专题05指对幂比较大小（解析版）

专题05指对幂比较大小一、单选题1．已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数的性质，即可得到答案；【详解】因为，，所以，，排除A，C.又因为即，所以，故，故选：D.2．已知函数，若，则有（）A． B．C． D．【答案】A【分析】确定函数的单调性，再根据对数函数、指数函数性质比较的大小后可得结论．【详解】是增函数，是减函数，因此在是增函数，且此时．在时是增函数，所以在定义域内是增函数．，，，即，所以．故选：A．3．已知定义在上的奇函数，当时，是增函数，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．【详解】解：，是奇函数，，，，则，当时，是增函数，，即，故选：C．4．已知，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性分析，，的范围即可比较大小.【详解】因为是减函数，所以，因为在单调递增，所以，因为在单调递减，所以，所以，故选：D.5．已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数单调性判断【详解】因为，且函数在R上为减函数，所以，即．又，所以，故选：D．6．已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、三个数的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.7．已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可求解.【详解】解：，，，故，故选:B.8．设，，，则，，的大小是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】因为，，，所以，，的大小是，故选：C9．若，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂函数及对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，在上单调递增，所以，所以；因为，即，所以；故选：A10．设函数为定义在上的函数，对都有：，；又函数对，，，有成立，设，，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件得函数为偶函数、周期为2，在上单调递增，结合性质化简可得，，最后根据单调性得结果.【详解】∵，，∴，又∵对，，，有成立，∴函数为偶函数、周期为2，在上单调递增，所以，，因为，其中，所以.由函数在上单调递增，可知，故选：B.11．已知且，且，且，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，进而利用导数研究的单调性，再结合函数单调性与题意，比较的大小关系【详解】解：由题意，令，则．当时，；当时，．故在上单调递减，在上单调递增．因为，，故，即，所以．同理由，，得，．因为，所以，所以.故选：A．12．若实数，，满足，其中，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先判断的范围，以及由条件可知，，，再分别代入选项，根据单调性和特殊值比较大小.【详解】因为，其中，所以，，，且，，所以，，即，故A错误；，，即，故B错误；，，因为，所以，即，即，故C错误；，，即，故D正确.故选：D.13．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．【详解】解：对任意，，均有成立，此时函数在区间为减函数，是偶函数，当时，为增函数，，，，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即.故选：D．14．已知、、，且、、，下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题首先可将题中条件转化为、、，然后设，通过导函数求出的单调性，则、、，最后通过即可得出结果.【详解】即，即，即，设，则，，，，当时，，是减函数，当时，，是增函数，因为、、，所以、、因为，所以，，故选：C.15．设，，，则a，b，c大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的性质，比较的大小即可.【详解】由，即，又，可得，即，∴.故选：D.16．已知实数满足，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数函数的单调性及对数的运算即可得解.【详解】，，同理又，又，，，，即，，，故选：B17．已知，则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】通过构造函数，同除以6可变形得，利用导数研究增减性，即可判断大小.【详解】，，，令，则，当，，单调递增；当，，单调递减，，，，，∴，故选：A．18．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题中a，b，c的形式构造函数，利用二次求导的方法判断函数的单调性，根据单调性即可比较大小.【详解】因为，，，所以令，则，令，则，∴在上单调递减，，∴恒成立，∴在上单调递减．∵，∴，即，所以，所以，即，故选：D．19．已知，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，借助中间量比较大小即可.【详解】解：因为，，，所以.故选：C.20．已知，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可判断出，在比较的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，由于，即比较小于，把与同时五次方即可比较出大小.【详解】，，，，故.故选：B.21．已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）（）A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【答案】C【分析】根据已知条件，应用对数函数的单调性、对数的换底公式，可比较m，n，的大小关系，再由指数的性质有p＝，即知m，n，p的大小关系.【详解】由题意得，m＝log4ππ，，∵lg4＞lgπ＞lge＞0，则lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，∴，∴，而p＝，∴n＜m＜p．故选：C．22．已知，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用对数函数的单调性比较对数式的大小．【详解】∵，，∴比较，，的大小关系即可．1、当时，，，故，，故，．2、令，则，．由，即，则．综上，.故选：D．23．已知，则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导函数研究其单调性，进而比较出a，b，c的大小关系【详解】，令，，令，，∴在上单调递减，，∴恒成立，∴在上单调递减.∵，∴，即，则，即.故选：D.24．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a【答案】D【分析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.【详解】.构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.又∵，∴a>b>2.故选：D.【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.二、多选题25．已知实数，满足,则下列关系式中恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据指数函数的单调性，结合正弦函数的单调性、幂函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以.A：当时，显然符合，但是不成立，故本关系式不恒成立；B：在上是增函数，故，故本关系恒成立；C:当时，显然符合，但是没有意义，故本关系式不恒成立；D：因为在上是增函数，所以，故本关系恒成立.