《土木工程制图》全套教学课件

全套可编辑PPT课件163一、本课程的研究对象和学习目的土木工程中的房屋、给水排水、道路、桥梁等各专业的工程建设，都是先进行设计并绘制图样，然后按图样施工的。工程图样不仅是工程界的共同语言，也是一种国际性语言，各国的工程图纸都是根据统一的投影理论绘制出来的，以便不同国家之间进行技术讨论、交流经验、引进技术和技术改革。由此可见，对于从事建筑工程设计、施工、管理的技术人员来说，如果不懂这门“语言”，在工作中将寸步难行。为此，在高等院校土木工程、建筑工程等专业的教学计划中，都设置了《土木工程制图》这门主干技术基础课。二、本课程的主要内容和技能目标画法几何：主要介绍国家标准和点、直线、平面投影的基本理论及其应用。这部分内容比较抽象，是本课程学习的第一道难关。通过学习这部分内容，应熟悉制图国家标准的基本规定，学会正确使用绘图工具和仪器，掌握绘图的方法与技巧。《土木工程制图》是一门既有理论又有实践的技术基础课，它研究绘制图样的原理和识读方法，研究在平面上解决空间几何问题的理论和方法。本课程分为画法几何、制图基础和专业制图3大部分，这3部分的主要内容如下。专业制图：这部分内容是本课程的核心，主要介绍建筑施工图、结构施工图，以及其他专业图样的识读方法。通过学习这部分内容，应熟悉相关专业图样（如房屋、道路、桥梁等图样）的图示内容和特点，包括专业制图有关标准规定的图示特点、表达方法、视图的配置、比例、图线、尺寸标注等。制图基础：在画法几何的基础上，主要介绍基本形体和建筑形体的绘制，以及平面图形的识读，为进一步学习专业制图打下坚实的基础。通过学习这部分内容，应掌握用正投影法表示空间形体的方法，应具有绘制与阅读空间物体投影图的能力。这部分主要培养学生的空间逻辑思维能力和形象思维能力。掌握各种投影法，尤其是正投影法的基本理论和作图方法。应具有图解空间几何问题的基本技能，能正确运用投影作图方法解决空间度量问题和定位问题。能正确使用绘图工具及仪器，并掌握用尺规作图和徒手作图的方法和技能。能正确绘制建筑形体的投影图和本专业的工程图样，做到投影关系正确，投影图数量、表达方法及配置合理、恰当，线型粗细分明，尺寸标注齐全，字体工整，图面整洁。此外，所绘图样必须符合相关制图标准要求。能看懂本专业工程图样，如建筑施工图、结构施工图、给水排水施工图、道路工程图及桥梁工程图。本课程技能目标三、本课程的学习方法（2）学、练相结合。学与练应紧密结合，在学中练，在练中学。每堂课后要认真完成相应的习题作业，以便及时巩固所学知识。此外，在完成平时的制图作业过程中，要读画结合，以画促读，通过画图训练促进读图能力的提高。（1）由物画图、由图想物。本课程的核心内容之一是如何用二维平面图形来表达三维空间形体，以及由二维平面图形想象三维空间物体的形状。因此，学习本课程的主要方法是自始至终要把物体的投影与物体的形状紧密联系在一起，不断“由物画图”和“由图想物”，既要思考投影图的形成，又要想象物体的形状，在图、物的相互转换过程中，逐步提高绘图能力和空间想象力。（4）注重自学能力的培养。上课前应预习教材有关内容，然后带着疑问有目的地去听课。课后，应认真、独立地完成制图作业，以便有效地掌握和巩固所学知识。当代大学生只有具备较强的自学能力，才能适应目前这个科技迅猛发展、知识不断更新的时代。（3）执行国标。工程图样是国际工程界通用的技术语言，是按国际上共同遵守的规则绘制的。因此，学习本课程时，不仅要熟练掌握空间形体与平面图形的对应关系，还要执行《房屋建筑制图统一标准》、《建筑制图标准》、《建筑给水排水制图标准》等其他专业标准的相关规定。无论是学习本课程还是今后走向工作岗位，都必须严格遵守这些标准的各项规定。（5）培养认真负责、一丝不苟的工作作风。建筑工程图是建筑施工的依据，往往一条线的疏忽或一个数字的差错，就会造成施工的返工浪费。因此，从初学制图开始，就要严格遵守国家制图标准，培养认真负责、一丝不苟的工作作风。THEEND掌握国家标准中关于图纸幅面、图线、字体和比例的有关规定。掌握尺寸标注的基本规定，能够判别图线画法和尺寸标注中的错误。能够正确使用绘图工具及仪器熟练地绘制几何图形。掌握简单平面图形的分析方法、作图步骤及尺寸标注。较熟练地掌握徒手绘图的作图方法与技能。技能目标

