《平面与平面垂直的性质》教学设计、导学案、同步练习

《8.6.3平面与平面垂直》教学设计

第2课时平面与平面垂直的性质

【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几

何初步》，本节课主要学习平面与平面垂直的性质及其应用.

课本从两垂直平面内的一个平面内找一条直线，考虑该直线与两面的交线，另一个平面

之间的关系，引入平面与平面垂直的性质定理。空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直

是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多,而且是空间问题平面化的典范空间中平面与

平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最高级”的定理（2）它往

往又是一个复杂问题的开端,即先由面面垂直转化为线面垂直,否则无法解决问题因此,面面

垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理教学目标。

【教学目标与核心素养】

课程目标学科素养

A.掌握平面与平面垂直的性质定理；1.逻辑推理:用平面与平面垂直的性质定理解决一些

B.运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题；

简单的问题；2..直观想象：平面与平面垂直的性质定理；

C.了解平面与平面垂直的判定定理与性质定

理之间的关系。

【教学重点】：平面与平面垂直的性质定理及其应用；

【教学难点】：用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题。

【教学过程】

教学过程教学设计意图

一、复习回顾，温故知新通过复习平面与平面垂

1、平面与平面垂直的定义直的定义和判定定理，引

2、平面与平面垂直的判定定理入本节新课。建立知识间

【答案】一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.的联系，提高学生概括、

二、探索新知类比推理的能力。

思考1如图，长方体中，a±0,----------7

（1）a里的直线都和P垂直吗？-------

£、1........……

⑵什么情况下a里的直线和P垂

/B

直？

【答案】（1）不一定（2）与AD垂直

思考2a^/3,aD/?=CD,AB^a,AB±CD,

通过思考，引入平面与平

垂足为B,那么直线AB与平面P的位置关系如何?

面存在的额性质定理，提

为什么？

高学生分析问题的能力。

【答案】垂直

证明：在平面月内作BE,CD,垂足为B,

则/ABE就是二面角二一。一£的平

面角.

■:a【B,AAB±BE

又由题意知ABXCD,且BEACD=B,

1.平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

符号表示：

a_L£,aC£=j,aua,a_L/=a_L£

关键点：①线在平面内：②线垂直于交线

作用：①它能判定线面垂直.

②它能在一个平面内作与这个平面垂通过例题讲解，让学生进

直的垂线.一步理解平面与平面垂

例1.如图，已知平面a，平面夕，直线直的性质定理的运用，提

高学生解决问题的能力。

a工B,aa,判断a与ar的位置关系。

解：在。内作羯近于a与犷交线的支线〃.

•••A1A

又“，

•*•。〃办.

乂aU%

•••a〃a.

即宜线”与平面a平行.

例2.如图，已知PA_1_平面ABC,平面PAB_1_平面PBC,

丁阴：如图S.6-34.过点八作AELPB.垂足为E.

二平面PAB一平面PBC.平面PABD平面PBC=PB.

.；AE1•平面「尤•

::BCU平面PBC

.；AE1BC.

pA上平面ABC,BCU平面ABC.

；PAJ.BC.

又pan.AE=A.

:.BC_L平面PAB-

三、达标检测

1.在空间中，下列命题正确的是（）通过练习巩固本节所学

A.垂直于同一条直线的两直线平行知识，通过学生解决问题

B.平行于同一条直线的两个平面平行的能力，感悟其中蕴含的

C.垂直于同一平面的两个平面平行数学思想，增强学生的应

D.垂直于同一平面的两条直线平行用意识。

【答案】D

【解析】A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相

交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中,

垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.

2.已知互相垂直的平面a,B交于直线1,若直线m,n满足m〃a,

n±B,贝!J()

A.m〃1

【答案】C

【解析】因为anB=l,所以luB,又n，B,所以n_Ll.

3.如图所示，三棱锥P-ABC中，平面PABJ_底

p

面ABC,且PA=PB=PC,则aABC是

三角形.

【答案】直角

【解析】解析设P在平面ABC上的射影为0,

•.•平面PAB_L底面ABC,平面PABC1平面ABC=AB,

AOGAB.

,.•PA=PB=PC,.,.OA=OB=OC,

...0是AABC的外心,且是AB的中点，

.♦.△ABC是直角三角形.

D_______卜

4.如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE//

，平面ABC,ZACB=90°,BE=EF=FC

B

=1,BC=2.

求证：BF_L平面ACFD。

【证明】延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.

