛为止.2、迭代估计法地EViews实现过程1）设定代估参数地初始值，方法有两种：A、使用Param命令设定，例如，Param10.52030则将待估地三个参数地初始值设成了0.5，0，0.B、在工作文件窗口中双击序列C，并在序列窗口直接输入参数地初始值.2）估计参数A、命令方式在命令窗口可以直接键入非线性模型地迭代估计命令NLS.格式为：NLS被解释变量，=非线性函数表达式例如，对于非线性回归模型估计命令为NLSy=c(1)*(x-c(2))/(x-c(3))B、菜单方式.在数组窗口“procs→makeepuation；在弹出地方程描述对话框中输入非线性回归模型地具体形式；y=c(1)*(x-c(2))/(x-c(3))选择估计方法为最小二乘法后单击（OK）例(P146例3.7)略4.3回归模型地比较当经济变量呈现非线性关系时，经常可以采用多个不同数学形式地非线性模型.如何选择？1、图开观察分析1）观察被解释变量和解释变量地趋势图.2）观察被解释变量和解释变量地相关图2、模型估计结果分析1）回归系数符号和大小是否符合经济意义，2）改变模型后，是否使决定系数地值明显提高.3）T检验与F检验.3、残差分析残差反映了模型未能解释部分地变化情况.残差分布表中，各期残差是否大都落在地虚线内.残差分布是否具有某种规律性.近期地残差分析情况.例1：此模型用来评价台湾农业生产效率.用台湾1958-1972年农业生产总值（yt），劳动力（xt1），资本投入（xt2）数据（见表4.1）为样本得估计模型，文档收集自网络，仅用于个人学习=-3.4+1.50Lnxt1+0.49Lnxt2(4.30)文档收集自网络，仅用于个人学习(2.78)(4.80)R2=0.89,F=48.45还原后得，=0.713xt11.50xt20.49(4.31)文档收集自网络，仅用于个人学习因为1.50+0.49=1.99，所以，此生产函数属规模报酬递增函数.当劳动力和资本投入都增加1%时，产出增加近2%.文档收集自网络，仅用于个人学习例2：用天津市工业生产总值（Yt），职工人数（Lt），固定资产净值与流动资产平均余额（Kt）数据(1949-1997)为样本得估计模型如下：文档收集自网络，仅用于个人学习LnYt=0.7272+0.2587LnLt+0.6986LnKt(3.12)(3.08)(18.75)R2=0.98,s.e.=0.17,DW=0.42,F=1381.4因为0.2587+0.6986=0.9573，所以此生产函数基本属于规模报酬不变函数.例3：硫酸透明度与铁杂质含量地关系（摘自《数理统计与管理》1988.4,p.16）某硫酸厂生产地硫酸地透明度一直达不到优质指标.经分析透明度低与硫酸中金属杂质地含量太高有关.影响透明度地主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等.通过正交试验地方法发现铁是影响硫酸透明度地最主要原因.测量了47个样本，得硫酸透明度（y）与铁杂质含量（x）地散点图如下(file:nonli01)：文档收集自网络，仅用于个人学习（1）y=121.59-0.91x(10.1)(-5.7)R2=0.42,s.e.=36.6,F=32（2）1/y=0.069-2.37(1/x)(18.6)(-11.9)R2=0.76,s.e.=0.009,F=142（3）y=-54.40+6524.83(1/x)(-7.2)(16.3)R2=0.86,s.e.=18.2,F=266（4）Lny=1.99+104.5(1/x)(22.0)(21.6)R2=0.91,s.e.=0.22,F=468还原，Lny=Ln(7.33)+104.5(1/x)y=7.33（5）非线性估计结果是y=8.2965R2=0.96,EViews命令Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X))例4中国铅笔需求预测模型（非线性模型案例，file:nonli6）中国从上个世纪30年代开始生产铅笔.1985年全国有22个厂家生产铅笔.产量居世界首位（33.9亿支），占世界总产量地1/3.改革开放以后，铅笔生产增长极为迅速.1979-1983年平均年增长率为8.5%.铅笔销售量时间序列见图4.21.1961-1964年地销售量平稳状态是受到了经济收缩地影响.文革期间销售量出现两次下降，是受到了当时政治因素地影响.1969-1972年地增长是由于一度中断了地中小学教育逐步恢复地结果.1977-1978年地增长是由于高考正式恢复地结果.1981年中国开始生产自动铅笔，对传统铅笔市场冲击很大.1979-1985年地缓慢增长是受到了自动铅笔上市地影响.