本章导读图样作为技术交流的共同语言，就必须有统一的标准和规范，否则会给施工生产和技术交流造成障碍。为此，在绘制工程图样之前，应先学习《房屋建筑制图统一标准》中的相关规定，以及绘图工具及仪器的正确用法、常见几何图形的画法、平面图形的画法和徒手画图等内容。第一节国家制图标准的基本规定《房屋建筑制图统一标准》（GB/T50001—2010）《总图制图标准》（GB/T50103—2010）《建筑制图标准》（GB/T50104—2010）《建筑结构制图标准》（GB/T50105—2010）《建筑给水排水制图标准》（GB/T50106—2010）《暖通空调制图标准》（GB/T50114—2010）《道路工程制图标准》（GB/T50162—1992）《桥梁用结构钢》（GB/T714—2015）本章主要介绍《房屋建筑制图统一标准》中关于图纸幅面、图纸格式，以及标题栏、会签栏、图线、字体、比例和尺寸标注的相关规定，这些规定都是其他各类工程图必须遵循的内容。国家标准有强制性国标（GB）和推荐性国标（GB/T）之分。其中，强制性国标是行政法规规定强制执行的国家标准；推荐性国标是自愿采用的、具有指导作用的国家标准。标准代号由字母和数字组成，如“GB/T50001—2010”。其中，“GB”表示强制性国家标准，“50001”是标准发布的顺序号，“2010”是标准批准的年份。表1-1幅面及图框尺寸单位：mm图纸的幅面与规格一图纸幅面是指图纸宽度与长度组成的图面。为了便于图纸的装订和保管，《房屋建筑制图统一标准》中规定，图纸的基本幅面有A0，A1，A2，A3，A4共5种规格，各图纸幅面的尺寸如表1-1所示。（一）图纸幅面绘制技术图样时，应优先选用表1-1中的A0～A4这5种基本幅面，必要时也允许选用加长幅面的图纸。加长幅面时，图纸的短边尺寸不应加长，A0～A3幅面长边尺寸可加长，但应按表1-2中的规定加长。表1-2图纸长边加长尺寸单位：mm由表1-1中可以看出，A4图纸是由A3图纸沿A3图纸的长边对裁后形成的，A3图纸是由A2图纸沿A2图纸的长边对裁后形成的，其余依次类推。

