2017年06月15初中数学组卷

初二数学

一.选择题（共20小题）

1.如图，直线I：y=x+l交y轴于点Ai，在x轴正方向上取点Bi，使OBi=OAi；

过点Bl作A2B1，X轴，交I于点A2，在X轴正方向上取点B2，使B1B2=B1A2；过

点B2作A3BzJ_X轴,交I于点A3,在X轴正方向上取点B3,使B2B3=B2A3；…记4

OA1B1面积为S1，△BAB2面积为S2,Z\B2A3B3面积为S3，…则S2017等于（）

2.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动

点P从点A出发，沿A->D->E->F->G->B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时

停止（不含点A和点B）,则4ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是

（）

3.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），

点E在射线BC上，且PE=PB.设AP=x,APBE的面积为y.则能够正确反映y

与x之间的函数关系的图象是（）

4.甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶

2h,并且甲车途中休息了0.5h,如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）

的函数图象.则下列结论：

（1）a=40,m=l；（2）乙的速度是80km/h；

（3）甲比乙迟工h到达B地；（4）乙车行驶旦小时或11小时，两车恰好相距50km.

444

正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

5.在△ABC中，点。是AABC的内心，连接OB、OC,过点。作EF〃BC分别交

AB、AC于点E、F,已知BC=a（a是常数），设^ABC的周长为y,AAEF的周长

列四个结论中，错误的是（）

A.如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C.如果5是方程M的一个根，那么!是方程N的一个根

5

D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=l

7.关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一

元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这

两个方程的根都负根；②（m-1）2+（n-1）222；③-1W2m-2nWl,其中

正确结论的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.设Xi、X2是一元二次方程x?+x-3=0的两根，则xj-4X2?+15等于（）

A.-4B.8C.6D.0

9.关于x的方程ax?-（3a+l）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2,且有

Xi-xix2+x2=l-a,则a的值是()

A.1B.-1C.1或-1D.2

10.为了创建国家森林城市，某市大力实施生态工程建设，提高城市森林覆盖率,

力争2010年达到48%的目标，已知2008年该市森林覆盖率为44%,设从2008

年起该市森林覆盖率的年平均增长率为X,则可列方程()

A.44(l+2x)=48%B.44(l+2x)=48C.44(1+x)2=48%D.44(l+x)2=48

11.已知方程x2+(2k+l)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,k的取值是()

A.-3或IB.-3c.iD.3

12.已知二次函数y=ax?+bx+c(a#0)的图象如图所示，给出以下结论：

①a+b+cVO；②a-b+c<0；③b+2aV0；④abc>0.

其中所有正确结论的序号是()

13.如图，二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象经过点(1,2)且与x轴交点的

横坐标分别为X],X2,其中-IVxiVO,lVx2V2,下列结论：4a+2b+c<0,2a+b

<0,b2+8a>4ac,a<-1,其中结论正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

14.已知二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的图象如图，在下列代数式中(1)a+b+c

>0；(2)-4a<b<-2a(3)abc>0；(4)5a-b+2c<0；其中正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

15.定义符号min{a,b}的含义为:当a2b时min{a,b}=b；当aVb时min{a,

b)=a.如：min{1,-3)=-3,min{-4,-2}=-4.则min{-x2+l,-x}的最

大值是()

A.娟TB.>+1C.1D.0

22

16.边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上，点C在y正半轴上，将正

方形OABC绕顶点。顺时针旋转75°,如图所示，使点B恰好落在函数y=ax2(a

<0)的图象上，则a的值为()