因为平面BCFEJ"平面ABC,平面BCFEC平面ABC

=BC,且AC_LBC,ACu平面ABC,所以人(：_1平

面BCK，

因此BF±AC,

又因为EF〃BC,BE=EF=FC=1,BC=2,

所以ABCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFLCK.

又CKf!AC=C,CK,ACu平面ACFD,

所以BF_L平面ACFD.

四、小结通过总结，让学生进一步

1.平面与平面垂直的性质定理；巩固本节所学内容，提高

2、证明线面垂直的两种方法：概括能力,提高学生的数

线线垂直一线面垂直；面面垂直一线面垂直；学运算能力和逻辑推理

3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思能力。

想方法。

五、作业

习题8.610,20题

【教学反思】

本节课在介绍性质定理或结论前,让学生观察模型，自己猜想结论,然后引导学生对猜想

结行证明，引导过程中巧设问题,及时组织学生思考,交流,讨论。通过模型演示激发学生索新

知的欲望，通过“探究”、“猜想”等活动多维度构建学生“自主参与、自主探索活动，通过

学生思考、交流、讨论、发言多形式提供学生“展示自我、发展自我”的教平台，在突破重

难点的同时,注重培养学生空间概念,空间想象能力以及逻辑推理能力。

不同层次学生有所收获。遇到学生表述不准确或有错误时及时纠正,对待学生大胆的尝

试，给予充分的肯定，借此引导学生学会必要的思维策略,展现问题解决的途径,揭示研究问

题的基本方法,注重数学思想方法的渗透。

当然这节课还存在着很多不足之处，如课堂时间不足,导致该问题学生难以消化,未到预

期效果,等等,在这里就不再赘述。通过这次活动,我觉得自己在教学上收获很大,特别是很多

老师给我提出了许多宝贵意见，让我收益非浅。我期盼学校以后能多提供给我们年轻教师展

示自我的平台、提高教学水平的机会。

《8.6.3平面与平面垂直》导学案

第2课时平面与平面垂直的性质

【学习目标】

1.掌握平面与平面垂直的性质定理；

2.运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题；

3.了解平面与平面垂直的判定定理与性质定理之间的关系。

【教学重点】：平面与平面垂直的性质定理及其应用；

【教学难点】：用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题。

【知识梳理】

平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果_______有一直线垂直于这两个平面的_____,那

文字语言

么这条直线与另一个平面______

符号语言

巴

图形语言

①面面垂直=________

作用

②作面的垂线

【学习过程】

一、探索新知

思考1如图，长方体中，a±0,

匕C1

(1)a里的直线都和3垂直吗？

(2)什么情况下a里的直线和0垂直？

思考2a_L£,an^=CD,ABcza,AB±CD,垂足为B,那么直线AB与

平面B的位置关系如何？为什么？

yfr7

C

1.平面与平面垂直的性质定理O

符号表示：_________________________________________

关键点：①线在平面内；②线垂直于交线

作用：①它能判定线面垂直.

②它能在一个平面内作与这个平面垂直的垂线.

例1.如图，已知平面a_L平面/，直线a_L£,aga,判断a与a的位置关系。

例2.如图，已知PA_L平面ABC,平面PAB_L平面PBC,

求证：BC_L平面PAB.

【达标检测】

1.在空间中，下列命题正确的是（）

A.垂直于同一条直线的两直线平行

B.平行于同一条直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行

D.垂直于同一平面的两条直线平行

2.已知互相垂直的平面a,B交于直线1,若直线m,n满足m〃a,则（）

A.m//1B.m//nC.n±lD.m±n

3.如图所示,三棱锥P—ABC中，平面PAB，底面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是

三角形.

A*B

4.如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE_L平面ABC,ZACB=90°,BE=EF=FC=1,

BC=2.

求证：BF_L平面ACFD。

参考答案：

思考：（1）不一定（2）与AD垂直

思考2.垂直

证明：在平面夕内作BELCD,垂足为B,则NABE就是二面角a-C。-齐的平面角.

,：aA./3,AAB±BE

又由题意知ABLCD,且BEf]CD=B,

例1.

解：作a内作乖立于a交线的直线〃.

Va_LM

•••2.

又3,

a〃办.

又aQta.

a〃％

即M线a与平平a平行.

例2.

-用।如图8.6-34.过点A作AE_LPB.垂足为E.

匕年面PAB_平面PBC。平面PABfl平面PBC=PB.

:.AE一平面PBC

BCU平面PBC.

；皿BC

:.p.A_L平面ABC.BCU平面ABC.

:.PA1BC.

又PAf1AE=A.

BC一平面PAB.