注意图纸幅面通常有横式和立式两种形式。以长边作为水平边的称为横式，如图1-1（a）所示；以短边作为水平边的称为立式，如图1-1（b）所示。A0～A3图纸宜横式使用，必要时也可立式使用，而A4图纸只能立式使用。图框线以内的区域为作图的有效范围。（二）图纸格式图1-1图纸幅面及格式为了便于对图纸进行微缩复制，图纸的4个边上均应画出对中标志。对中标志是位于4条幅面线中点处的一段长为5mm的实线，线宽为0.35mm，且应从图框线的中点分别向图框外画，如图1-1所示。（三）对中标志每张正式的图样上都应有工程名称、图名、图样编号、设计单位、设计人、绘图人、校核人等相关人员的签字栏目，把它们集中列成表格形式就是图纸的标题栏，简称图标。各种幅面的图纸，不论横式还是立式，均应在图框内右侧或下方画出标题栏。标题栏的尺寸、格式和分区，应根据工程需要进行设置。图1-2所示为工程中最常用的标题栏分区格式。值得注意的是，涉外工程的标题栏内，各项主要内容的中文下方应附有译文，且设计单位的上方或左方应加“中华人民共和国”字样。（四）标题栏和会签栏图1-2标题栏的分区格式图1-3会签栏会签栏是为各工种负责人签字，以便明确其技术职责时所用的表格，如图1-3所示。会签栏一般放在图框线外侧的左上或右上部位，如图1-1所示，不需要会签的图纸可不设会签栏。画在图纸上的线条统称为图线，它是构成图形的基本元素。在工程制图中，为了使图样层次清晰、主次分明、便于识读，通常用不同线型和粗细的图线表达不同的内容和含义。《房屋建筑制图统一标准》中规定，图线有粗、中粗、中、细之分，各类图线的线型、线宽和用途如表1-3所示。（一）线型及其用途表1-3建筑工程图样中图线的线型及用途图线二续表1-3绘图时，应先根据形体的复杂程度和绘图比例的大小确定基本线宽b。b值可从1.4mm，1.0mm，0.7mm和0.5mm中选取。当确定了基本线宽b后，中粗线线宽应按0.7b计，中线线宽按0.5b计，细线线宽按0.25b计，这样的一组粗、中粗、中、细线的线宽称为线宽组。同一张图纸上，绘图比例相同的图样应采用相同的线宽组，且同类线应粗细一致。图纸的图框线和标题栏线，可采用表1-4中的线宽。表1-4图框线、标题栏外框线和标题栏分格线的线宽单位mm表1-3中的点画线和双点画线在《房屋建筑制图统一标准》（GB/T50001—2010）中分别称为单点长画线和双点长画线，但本书仍按习惯简称为点画线和双点画线。

在讲专业图样之前，若无特殊说明，本书均采用粗实线和中虚线分别表示可见轮廓线和不可见轮廓线，并将细点画线、细双点画线、中虚线分别简称为点画线、双点画线和虚线。

注意【例1-1】图1-4所示为一水池的投影图和立体示意图，从该图中可以看出各种图线及其应用。图1-4图线应用示例绘制工程图样时，除了要明确各种线型和线宽所代表的含义外，还应注意以下事项。（1）点画线和双点画线的两端是长画，而不是点。虚线、点画线、双点画线的线段长度和间隔，宜各自相等。（2）当虚线与虚线、点画线与点画线、虚线或点画线与其他图线交接时，应是线段交接；当虚线在实线的延长线上时，其分界处要留空隙，如表1-5所示。（3）图样中的圆必须画出其对称中心线，且中心线端部超出圆的轮廓线的距离为2～5mm；但在较小的图形中，当绘制点画线或双点画线有困难时，可用实线代替，如图1-5所示。（二）图线的画法图1-5中心线的画法表1-5图线交接处的画法（a）点画线（b）实线（4）两条相互平行的图线之间的间隙不宜小于0.2mm。（5）图线不得与文字、数字、符号重叠或混淆。不可避免时，应首先保证文字、数字或符号清晰。（6）折断线和波浪线应画出被断处的全部界线，折断线的两端应分别超出图形的轮廓线，而波浪线则应画到轮廓线为止，如图1-6所示。图1-6折断线和波浪线的画法图1-7图样画法示例例1-2对于初学者来说，初次绘制工程图样时，经常会出现图线画法错误的情况。图1-7所示为容易出现错误的几种情况，以供读者绘图时参考。（a）错误