文档收集自网络，仅用于个人学习初始确定地影响铅笔销量地因素有全国人口、各类在校人数、设计人员数、居民消费水平、社会总产值、自动铅笔产量、价格因素、原材料供给量、政策因素等.经过多次筛选、组合和逐步回归分析，最后确定地被解释变量是yt（铅笔年销售量，千万支）；解释变量分别是xt1（自动铅笔年产量，百万支）；xt2（全国人口数，百万人）；xt3（居民年均消费水平，元）；xt4（政策变量）.因政策因素影响铅笔销量出现大幅下降时，政策变量取负值.例如1967、1968年地xt4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977年地xt4值取-1）.文档收集自网络，仅用于个人学习由图4.22知中国自生产自动铅笔起，自动铅笔产量与铅笔销量存在线性关系.由图4.23知全国人口与铅笔销量存在线性关系.说明人口越多，对铅笔地需求就越大.由图4.24知居民年均消费水平与铅笔销量存在近似对数地关系.散点图说明居民年均消费水平越高，则铅笔销量就越大.但这种增加随着居民消费水平地增加变得越来越缓慢.图4.25显示政策变量与铅笔销量也呈线性关系.文档收集自网络，仅用于个人学习铅笔销售量时间序列（1961-1985）（文件名nonli6）Y,X1散点图Y,X2散点图Y,X3散点图Y,X4散点图文档收集自网络，仅用于个人学习基于上述分析建立地模型形式是yt=0+1xt1+2xt2+3Ln(xt3)+4xt4+ut(4.40)文档收集自网络，仅用于个人学习yt与xt3呈非线性关系.估计结果如下.=-907.94-2.95xt1+0.31xt2+170.19Lnxt3+45.51xt4(4.41)文档收集自网络，仅用于个人学习(-6.4)(-3.7)(4.8)(4.4)(12.6)R2=0.9885,DW=2.09,F=429,s.e.=10.34上式说明，在上述期间自动铅笔年产量每增加1百万支，平均使铅笔地年销售量减少2950万支.全国人口数每增加1百万人，平均使铅笔地年销售量增加310万支.对数地居民年均消费水平每增加1个单位，平均使铅笔地年销售量增加17亿支.一般性政策负面变动使铅笔地年销售量减少4.551亿支.当政策出现大地负面变动时，铅笔地年销量会减少9.102亿支.文档收集自网络，仅用于个人学习当yt对所有变量都进行线性回归时（见下式），显然估计结果不如(4.41)式好.=-254.26-3.29xt1+0.42xt2+0.66xt3+40.74xt4(4.42)文档收集自网络，仅用于个人学习(-12.0)(-3.0)(8.6)(3.5)(11.7)R2=0.9857,DW=1.77,F=346,s.e.=11.5案例5：厦门市贷款总额与GDP地关系分析（1990~2003，file:bank08）数据和散点图如下.从散点图看，用多项式方程拟合比较合理.Loant=0+1GDPt+2GDPt2+3xt3+utt=-24.5932+1.6354GDPt-0.0026GDPt2+0.0000027GDPt3文档收集自网络，仅用于个人学习(-2.0)(11.3)(-6.3)(7.9)R2=0.9986,DW=2.6例6钉螺存活率曲线（file:nonli3）（生长曲线模型）在冬季土埋钉螺地研究中，先把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检测存活个数，计算存活率.数据见表4.3.散点图见图4.20.文档收集自网络，仅用于个人学习yt,存活率(%)t,土埋月数100.0093.0192.3288.0384.7482.0548.4641.0715.085.293.5101.3110.512设定yt地上渐近极限值k=101（因为已有观测值yt=100，所以令k=101更好些.），得估计结果如下：文档收集自网络，仅用于个人学习估计式是：=-4.3108+0.7653t(4.38)文档收集自网络，仅用于个人学习(-14.8)(18.5)R2=0.97因为log(0.013)=-4.3108，所以b=0.013.则逻辑函数地估计结果是=(4.39)当t=10.5时，==2.38YYF100.099.6693.098.1792.395.1088.089.1284.778.5082.062.5048.443.4541.026.2615.043.503.451.301.630.500.77

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