故选：BD.【点睛】本题考查了指数函数、正弦函数、幂函数的单调性应用，属于基础题.26．下列不等式正确的有（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】选项A，利用对数运算对不等式两边的式子进行化简，然后利用对数函数的单调性即可得解；选项BD，构造函数，然后求导，利用函数的单调性即可得解；选项C，作差，然后利用基本不等式即可得解．【详解】，，因为，所以，选项A错误；构造函数，则，易知函数在上单调递增，在上单调道减，所以，，可得，，选项BD正确；，因为，所以，选项C正确．故选：BCD27．已知，且，则（）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由对数函数性质可知，为单调减函数，可判定A正确；由基本不等式，可判定B错误；由指数函数和幂函数性质，可判定C错误；令的单调性，可判定D正确．【详解】对于A中，由，且，可得，，由对数函数性质可知，为单调减函数，因为，，，所以，所以A正确；对于B中，由，，可得，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以B错误；对于C中，由，，因为指数函数性质可知，都是单调递减函数，，所以，所以C正确；对于D中，令，是单调递增函数，因为，所以D正确．故选：ACD．28．已知，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据题目所给不等式判断的大小及符号，然后运用不等式的性质判断A，利用基本不等式判断B选项，利用不等式的性质及对数函数的单调性判断C选项，举反例判断D选项.【详解】，，则，，A正确；，，当且仅当时取等号，又，，B正确；，，，C错误；取时，，此时，D错误.故选：AB29．已知函数，若，且，则下列不等式成立得有（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由，结合函数解析式可得，可判断选项A；由结合均值不等式可判断选项B、C;由可得，可得可判断选项D.【详解】选项A.由，即，也即由，则，所以，即，故选项A正确.选项B.由选项A的推导可得，所以当且仅当，即时取得等号，当时，由，可得与条件矛盾.所以，故B正确.选项C.,当且仅当,即时，等号成立，故C正确.选项D.由，则，则由，则，则，所以，故D不正确.故选：ABC30．、为实数且，则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项的正误，利用指数函数的单调性可判断B项的正误，利用作差法可判断C选项的正误，利用基本不等式可判断D选项的正误.【详解】因为、为实数且.对于A选项，，即，A选项错误；对于B选项，由已知可得，所以，，B选项正确；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，但，所以，，C选项正确；对于D选项，，当且仅当时，等号成立，但，所以，，则，D选项正确.故选：BCD.31．已知，，下列不等式恒成立的有（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用指数函数的单调性可判断A选项正误，利用对数函数的单调性可判断C选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误，利用基本不等式可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数为上的减函数，由，可得，A选项正确；对于B选项，取，则，B选项错误；对于C选项，函数为上的增函数，因为，则，则，C选项错误；对于D选项，由基本不等式可得，所以，，即，因为，所以，，D选项正确.故选：AD.32．已知实数，且，，，则（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由题意，可表示为函数，，分别与函数交点的横坐标，作出函数图像，数形结合可得的大小关系；对左右两边取对化简得，同理可得，，然后结合函数的单调性判断大小.【详解】由题意，可表示为函数，，分别与函数交点的横坐标，分别作出函数图像，由图可知，，故B正确；因为，左右两边取对可得，即，同理可得，，因为函数在上为增函数，且，所以，即，故D正确.故选：BD【点睛】在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确，如果不同底也不同指数时，可以考虑图像法或者取对数两两比较的方法比较大小.33．已知，且，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】因为，且，对A，，所以，故A正确；对B，取，所以，故B错误；对C，，当且仅当取等号，又因为，当且仅当取等号，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故C正确；对D，当，，所以；当，，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故D正确.故选：ACD.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．34．若正实数a，b满足且，下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】由已知不等式，求出之间的关系，结合选项一一判断即可．【详解】由有或，对于选项A，当或都有，选项A错误；对于选项B，比如当时，有故不成立，选项B错误；对于C，因为，所以，则，选项C正确；对于选项D，因为，所以，选项D正确，故选：CD．【点睛】思路点睛：由已知不等式，求出之间的关系，而对于四个选项真假的判断，如果是假命题，可以举出特例，是真命题，要进行证明．35．若实数，则下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可判断ABD选项的正误；构造函数，利用导数分析该函数的单调性，可判断C选项的正误.【详解】令，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为，，所以，所以，A正确；同理，所以，所以，B错误；令，，则，故在上单调递减，，所以，故，D正确；对于C，，结合选项A的讨论，与的大小不确定，故C不一定成立.故选：AD.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.36．若实数x，y满足，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于A：利用反比例函数的单调性可判断；对于B：由于不能判断的大小关系，所以不能比较的大小关系，由此可判断；对于C：假设成立，两边平方化简整理得完全平方式，可判断；对于D：令函数，求导，分析其导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可判断.【详解】对于A：因为，所以，故A正确；对于B：因为，所以不能判断的大小关系，所以不能比较的大小关系，故B不正确；对于C：假设成立，则，化简得在恒成立，故C正确；对于D：令函数，则，又，所以，所以函数在上单调递增，又，所以，所以，即，故D正确，故选：ACD.【点睛】方法点睛：比较代数式的大小关系可运用：1、不等式的性质；2、作差比较法；3、假设不等式成立，运用分析法得出恒成立的不等式；4、构造合适的函数，运用导函数分析函数的单调性可得出大小关系.37．若，则（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】A．根据已知条件先分析函数的单调性，然后比较出的大小；B．取，进行判断即可；C．取，进行判断即可；D．根据指数函数的单调性以及的大小关系进行判断.【详解】A．设，因为可化为，则，根据指数函数的性质，可得单调递增，单调递减，因此在上单调递增，所以，故正确；B．由A项得，当，时，，，此时，故错误；C．由A项得，当，时，，故