（b）正确字体三

（一）汉字表1-6长仿宋体字的高宽关系单位：mm长仿宋字的书写要领是：横平竖直、起落分明、填满方格结构匀称，其书写特点如表1-7所示。表1-7长仿宋字的书写特点图样及说明中的字母有拉丁字母和希腊字母，数字有阿拉伯数字和罗马字体。在写书时，数字和字母可写成斜体或直体（正体），其字高一般不应小于2.5mm。斜体字的斜度应从字的底线逆时针向上倾斜75°，各计量单位符号（如mm，m3，kg等）应写成正体。数字和字母的示例如图1-8所示。（二）数字和字母（a）斜体拉丁字母

（b）直体拉丁字母

（c）直、斜体阿拉伯数字（d）直、斜体罗马字体图1-8字母和数字示例工程图样中，大到整个建筑，小到某些细部构造等都要在图样上准确地表示出来。但实际建筑物和细部构造的大小都与图幅的尺寸相差较大，这就需要通过比例将建筑物进行不变形地缩小或放大，从而将其绘制的图纸上。比例是指图样中图形与其实物对应要素的线性尺寸之比。绘图所用的比例，应根据图样的用途和被绘对象的复杂程度，从表1-8中选用，并优先选用表中的常用比例。比例四表1-8绘图所用的比例比例宜注写在图名的右侧，字的基准线应取平，比例的字高宜比图名字高小一号或二号。此外，图名下方还应画出一条粗实基准线，如图1-9所示。图1-9图名与比例的注写图1-10不同比例的图样标法无论采用哪种比例绘图，图中所注的尺寸数值均代表物体的实际大小，因而应按物体的原值标注，如图1-10所示。注意图形只能表达物体的形状，若要表示物体的大小及各部分间的位置关系，还需要为其标注尺寸。尺寸标注是构成图样的一个重要组成部分，也是施工的重要依据。尺寸标注五图样上的尺寸由尺寸界线、尺寸线、尺寸起止符号和尺寸数字4个要素组成，如图1-11所示。尺寸宜标注在图样轮廓线以外，必要时也可标注在图样轮廓线以内。（一）尺寸的组成及基本规定图1-11尺寸的组成尺寸界线用于表示所注尺寸的范围，用细实线绘制，一般与被注长度垂直，其一端离开图样轮廓线的距离应不小于2mm，另一端宜超出尺寸线2～3mm。必要时，尺寸界线可用图样的轮廓线、轴线或对称中心线代替，如图1-11中的尺寸240和120。1．尺寸界限尺寸线用细实线绘制在两条尺寸界线之间，用来表示尺寸的度量方向。尺寸线应与被注长度平行。值得注意的是，尺寸线不能用其他图线代替，或与其他图线重合。当图样上需要标注的尺寸较多时，互相平行的尺寸线应按被注轮廓线的远近由近向远整齐排列，并遵循“小尺寸在内，大尺寸在外”的原则，平行排列的尺寸线的间隔应为7～10mm，如图1-11中水平方向上的两道尺寸应平行。2．尺寸线尺寸起止符号一般用中粗斜短线绘制，其倾斜方向应与尺寸界线成逆时针45°角，长度宜为2~3mm。半径、直径、角度和弧长的尺寸起止符号宜用箭头表示。3．尺寸起止符号图样上的尺寸数字必须是物体的实际大小，它与绘图比例和绘图精度无关。除标高及总平面图以“米”作为单位外，其他图样上的尺寸数字必须以“毫米”为单位，但“毫米”或“mm”字样不必写出。此外，在注写尺寸数字时，还应注意以下几方面问题：4．尺寸数字（1）尺寸数字的方向应按照图1-12（a）中的规定注写。当尺寸数字位于图中所示的30°斜线区域内时，尺寸数字也可按图1-12（b）所示方式注写。（2）尺寸数字一般应根据方向注写在靠近尺寸线的上方中部。当没有足够的注写位置时，最外边的尺寸数字可注写在尺寸界线的外侧，中间相邻的尺寸数字可上下错开注写，必要时可用引线引出标注，如图1-12（c）所示。引出标注时，引出线端部用圆点表示标注尺寸的位置。（3）尺寸宜标注在图样轮廓线以外，尺寸数字不得被任何图线通过，无法避免时，可将图线断开，如图1-12（a）中30°斜线区内的尺寸数字20。（a）