A.-V2B.-1C.一3D.jZl

43

17.有两个全等的含30。角的直角三角板重叠在一起，如图，将△ABC绕AC的

中点M转动，斜边AB刚好过AABC的直角顶点C,且与AABC的斜边AB交于

点N,连接AA<UC、AC.若AC的长为2,有以下五个结论：①AA，=1；②UC

±A,B,；③点N是边AB的中点；④四边形AACU为矩形；⑤A'N=B'C=L,其中正

2

18.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0,3）,ZAOB=90°,ZB=30°.将

△AOB绕点0顺时针旋转一定角度后得到△A9B，，并且点A恰好好落到线段AB

上，则点A的坐标为（）

A.号李

19.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,现有一块足够大的直

角三角板的直角顶点与点0重合，当直角三角板绕着点0旋转时，两条直角边

OP、OQ分别保持与边AB、边BC相交于点E、F,连结EF,下列结论：①EF=OB,

②EF=&OF；③当EF〃AC时，4BEF的周长最小；④当BE变化时，四边形OEBF

的面积也随之变化.其中结论正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

20.4ABC中，AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点，过点P作PDLAB于点

D,PE_LAC于点E,则PD+PE的长是（）

A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5

二.解答题（共10小题）

21.已知一次函数y=-4+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,四边形AOBC

2

(0是原点)的一组对边平行，且AC=5.

(1)求点A、B的坐标；(2)求点C的坐标；

(3)如果一个一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k<0)的图象经过点A、C,

求这个一次函数的解析式.

22.如图，在长方形ABC0中，点B(8,6),

(1)点M在边AB上，若△0CM是等腰三角形，试求M的坐标；

(2)点P是线段BC上一动点，0WPCW6.已知点D在第一象限，是直线y=2x

-6上的一点，若4ADP是等腰三角形，且NADP=90。，请求出点D的坐标.

23.如图，平面直角坐标系中，矩形0ABC的对角线AC=12,ZACO=30°,过点G

(0,-6)作GF_LAC,垂足为F,直线GF分别交AB、OC于点E、D,

(1)直接写出B、C两点的坐标；B；C；

(2)求直线DE的解析式；

(3)判断三角形AOF形状，并说明理由；

(4)若点M在直线DE上，平面内是否存在点P,使以。、F、M、P为顶点的

四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

24.快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行

驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地.慢车到达

甲地比快车到达甲地早上小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲

2

地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函

数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接写出快、慢两车的速度；

（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；

（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案.

25.如图，直线y=4-x与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意

一点（A、B两点除外），过M分别作MCLOA于点C,MDLOB于点D.

(1)当点M在AB上运动时，则四边形OCMD的周长=.

(2)当四边形OCMD为正方形时，将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，设

平移的距离为a(0<aW4),在平移过程中，当平移距离a为多少时,正方形OCMD

的面积被直线AB分成1：3两个部分？

26.已知在关于x的分式方程比和一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)

X-1

n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数.

(1)求k的取值范围；

(2)当方程②有两个整数根xi、X2,k为整数，且1<=01+2,n=l时，求方程②的

整数根；

(3)当方程②有两个实数根xi、X2，满足Xi(xi-k)+x2(x2-k)=(xi-k)(x2

-k),且k为负整数时，试判断|m|W2是否成立？请说明理由.

27.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是RtaABC

和RtABED边长，易知虹二回口这时我们把关于x的形如ax2+&cx+b=0的一

元二次方程称为“勾系一元二次方程

请解决下列问题：

(1)写出一个“勾系一元二次方程”；

(2)求证：关于x的"勾系一元二次方程”ax2+&cx+b=0必有实数根；

(3)若x=-l是"勾系一元二次方程”ax2+acx+b=0的一个根，且四边形ACDE

的周长是6&,求AABC面积.

E

b7

CaBbD

28.已知关于x的方程（n?-1）x?-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m是

正整数）.ZiABC的三边a、b、c满足c=2^,m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0.

求：（1）m的值；（2）4ABC的面积.

29.已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P,与y轴交于点A,与直线OP交于点B.

（1）如图1,若点P的横坐标为1,点B的坐标为（3,6）,试确定抛物线的解

析式；

（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且SAABM=3,

求点M的坐标；

（3）如图2,若点P在第一象限，且PA=PO,过点P作PD_Lx轴于点D.将抛

物线y=x?+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D,该抛物线与x轴的另一个交

点为C,请探究四边形OABC的形状，并说明理由.

