三角形全等的判定-构造全等三角形课件沪科版数学八年级上册

沪科版八年级上册数学构造全等三角形一、利用角平分线构造全等三角形①角平分线可以得到两个相等的角。

如右图，若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC.

②角平分线上的点到角两边的距离相等。如右图，若射线OC是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.1、角平分线的定义EFACBOP证明：在Rt△OEP和Rt△OFP中∴Rt△OEP≌Rt△OFP（AAS）∴PE=PF如图，OC平分∠AOB，P为OC上一点，请利用下图，过点P作一对全等三角形。一、利用角平分线构造全等三角形2、利用角平分线构造全等三角形的方法：AOPCB①作双垂直，造全等.条件：OC是角平分线②截等线段，造全等.条件：OC是角平分线，OE=3cm

一、利用角平分线构造全等三角形EFACBOPEFACBOP3cm方法：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F结论：△EOP≌△FOP（AAS）方法：在OB上截取OF=OE=3cm

结论：△EOP≌△FOP（SAS）3cm③作垂分线，构全等.条件：OC是角平分线，EP⊥OC

④作双平行，构全等.条件：OC是角平分线，EP//OB

一、利用角平分线构造全等三角形常用技巧：EFACBOPFEACBOP方法：延长EP交OB于F方法：作PF//OA交OB于F结论：△EOP≌△FOP（ASA）结论：△EOP≌△FOP（ASA）角平分线模型构造全等三角形在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。二、利用“倍长中线法”构造全等三角形1、中线的定义DABC如图，△ABC中，D是BC的中点，则AD是中线二、利用“倍长中线法”构造全等三角形2、利用“倍长中线法”构造全等三角形的方法：如图，△ABC中，AD是BC边中线.①直接倍长法：DABCE此时△ADC≌△EDB（SAS）延长AD到E，使DE=AD，连接BE二、利用“倍长中线法”构造全等三角形②间接倍长法EDABCMN延长MD到N，使DN=MD，连接CN作BE⊥AD交AD的延长线于EDABCF△CFD≌△BED（AAS）△BMD≌△CND（SAS）三、利用“截长补短法”构造全等三角形（1）题型：适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目（2）角含半角模型（存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点）往往通过补短的方法，证明线段之间的关系①90°含45°

②120°含60°

三、利用“截长补短法”构造全等三角形①90°含45°

如图：正方形ABCD中，∠EAF=45°，求证BE+DF=EF证明方法：延长EB至点F'，使BF'=DF，45°ABDCEF45°ABDCEFF'45°ABDCEFF'证明△ABF'≌△ADF（SAS）证明△AEF'≌△AEF（SAS）进而得证BE+DF=EF三、利用“截长补短法”构造全等三角形②120°含60°

如图：等边三角形ABC中，∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°，求证BM+CN=MN证明方法：延长NC至点M'，使CM'=BM，DABCMN60°ABCMN60°M'证明△DCM'≌△DBM（SAS）证明△NDM'≌△NDM（SAS）进而得证BM+CN=MNDABCMN60°M'D三、利用“截长补短法”构造全等三角形（3）截长补短法如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证AB=AC+CD12ABCD三、利用“截长补短法”构造全等三角形（3）截长补短法①截长法构造全等三角形在较长线段上截取一段等于其中一条较短线段再证明剩下的线段与另一条较短线段相等12ABCDE12ABCDE②补短法构造全等三角形延长短边的方式使两短边拼合到一起三、利用“截长补短法”构造全等三角形（4）总结：解决此类问题的常用技巧①角含半角只能补短，不能截长。②线段和差及倍半，延长缩短可实验。△EAD≌△FCD（AAS）例.如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，试说明AD=CD.分析：∠EAD=∠CDE=DF作DE⊥BA,DF⊥BC∠BAD+∠C=180°,∠BAD+∠EAD=180°DBACAD=CDEF总结：角平分线模型作双垂直，构造全等三角形证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，

作DF⊥BC于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC∴DE=DF∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠EAD=180°∴∠EAD=∠C在△EAD和△FCD中∴△EAD≌△FCD（AAS）∴AD=CD例.如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，试说明AD=CD.DBACEF∠DEC=∠C分析：∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°证△ABD≌△EBD（SAS）在BC上截取BE=BAAD=ED，∠A=∠BEDED=CD=ADE例.如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，试说明AD=CD.ADCB总结：角平分线模型截等线段，构造全等三角形在边BC上截取BE=BA，连接DE∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD在△ABD和△EBD中∴△ABD≌△EBD（SAS）∴AD=ED，∠A=∠BED∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°∴∠DEC=∠C∴CD=ED=AD例.如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，试说明AD=CD.证明：即AD=CDEADCB例.