（b）

（c）

图1-12尺寸数字的注写方向圆弧、圆、角度、弧长、弦长、坡度、单线图等的标注方法，以及一些简化标注如表1-9所示（见课本）。（二）尺寸标注的其他规定【例1-3】图1-13所示为结构施工图中的某基础断面图，由该图中可以看出尺寸标注在工程图样中的标法。图1-13基础断面图【例1-4】图1-14所示为初学者容易出现错误的几种标法。请读者分析标注错误的原因，并将正确的尺寸标注的图上。图1-14错误标注示例第二节制图工具及仪器的使用常用的制图工具及仪器主要有图板、丁字尺、三角板、圆规、分规、铅笔、比例尺、曲线板、擦图片等。图板、丁字尺和三角板一图板是用来铺放和固定图纸的，一般由胶合板制成，四周镶有硬木边。丁字尺由尺头和尺身组成，是用来与图板配合画水平线的工具。图1-15图板与丁字尺图板的左、右两短边（也称导边）为工作边，必须平直，图纸宜用胶带纸固定在图板上。图板有不同的规格，通常要比相应的图纸幅面略大些。使用丁字尺画线时，尺头应紧靠图板的工作边，然后用左手扶尺头，将尺上下推动到要画线的位置，接着用左手压住尺身，右手画线。切勿图省事直接推动尺身，使尺头脱离图板的工作边，也不能将丁字尺靠在图板的其他边画线，或用丁字尺的下边缘画线。（a）三角板与丁字尺配合（b）两块三角板配合图三角板与丁字尺配合使用，可画出图1-16（a）所示角度的直线。此外，两块三角板配合使用，可以画出15°和75°斜线，还可以画出已知直线的平行线或垂直线，如图1-16（b）所示。画线时，须按图中箭头所示方向画。图1-16三角板的用法圆规是画圆和圆弧的工具。成套的圆规有3种插脚和一支延长杆，换上不同的插脚，可做不同的用途。这3种插脚分别是钢针插脚、铅笔插脚和墨水笔插脚。使用圆规画圆时，应先调整铅芯与钢针针尖的长度，使两脚在并拢时针尖略长于铅芯，然后定好半径，找准圆心，并将圆规按顺时针方向旋转，保证旋转过程中针尖垂直于纸面，如图1-17（a）和（b）所示。画大圆时，圆规应加接延长杆后使用，如图1-17（c）所示。圆规和分规二图1-17使用圆规画图的方法（a）钢针略长于铅芯（b）画小圆（c）画大圆分规的两腿端部均为钢针，其主要用途有：①在刻度尺上量取长度；②在直线或圆弧上截取等长线段，如图1-18所示。值得注意的是，使用前，应检查分规两脚的针尖并拢后是否平齐。若不平齐，则需要旋松针脚上方的螺丝进行调整，使其并拢后平齐。（a）量取长度

（b）等分线段图1-18分规的使用绘图铅笔的铅芯有软硬之分，根据铅芯的软硬程度不同，可将其分为H，B和HB三个等级。标号H代表铅芯的硬性，H前的数字越大，表示铅芯越硬，所画图线的颜色越淡；B代表铅芯的软性，B前的数字越大，表示铅芯越软，所画图线的颜色越黑；HB代表软硬适中。建筑制图中，一般用H或2H铅笔画底稿，用B或2B铅笔加深图线，用HB铅笔写字、画中粗线和箭头。绘图铅笔三