30.如图，点A（-2,0）、B（4,0）、C（3,3）在抛物线y=ax?+bx+c上，点D

在y轴上，且DCJ_BC,NBCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于

点E、F.

（1）求抛物线的解析式；

（2）CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能说明理由；

（3）若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标.

2017年06月15初中数学组卷

参考答案与试题解析

选择题（共20小题）

1.（2017春•资中县期中）如图，直线I：y=x+l交y轴于点A1，在x轴正方向上

取点Bi，使OBi=OAi；过点Bi作A2BI_LX轴，交I于点A2,在x轴正方向上取点

B2,使B$2=BIA2；过点B2作A3B2_LX轴,交I于点A3，在X轴正方向上取点B3,

使B2B3=B2A3；...记△OA1B1面积为Si，△B1A2B2面积为S2,Z\B2A3B3面积为S3,...

则S2017等于（）

【分析】根据已知条件得到△△OA1B1，△B1A2B2，AB2A3B3是等腰直角三角形，

根据最新的解析式得到A1(0,1),求得Bl(1,0),得到OBi=OAi=l,根据三

22

角形的面积公式得到Si=^XlXl=±XI,同理S2=1X2X2=1X2，S3=1X4

22222

义4=工><42;...得到Sn=Lx22n2=2213,于是得到结论.

22

【解答】解：•.•OB1=OA1；过点B1作A2B1±X轴,B$2=B1A2；A3B2_Lx轴，B2B3=B2A3；...

...△△OAiBi，ZxBiAzBz，4B2A3B3是等腰直角三角形，

*.,y=x+l交y轴于点Ai，

AAi(0,1),

ABi(1,0),

OBi=OAi=l,

.-.S1=±X1X1=±X12,

22

2

同理S2=LX2X2=LX22,S3=^X4X4=^X4;...

2222

2n22n

.,.Sn=Xx2_=2\

2

・c_2x2017-3_4031

••^2017=^n=Ln，

故选B.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三

角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键.

2.（2016•青海）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正

方形CEFG,动点P从点A出发，沿A玲D-E-FfG玲B的路线绕多边形的边匀速

运动到点B时停止（不含点A和点B）,则4ABP的面积S随着时间t变化的函数

图象大致是（）

DE。

【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，AABP的面积S与时间t的关

系确定函数图象.

【解答】解：当点P在AD上时，^ABP的底AB不变，高增大，所以4ABP的

面积S随着时间t的增大而增大；

当点P在DE上时，4ABP的底AB不变，高不变，所以4ABP的面积S不变；

当点P在EF上时，4ABP的底AB不变，高减小，所以4ABP的面积S随着时间

t的减小而减小；

当点P在FG上时，4ABP的底AB不变，高不变，所以4ABP的面积S不变；

当点P在GB上时，4ABP的底AB不变，高减小，所以AABP的面积S随着时间

t的减小而减小；

故选：B.

【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上4ABP

的面积S与时间t的关系是解题的关键.

3.（2016•深圳三模）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P

与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.设AP=x,4PBE的面积为y.则

能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是（）

【分析】过点P作PFLBC于F,若要求4PBE的面积，则需要求出BE,PF的值,

利用已知条件和正方形的性质以及勾股定理可求出BE,PF的值.再利用三角形

的面积公式得到y与x的关系式，此时还要考虑到自变量x的取值范围和y的取

值范围.

【解答】解：过点P作PF_L.BC于F,

VPE=PB,

；.BF=EF,

•.,正方形ABCD的边长是1,

,•AC=^~2+]~

VAP=x,，PC=&-x,

:.PF=FC=2^2.（a-x）=1-2/Zx,

22

.*.BF=FE=1-FC=^lx,

2

SAPBE=-^BE*PF=^^<(1-=--LX2+Y^X,

22222

即y=-L?+返(0VxV&),

22

，y是x的二次函数(OVxV&),

故选A.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，和正方形的性质；等腰直角三角形的

性质；三角形的面积公式.对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息

广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问

题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

4.(2016•黄冈模拟)甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，

甲车比乙车早行驶2h,并且甲车途中休息了0.5h,如图是甲乙两车行驶的距离y

(km)与时间x(h)的函数图象.则下列结论：

(1)a=40,m=l；

(2)乙的速度是80km/h；

(3)甲比乙迟工h到达B地；

4

(4)乙车行驶旦小时或经小时，两车恰好相距50km.