达标检测

1.【答案】D

【解析】A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行

于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或

相交；D项正确.

2.【答案】C

【解析】因为anB=l,所以luB,又n_LB,所以n_LL

3.【答案】直角

【解析】解析设P在平面ABC上的射影为0,

•平面PAB_L底面ABC,平面PABC平面ABC=AB,

AOGAB.

•；PA=PB=PC,.\OA=OB=OC,

...0是AABC的外心,且是AB的中点,

/.AABC是直角三角形.

4.【证明】延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.

因为平面BCFEJ_平面ABC,平面BCFEC平面ABC=BC,且ACJ_BC,ACu平面ABC,所以

AC_L平面BCK,

因此BF_LAC.

又因为EF〃BC,BE=EF=FC=1,BC=2,

所以aBCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFLCK.

又CKCAC=C,CK,ACu平面ACFD,

所以BF_L平面ACFD.

《8.6.3平面与平面垂直》同步练习

第2课时平面与平面垂直的性质

一、选择题

1.设a,P是两个不同的平面，I,加是两条不同的直线，且/ua,muB()

A.若/_LA，则B.若a_LQ,贝

C.若〃/，则。〃力D.若a/甲,贝/

2.如图所示，在平行四边形ABCO中，ABLBD，沿3。将△ABD折起，使平面

AB£>_L平面SCO,连接AC,则在四面体4BCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为

()

A.1B.2C.3D.4

3.如图所示，三棱锥P—A3C的底面在平面a内，且AC_LPC,平面平面

PBC,点、P,A6是定点，则动点C的轨迹是()

A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉

两个点

4.已知平面a_L平面£,aC\/3=n,点Aea,A走〃，直线AB〃/?，直线ACJ_〃，

直线机||a,m\\/3,则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）

A.AB//mB.ACVmC.AB//PD.AC±/?

5.（多选题）给定下列四个命题：

A.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行：

B.若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

C.垂直于同一直线的两条直线相互平行；

D.若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

6.（多选题）如图所示，在直角梯形5CE厂中，NCBF=NBCE=90°,人。分别是

BfCE上的点，AD//BC,且A5=QE=25C=2AE（①）,将四边形AOE尸沿AO折

起，连接BE,BECE（②）.在折起的过程中，下列说法中正确的是（）

A.AC〃平面也产

B.四点不可能共面

C.若EFLCF,则平面A£）EF_L平面ABC。

D.平面8CE与平面巫?可能垂直

二、填空题

7.如图，四面体P—ABC中，Q4=PB=13,平面平面ABC,ZACB=90°,

AC=8,BC=6,则PC=

p

8.如图所示，AB,C,。为空间四点，在AABC中，AB=2,AC=BCf，

等边三角形以A8为轴运动，当平面平面ABC时，CD=.

9.平面a_L平面/?,。0月=/，〃u6，直线加_1_。（加，〃是两条不同

的直线），则直线机与〃的位置关系是.

10.己知PA_L正方形ABCD所在的平面，垂足为A,连接PB,PC,PD,则平面PAB,平

面PAD,平面PCD,平面PBC,平面ABCD中，互相垂直的平面有.

三、解答题

11.己知P是AABC所在平面外的一点，且_L平面ABC,平面PAC_L平面PBC.

求证：BC1AC.

12.如图，三棱锥P—A3C中，已知△ABC是等腰直角三角形，NABC=90°，^PAC

是直角三角形，NPAC=90°，平面PAC_L平面ABC.求证：平面PABJ_平面PBC.

《8.6.3平面与平面垂直》同步练习答案解析

第2课时平面与平面垂直的性质

一、选择题

1.设a,4是两个不同的平面，/,加是两条不同的直线，且/ua,mu/3()

A.若/_!_夕，则a_L/?B.若,则/

C.若则a%D.若a〃尸，则〃/m

【答案】A

【解析】

试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂

直，可得/J_Q,lua

可得。_L4

2.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB±BD.沿3。将△ABD折起，使平面

ABDJ_平面38,连接AC，则在四面体ABC。的四个面中，互相垂直的平面的对数为

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【解析】

VffiABDlffiBCD,AB±BD,AABl®BCD,又ABu面ABC,

二面ABCJ■面BCD,同理，面ACD_L面ABD.

故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对.

3.如图所示，三棱锥P—A3c的底面在平面a内，且AC_LPC,平面Q4CJL平面

PBC,点P,A,3是定点，则动点C的轨迹是()

A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆，但要去掉

两个点

【答案】D

【解析】

因为平面PAC_L平面PBC,AC1PC,平面PACA平面PBC=PC,

ACu平面PAC,所以AC_L平面PBC.

