浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末调研测试数学试题

湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷高一数学注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．2．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径是（）A． B． C． D．4．设，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则5．如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）A．众数<中位数<平均数 B．众数<平均数<中位数C．中位数<平均数<众数 D．中位数<众数<平均数6．在正方体中，是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（）A．0 B． C． D．7．湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为（）A．284m B．286m C．288m D．290m8．已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．为了丰富同学们的课外活动，某学校为同学们举办了四种不同的科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（）A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件C． D．10．若复数z，w均不为0，则下列结论正确的是*A． B．C． D．11．如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（）A．当平面平面时，平面B．当A，C重合于点时，平面C．当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为D．当A，C重合于点时，四棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知事件和事件相互独立，且，，则__________．13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________．14．已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．（1）求和的值；（2）求两次摸到的不都是红球的概率．16．（本题满分15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求；（2）若的面积为，边上的高为1，求的周长．17．（本题满分15分）某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按，，…，依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中x的值；（2）估计参与这次测试学生的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．18．（本题满分17分）如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值；（3）求四棱台的体积和球的表面积．19．（本题满分17分）已知函数，．（1）写出函数的单调区间；（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；（3）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围．湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷高一数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案DDACABCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABCBCDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12． 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，（1）第一次摸到红球的可能结果有8种，即，所以．第二次摸到红球的可能结果也有8种，即，所以．（2）事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即，则两次摸到都是红球的概率，故两次摸到的不都是红球的概率．16．解：（1）因为，由正弦定理，得，即，即．因为在中，，所以．又因为，所以．（2）因为的面积为，所以，得．由，即，所以．由余弦定理，得，即，化简得，所以，即，所以的周长为．17．解：（1）由题意得，所以；（2）参与测试学生的成绩平均值：．第60百分位数为；（3）设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为，，，，，，且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数，所以第三组、第四组和第五组所有参与测试的学生的测试成绩的方差18．解：（1）证明：设与、与BD分别交点E，F，连接EF，因为底面为菱形，所以．在等腰梯形中，因为E，F为底边中点，所以，又EF与BD相交，平面．（2）由（1）可知平面平面，又平面平面，过点作于，则平面，再作于，则由三垂线定理得，则是二面角的平面角．因为平面，故是侧棱与底面所成角，所以．在，，，在，，在，．因此二面角的正切值为．（3）由题意可知三棱台为正三棱台，设，是和的中心，M，N分别是和BC的中点，故为内切球的球心的直径。不妨设和的边长分别是x，y，球的半径为，则，所以球的表面积为．在中，，由为内切球可知，解得，在直角梯形中，，解得，因此，，因此四棱台的体积．方法2：将四棱台还原为四棱锥，由题意可知三棱台为正三棱台，所以三棱锥为正三棱锥，因此三棱台和三棱锥的内切球为同一个球，设，是和的中心。由（2）易知在，所以三棱锥为正四面体，所以，因此平面是四棱锥的中截面，则，，故四棱台的体积．