44

A.1B.2C.3D.4

【分析】(1)先由函数图象中的信息求出m的值，再根据"路程+时间=速度"求

出甲的速度，并求出a的值；

(2)根据函数图象可得乙车行驶3.5-2=1小时后的路程为120km进行计算；

(3)先根据图形判断甲、乙两车中先到达B地的是乙车，再把y=260代入y=40x

-20求得甲车到达B地的时间，再求出乙车行驶260km需要260・80=3.25h,

即可得到结论；

(4)根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关

系建立方程求出其解即可.

【解答】解:(1)由题意，得m=1.5-0.5=1.

120-r(3.5-0.5)=40(km/h),则a=40,故(1)正确;

(2)1204-(3.5-2)=80km/h(千米/小时)，故(2)正确；

(3)设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间x(h)的函数关系式为丫=1«+13,

由题意，得

[40=1.5k+b

1120=3.5k+b

解得：仆=40

lb=-20

/.y=40x-20,

根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，

把y=260代入y=40x-20得，x=7,

•••乙车的行驶速度：80km/h,

乙车的行驶260km需要260+80=3.25h,

：.7-(2+3.25)3,

4

二甲比乙迟工h到达B地，故(3)正确；

4

(4)当1.5VxW7时，y=40x-20.

设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k'x+b\由题意得

(0=21+b'

1120=3.5kz+b'

解得：=80

lb'=-160

/.y=80x-160.

当40x-20-50=80x-160时,

解得：x=2.

4

当40x-20+50=80x-160时,

解得：x=ii.

4

-9_7_119_7_11

4444

所以乙车行驶小时L或旦小时，两车恰好相距50km,故（4）错误.

44

故选（C）

【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是从图形中获得必要

的信息进行计算，运用待定系数法求一次函数的解析式.解答此类试题时，需要

掌握建立函数模型的方法以及采用分段函数解决问题的思想.

5.（2016•景德镇三模）在4ABC中，点O是4ABC的内心，连接OB、OC,过

点。作EF〃BC分别交AB、AC于点E、F,已知BC=a（a是常数），设aABC的

周长为y,AAEF的周长为x,在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的

是（）

【分析】由于点。是4ABC的内心，根据内心的性质得到OB、OC分别平分NABC、

ZACB,又EF〃BC,可得到N1=N3,则EO=EB,同理可得FO=FC,再根据周长

的所以可得到y=x+a,（x>a）,即它是一次函数，即可得到正确选项.

【解答】解:如图，

•.•点O是Z^ABC的内心，

AZ1=Z2,

又,.•EF〃BC,

/.Z3=Z2,

：.Z1=Z3,

：.EO=EB,

同理可得FO=FC,

Vx=AE+EO+FO+AF,

y=AE+BE+AF+FC+BC,

，y=x+a,(x>a),

即y是x的一次函数,

所以C选项正确.

故选C.

【点评】本题考查了一次函数y=kx+b（kWO,k,b为常数）的图象和性质.也

考查了内心的性质和平行线的性质.

6.（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0,其中a・c

WO,aWc.下列四个结论中，错误的是（）

A.如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C.如果5是方程M的一个根，那么!是方程N的一个根

5

D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=l

【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方

程的解的定义判断C与D.

【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0,所以方

程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；

B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么442-

4ac>0,—>0,所以a与c符号相同，包>0,所以方程N的两根符号也相同，

ac

结论正确，不符合题意；

C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得

-lx+lb+a=O,所以上是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；

2555

D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,（a-c）x2=a

-c,由aWc,得x2=l,x=±l,结论错误，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>00方程有

两个不相等的实数根；△=（）台方程有两个相等的实数根；avoo方程没有实数

根.也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义.