又因为BCu平面PBC,所以ACLBC.所以NACB=90°.

所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.

选D.

4.已知平面a，平面月，。0月=〃，点Aea,Ae/，直线直线AC，〃，

直线机||a,m\\j3,则下列四种位置关系中，不一定成立的是()

A.AB//mB.AClmC.AB//J3D.AC±J3

【答案】D

【解析】如图所示:

由于〃z//a,mlip,二口尸=〃，所以加〃〃，又因为AB//〃，所以AB//m,故

A正确，

由于ACJ_〃，mlln,所以ACLm,故B正确，

由于AB//〃，〃u月，AB在£外，所以AB//，，故C正确；

对于I）,虽然AC，〃，当AC不一定在平面a内，故它可以与平面夕相交、平行，不

一定垂直，所以D不正确；

故答案选D

5.（多选题）给定下列四个命题：

A.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

B.若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直：

C.垂直于同一直线的两条直线相互平行；

D.若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

【答案】BD

【解析】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故A

错误；由平面与平面垂直的判定可知B正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相

交或者异面，故C错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与

另一个平面垂直，故D正确.综上，真命题是BD.

故选：BD

6.（多选题）如图所示，在直角梯形5CE尸中，NC8E=NBCE=90°,AO分别是

8ECE上的点，AD//BC,且AB=OE=25C=2AF（①）,将四边形4）所沿折

起，连接8E，8£CE（②）.在折起的过程中，下列说法中正确的是（）

D

①②

A.AC〃平面

B.8,C,E,E四点不可能共面

C.若EFLCF,则平面ADE/_L平面ABC。

D.平面BCE与平面BEE可能垂直

【答案】ABC

【解析】选项A中，连接AC,取AC的中点。，BE的中点M，

连接MQMF,MO||O£\iLMO=；OE,

而AF//DE且A.F=—DE,

2

所以4尸||MO且AF=MO

所以四边形AOMF是平行四边形，

所以AC〃尸M,而ACa平面BEE，R0u平面BEE，

所以AC〃平面8石厂，

所以A正确：

选项B中，设8,C,E,F四点共面，

因为BC〃AD,BCz平面A£)£R,ADu平面AOER，

所以8C〃平面45瓦

而8Cu平面BCEF,平面BCEFD平面ADEF=EF，

所以BCI]EF,

所以AO〃EF,这与己知相矛盾，

故8C,E,产四点不可能共面，

所以B正确；

选项C中，连接Cf。/7,

在梯形AOEF中，易得EF上FD,

又EFLCF,FD,CFu平面CDF,FDCCF=F,

所以防_L平面CDE

而CDu平面CDF,所以CD_L功，

而8_LAD,£：£4。匚平面4£>麻，且EF与AD必有交点，

所以CD_L平面A£>E/，

因为CDu平面ABC。，

所以平面ADEF±平面ABCD,

所以C正确；

选项D中，延长A尸至G，使得AE=FG,连接BG,EG,

AD±AF，AD±AB，A£ABu平面AB产，AFoAB^A,

所以AOJ_平面A5E,

而8C〃AO,所以3CL平面A5产，

因为BCu平面3CE,所以平面BCEJ"平面A5产，

过F作FNLBG于N,FNu平面ABF,平面BCED平面A5/=BG,

所以FN_L平面BCE,

若平面BCE_L平面B£F，

则过户作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，

故前后矛盾，

所以D错误.

故选：ABC.

二、填空题

7.如图，四面体P-ABC中，P4=PB=13,平面B4B_L平面ABC,ZACB=90°,

AC=8,BC=6,则PC=

P

【解析】

取AB的中点E，连接PE,EC.

因为？AC890?,AC8,BC=6,所以AB=10,所以CE=5.

因为PA=PB=13,E是AB的中点，所以产后人AB,PE=12.

因为平面B46_L平面ABC,平面平面ABC=AB，PEu平面抬6，

所以PEL平面ABC.

因为CEu平面ABC,所以PE上CE.

在Rt^PEC中，pc=PE1+CE2=13.

8.如图所示，AB,C,。为空间四点，在—43。中，AB=2,AC=BC=6,

等边三角形A£>8以A6为轴运动，当平面458J_平面ABC时，CD=.

【答案】2.

【解析】取AB的中点E，连接OE,CE.因为△AD3是等边三角形，所以

当平面4D3_L平面ABC时，因为平面ADBc平面ABC=AB，且DEL43,所以

平面A