如图在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C．分析：∠2=∠BFD延长AD交BC于点FAD⊥BEBE是角平分线△ABD≌△FBD（ASA）∠BFD=∠2=∠1+∠CADCBE12F∴∠ADB=∠FDB=90°∴∠2=∠BFD

证明：延长AD交BC于F，∴∠ABD=∠FBD又∵BE平分∠ABC，在△ABD和△FBD中总结：“角平分线+垂直”模型构造全等三角形∵AD⊥BE，外角∴△ABD≌△FBD（ASA）又∵∠BFD是△ACF的外角∴∠BFD=∠1+∠C即∠2=∠1+∠C例.

如图在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C．ADCBE12F例.

如图，△ABC中，AD是中线，AB=4，AC=6，求AD的取值范围.分析：BE-AB<AE<BE+AB延长AD到点E,使DE=AD，连接BE△ADC≌△EDB（SAS）BE=AC2<AE<101<AD<5ADBCE466解：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE∵AD=DE，∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE=AC总结：“倍长中线法”全等三角形∵AD是中线∴BD=CD在△ABE中，根据三角形三边关系定理，得BE-AB<AE<BE+AB即2<2AD<10，所以AD的范围是1<AD<5.三角形的三边关系例.

如图，△ABC中，AD是中线，AB=4，AC=6，求AD的取值范围.ADBCE466∴2<AE<10例

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如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.求证:∠C=∠BAE分析：延长AE到F,使EF=AE,连接DF△ABE≌△FDE（SAS）∠BDA=∠DAC+∠ACD∠ADC=∠ADFACDBEF△ADF≌△ADC（SAS）∠BAE=∠EFDAB=DF∠BDA=∠BAD∠BAD=∠BAE+∠EAD

=∠EFD+∠EAD∠C=∠BAE证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF∵AE是△ABD的中线.∴BE=ED∴AB=DF，∠BAE=∠EFD∴△ABE≌△FDE（SAS）∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠EFD+∠EAD例

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如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.求证:∠C=∠BAEACDBEF在△ABE和△FDE中∵∠BDA是△ADC的外角，∵∠BDA=∠BAD∴∠BDA=∠DAC+∠ACD

∴∠ADF=∠ADC∵AB=DC，∴DF=DC∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD总结：“倍长中线法”全等三角形外角例

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如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.求证:∠C=∠BAE∴∠AFD=∠C=∠BAE∴△ADF≌△ADC（SAS）ACDBEF在△ADF和△ADC中证明：例.如图，△ABC是等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于M，交AC于点N,连接MN,求证MN=BM+NC.分析：△BDF≌△CDN（SAS）延长AB至F，使BF=CN，连接DFADCBMNF∠BDF=∠NDC，DF=DN∠MDF=∠MDN△DMN≌△DMF（SAS）MN=BM+NC∵∠MDN=60°，∠BDC=120°∴∠BDF=∠NDC，DF=DN证明：延长AB至F，使BF=CN，连接DF

△BDC是等腰三角形

∠BDC=120°总结：“角含半角”只能补短全等三角形∵△ABC是等边三角形∴∠FBD=∠NCD=90°∵BD=CD，FB=NC∴△BDF≌△CDN（SAS）∴∠NDC+∠MDB=∠FDB+∠MDB=60°即∠FDM=∠NDM又∵DF=DN，MD=MD∴△DMN≌△DMF（SAS）∴MN=MF=BM+BF=BM+NC例.如图，△ABC是等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于M，交AC于点N,连接MN,求证MN=BM+NC.ADCBMNF例.如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.

分析：△ABE≌△FBE（SAS）要证BC=AB+CD.在BC上取点F，使BF=BA考虑截长补短法∠1=∠2，∠3=∠4∠A=∠5ABCDEF123456∠A+∠D=180°∠6=∠D△CDE≌△CFE（AAS）CD=CFBC=AB+CD∠5+∠6=180°证明：在BC上取点F，使BF=BA，连接EF总结：“截长补短法”全等三角形∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠A=∠5平行线的性质∴△ABE≌△FBE（SAS）∴∠6=∠D∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°∵∠5+∠6=180°∴△CDE≌△CFE（AAS）∴CF=CD∵BC=BF+CF∴BC=AB+CD例.如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E