7.（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，

关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个

结论：①这两个方程的根都负根；②（m-1）（门-1）22；③-2m-2n

W1,其中正确结论的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据

根的判别式，以及题意可以得出m2-2n^0以及n2-2m20,进而得解；③可以

采用根与系数关系进行解答，据此即可得解.

【解答】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1・X2=2n

>0,yi*y2=2m>0,

yi+y2=-2n<0,

Xi+x2=-2m<0,

这两个方程的根都为负根，①正确；

②由根判别式有：

△=b2-4ac=4m2-8nN0,A=b2-4ac=4n2-8m20,

V4m2-8n>0,4n2-8m>0,

/.m2-2n>0,n2-2m^0,

m2-2m+l+n2-2n+l=m2-2n+n2-2m+2N2,

（m-1）2+（n-1）222,②正确；

③由根与系数关系可得2m-2n=yiy2+yi+y2=（Yi+1）（yz+1）-1»

由yi、丫2均为负整数，故（yi+1）•（y2+l）20，故2m-2n2-l,

同理可得:2n-2m=XiX2+xi+X2=（Xi+1）（x2+l）-1,得2n-2m2-l,即2m-

2nWl,故③正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，有

一定的难度，注意总结.

8.（2015•湖北校级自主招生）设Xi、X2是一元二次方程x?+x-3=0的两根，则

32

Xi-4X2+15等于（）

A.-4B.8C.6D.0

【分析】首先求出两个之和与两根之积，然后把-4X2?+15转化为3（X1+X2）

-（X1+X2）2+2X】X2+6,然后整体代入即可.

【解答】解：；xi、X2是一元二次方程x2+x-3=0的两根，

/.Xi+X2=-1,XiX2=-3,

Vxi3=XiXi2=Xi（3-Xi）=3X]_x/,

3222222

/.Xi-4X2+15=3XI-Xi-4X2+15=3XI-Xi-x2-3x2+15=3（Xi+x2）-（Xi+x2）

2+2XIX2+6,

32

AXI-4X2+15=-3-1-6+6=-4,

故选：A.

【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的知识，解答本

题的关键是把xj-4X2?+：L5转化为3（X1+X2）-（X1+X2）2+2X1X2+6,此题有一定

的难度.

9.（2011・荆门）关于x的方程ax2-（3a+l）x+2（a+1）=0有两个不相等的实

根Xi、X2，且有Xi-XIX2+X2=1-a,则a的值是（）

A.1B.-1C.1或-1D.2

【分析】根据根与系数的关系得出X1+X2=-且，XIX2=£,整理原式即可得出关于

aa

a的方程求出即可.

【解答】解：依题意△AO,即(3a+l)2-8a(a+1)>0,

即a2-2a+l>0,(a-1)2>0,a#l,

••・关于x的方程ax?-(3a+l)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有

Xi-xix2+x2=l-a,

+

Axi-xiX2x2=l-a,

Xi+x2-XiX2=l-a,

•3a+l_2a+2二1_二

aa

解得：a=±l,又a#：l,

/.a=-1.

故选：B.

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，由X1-X1X2+X2=1-a,得出X1+X2-X1X2=1

-a是解决问题的关键.

10.(2010•遵义模拟)为了创建国家森林城市，某市大力实施生态工程建设，提

高城市森林覆盖率，力争2010年达到48%的目标，已知2008年该市森林覆盖率

为44%,设从2008年起该市森林覆盖率的年平均增长率为X,则可列方程()

A.44(l+2x)=48%B.44(l+2x)=48C.44(1+x)2=48%D.44(l+x)2=48

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量又(1+增长率)，参照本题，

如果设平均每次增长的百分率为X,根据"由原来森林覆盖率为44%到48%",即

可得出方程.

【解答】解：设平均每次增长的百分率为X,

第一年森林覆盖率44%(1+x),

第二年森林覆盖率44%(1+x)2,

.*.44(1+x)2=48,

故选D.

【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,

平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(l±x)2=b.

11.(2005•常德)已知方程x?+(2k+l)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,k

的取值是()

A.-3或IB.-3c.iD.3

【分析】因为方程x?+(2k+l)x+l?-2=0有两实根，所以△》()，由此得到关于

k的不等式，即可确定k的取值范围，然后把两实根的平方和变形为两根之积或

两根之和的形式，再利用根与系数的关系确定k的取值.

【解答】解：\,方程x?+(2k+l)x+l<2-2=0有两实根

.♦.△20,

即(2k+l)2-4(k2-2)=4k+920,

解得k>J-,

4

设原方程的两根为a、%

则a+0=-(2k+l),ap=k2-2,

a2+p2=a2+p2+2ap-2aB=(a+B)2-2aB=[-(2k+l)]2-2(k2-2)=2k2+4k+5=ll,

即k2+2k-3=0,

解得k=l或k=-3,

•.•k22...k=-3舍去，

4

k=l.

故选c.

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，同时考查代数式

变形与不等式的解法.

12.(2017•祁阳县二模)已知二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的图象如图所示，给

出以下结论：

①a+b+cVO；②a-b+c<0；③b+2aV0；④abc>0.

其中所有正确结论的序号是()

A.③④B.②③C.①④D.①②③

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符

号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判

断.

【解答】解：①当x=l时，结合图象y=a+b+cVO,故此选项正确；

②当x=-l时，图象与x轴交点负半轴明显小于-1,...y=a-b+c>0,故本选项

错误；

③由抛物线的开口向上知a>0,

,对称轴为l>x=-旦>0,

2a

/.2a>-b,

即2a+b>0,

故本选项错误；

④对称轴为x=--L>o,

2a

；.a、b异号，即bVO,

图象与坐标相交于y轴负半轴，

/.c<0,

/.abc>0,

故本选项正确；

•••正确结论的序号为①④.

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数关系，同学们应掌握二次函数

y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>0；否则aVO；

（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=一旦判断符号；

2a

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0；否则c<0；

（4）当x=l时，可以确定y=a+b+C的值；当x=-1时，可以确定y=a-b+c的值.

13.（2017•开江县二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象经过点（1,

2）且与x轴交点的横坐标分别为xi，X2,其中-1<X2<2,下列结论:

4a+2b+c<0,2a+b<0,b2+8a>4ac,a<-1,其中结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符

号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判

断.

【解答】解：由抛物线的开口向下知a<0,

与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c>0,

对称轴为*=一上<1,

2a

Va<0,

.*.2a+b<0,

而抛物线与x轴有两个交点，，b2-4ac>0,

当x=2时，y=4a+2b+c<0,

当x=l时，a+b+c=2.

v4aczbl>2,

4a

/.4ac-b2<8a,

b2+8a>4ac,

•①a+b+c=2,则2a+2b+2c=4,

②4a+2b+cV0,

③a-b+c<0.

由①，③得到2a+2cV2,

由①，②得至U2a-c<-4,4a-2c<-8,

上面两个相加得到6a<-6,

/.a<-1.

故选D.

【点评】考查二次函数y=ax?+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、

抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等.

14.(2017•红桥区一模)已知二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的图象如图，在下列

代数式中(1)a+b+c>0；(2)-4a<b<-2a(3)abc>0；(4)5a-b+2c<0；

其中正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由抛物线开口向上得到a大于0,再由对称轴在y轴右侧得到a与b异

号，即b小于0,由抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0,可得出abc的符

合，对于(3)作出判断；由x=l时对应的函数值小于0,将x=l代入二次函数

解析式得到a+b+c小于0,(1)错误；根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公

式列出不等式，由a大于0,得到-2a小于0,在不等式两边同时乘以-2a,不

等号方向改变，可得出不等式，对(2)作出判断；由x=-l时对应的函数值大

于0,将x=-1代入二次函数解析式得到a-b+c大于0,又4a大于0,c大于0,

可得出a-b+c+4a+c大于0,合并后得到(4)正确，综上，即可得到正确的个数.

【解答】解：由图形可知：抛物线开口向上，与y轴交点在正半轴，

/.a>0,bVO,c>0,即abcVO,故(3)错误；

又x=l时，对应的函数值小于0,故将x=l代入得：a+b+cVO,故(1)错误；

•••对称轴在1和2之间，

：.1<--L<2,又a>0,

2a

在不等式左右两边都乘以-2a得：-2a>b>-4a,故(2)正确；

又x=-l时，对应的函数值大于0,故将x=-l代入得：a-b+c>0,

又a>0,即4a>0,c>0,

5a-b+2c=(a-b+c)+4a+c>0,故(4)错误，

综上，正确的有1个，为选项(2).

故选A

【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次

函数y=ax2+bx+c（aNO）,a的符号由抛物线的开口决定；b的符号由a及对称轴

的位置确定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊

点1,-1及2对应函数值的正负来解决问题.

15.（2014•龙岩）定义符号min{a,b}的含义为:当a《b时min{a,b}=b；当a

<b时min{a,b}=a.如：min{1,-3}=-3,min{-4,-2）=-4.贝I]min{-x2+l,

-x）的最大值是（）

A.遍-1B.遥+1C.1D.0

22

【分析】理解min{a,b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利

用函数图象的性质可得结论.

【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=-x2+l与正比例函数

y=-x的图象，如图所示.设它们交于点A、B.

令-x2+l=-X,即X2-X-1=0,解得：X=2i近或上ZE,

22

...A（W5,存1）,B世叵二杳.

2222

观察图象可知：

①当x<上甚时，min{-x2+l,-x）=-x2+l,函数值随x的增大而增大，其最

_2

大值为近三；

2_

②当土正Vx<li返时，min{-x2+l,-x}=-x,函数值随x的增大而减小，

22

其最大值为近三；

2

③当时，min{-x2+l,-x}=-x2+l,函数值随x的增大而减小，最大

2

值为土遮.

2_

综上所示，min（-x2+l,-x}的最大值是叵L

2

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a,

b}和掌握函数的性质是解题的关键.

16.（2012•萧山区校级自主招生）边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴

上，点C在y正半轴上，将正方形OABC绕顶点。顺时针旋转75。，如图所示，

使点B恰好落在函数y=ax2（a<0）的图象上，则a的值为（）

【分析】过点B向x轴引垂线，连接OB,可得OB的长度，进而得到点B的坐

标，代入二次函数解析式即可求解.

【解答】解：如图，作BELx轴于点E,连接OB,

•.•正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°,

，ZAOE=75",

,/ZAOB=45°,

.,.ZBOE=30°,

VOA=1,

/.OB=\[2,

VZBEO=90°,

BE=AJOB=®

22

，OE=£,

2

...点B坐标为(返，-返)，

22

代入y=ax?(a<0)得a=-逅_,

_3

.*.y=-2^(2.

3

【点评】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，关键是利用正方形的性质

及相应的三角函数得到点B的坐标.

17.（2013•河北模拟）有两个全等的含30。角的直角三角板重叠在一起，如图，

将△ABU绕AC的中点M转动，斜边AB刚好过AABC的直角顶点C,且与4ABC

的斜边AB交于点N,连接AA，、UC、AC.若AC的长为2,有以下五个结论：

①AA，=1；②UCLAB；③点N是边AB的中点；④四边形AAtU为矩形；⑤

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】①根据旋转的性质，可得AM=MC=A，M=MU=1,根据等腰三角形的性质，

可得NMCA，，根据等边三角形的判定，可得答案；

②根据垂线的性质：过直线外一点与已知直线垂直的直线只有一条，可得答案；

③根据等腰三角形的判定，可得答案

④根据平行四边形的判定，可得四边形AACU是平行四边形，再根据有一个角是

直角的平行四边形是矩形，可得答案；

⑤根据勾股定理可得BA的长，根据AB与AN的关系，可得AN的长，根据直角

三角形的性质，可得答案.

【解答】解：①•••点M是线段AC、线段AC的中点，AC=2,

.•.AM=MC=A'M=MC'=1,

•.,NMA'C=30。，

,NMCA'=NMA'C=30°,

:.ZA,MC=180°-30°-30°=120°,

ZA,MA=180°-A,MC=180°-120°=60°,

.,.ZAMAz=ZCzMC=60o,

.•.△AAW是等边三角形，

.*.AA,=AM=1,故①正确；

②•.'NA'CM=30°,NMCC'=60°,

二NACA'=NA（M+NMCC'=90。，

ACClA^,故②正确；

③ZA,CA=ZNAC=30°,NBCN=NCBN=60。，

，AN=NC=NB,故③正确；

④•.'△AAM之△CCM,

，AA'=CC',NMAA'=NC'CM=60°,

，A/V〃CU,

/.四边形AAtC是平行四边形，

ZAA,C=ZAA,M+ZMA,C=90°,

四边形AA，CC为矩形，故④正确；

23

NNAA'=30°,NAA'N=90°,

.•.A'N=L\N=Y1,故⑤错误；

23

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，利用了旋转的性质，矩形的判定，等边三角形

的判定，直角三角形的性质，所用知识点较多，题目稍有难度.

18.（2012•河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0,3）,Z

AOB=90°,ZB=30".将AAOB绕点。顺时针旋转一定角度后得到△A9B，，并且

A.(-2,2^1)B.(-1,返)C.(2)D.(-返，2)

22222222

【分析】解直角三角形求出A0=愿，NBAO=60。，再根据旋转只改变图形的位置

不改变图形的形状与大小可得AO=AO,然后判断出△AOA是等边三角形，过点

A作AtJ_A。于点C,然后解直角三角形求出At,OC,再根据点A在第二象限

写出点的坐标即可.

【解答】解：•••点B的坐标为(0,3),

BO=3,

VZAOB=90°,ZB=30°,

AAO=BO*tan30°=3XJ3,ZBAO=90°-30°=60°,

3

•.,△A'OB，是由4ABC旋转得到，点A在AB上，

.•.A'O=AO,

.•.△AOA，是等边三角形，

...NAOA，=60。，

过点A，作AZC±AO于点C,

贝ijA,C=A,Osin60°=V3><OC=AzOcos60o=V3><»

•.•点A，在第二象限，

.•.点A，(-返，旦).

22

故选D.

【点评】本题考查了坐标与图形的变化-旋转,主要利用了解直角三角形的知识,

等边三角形的判定与性质，判定出△AOA，是等边三角形是解题的关键.

19.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,现有一块足够大的直

角三角板的直角顶点与点。重合，当直角三角板绕着点。旋转时，两条直角边

OP、0Q分别保持与边AB、边BC相交于点E、F,连结EF,下列结论：①EF=OB,

②EF=&OF；③当EF〃AC时，4BEF的周长最小；④当BE变化时，四边形OEBF

的面积也随之变化.其中结论正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据旋转的性质以及正方形的性质，可得aBOE且△COF,进而可得^

EOF是等腰直角三角形，SABOE=S“OF，进而得出四边形OEBF的面积=SABOE+SABOF=S

ACOF+S/,BOF=SABOC（是定值），据此可得正确的结论.

【解答】解：①EF=OB不一定成立，

当。E_LAB,OF_LBC时，四边形OEBF是正方形，

此时EF=OB,

而。E_LAB,OF_LBC不一定成立，

故①错误；

②根据正方形ABCD,可得NBOC=NEOF=90。，OB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,

/.ZBOE=ZCOF,

/.△BOE^ACOF,

，OE=OF,

.'.△EOF是等腰直角三角形，

.,.EF=V20F,

故②正确；

③由②可得，△BOE之△COF,

，BE