（a）四棱柱形铅芯

（b）锥形铅芯图1-19绘图铅笔的削法除了前面所介绍的绘图工具和仪器外，有时还会用到比例尺、曲线板、橡皮、擦图片、小刀、砂纸、胶带纸和图纸等。其他绘图工具四比例尺曲线板擦图片图纸是用来测量图上一条线段与其实际长度缩放程度的一种工具，不可用来画线。是用来画非圆曲线的工具。又称擦线板，其上有许多缺口，使用时，将缺口对准要擦去的铅笔图线，然后用橡皮进行擦拭，从而避免污损图面。应使用图幅尺寸符合国标规定的图纸，且应用图纸的正面画图。识别图纸正反面的方法是：用橡皮擦拭几下，不易起毛的即为正面。（a）比例尺（b）曲线板（c）擦图片图1-20其他常用绘图工具等分线段时一般使用辅助平行线法。例如，要将已知线段AB进行5等分，其作图步骤如图1-21所示。第三节几何作图等分段线一图1-21将直线段5等分（a）已知线段AB（b）过A点作任意直线AC，用直尺在AC上从A点起截取任意长度的5等分线段，得1，2，3，4，5点（c）连接B5，然后过其他点分别作B5的平行线交AB于4个点，这4个点即为线段AB的等分点要等分两平行线间的距离，常用带刻度的直尺或三角板进行操作，其作图步骤如图1-22所示。图1-22等分两平行线间的距离（a）已知平行线AB和CD（b）将直尺的0点置于CD上，摆动尺身，使刻度5落在AB上，截得1，2，3，4等分点（c）过各等分点作AB（或CD）的平行线，即为所求正多边形常采用等分其外接圆圆周的方法绘制。正三、四、六边形可利用三角板配合丁字尺绘制，如图1-23（a）～（c）所示。此外，利用圆的半径R和圆规也可将圆周6等分，其作图方法如图1-23（d）所示。等分圆周后，用直线依次连接各等分点，即可得到相应的内接正多边形。正多边形的画法二

（a）

（b）

（c）

（d）图1-23将圆周3，4，6等分要将圆周5等分，或绘制圆的内接正五边形，其作图方法如图1-24所示。（a）

（b）

（c）

（d）

图1-24正五边形的画法圆的内接正n边形的画法如图1-25所示。（a）已知圆O，求作圆的内接正七边形（b）以D为圆心，DC为半径画圆弧交AB的延长线于M点，将DC七等分，将M与DC上的奇数点（或偶数点）相连并延长，交圆周于Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ点（c）在另一半圆周上取Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ点的对称点，最后连接圆周上的7个点，即得正七边形

图1-25圆的内接正n变形的画法直线或平面相对于水平面的倾斜程度称为坡度。坡度的大小为直线与水平面或两平面之间夹角的正切值，其标注形式如表1-9所示。要在图1-26（a）所示直线BC处绘制一条坡度为1∶10的坡度线，其画法如图1-26（b）和（c）所示。坡度的画法三

（a）

（b）

（c）图1-26坡度的画法用已知半径的圆弧光滑连接相邻两直线或两段圆弧的作图方法，称为圆弧连接。圆弧连接的作图关键是正确求出连接弧的圆心和切点位置，其作图步骤可归纳总结为：（1）分清连接类别，求出连接圆弧的圆心；（2）找出切点的位置；（3）画连接圆弧（不超过切点）。圆弧连接四用圆弧连接两条已知直线、两条已知圆弧，以及连接直线与圆弧的作图方法如表1-10所示。图1-27使用“四心圆法”画椭圆已知椭圆的长轴AB和短轴CD，可采用“四心圆法”近似地绘制椭圆，其作图方法如图1-27所示。椭圆的画法五图1-28使用“同心圆法”画椭圆已知椭圆的长轴AB和短轴CD，可采用“同心圆法”近似地绘制椭圆，其作图方法图1-28所示。平面图形中的尺寸，按其所起的作用不同可分为定形尺寸和定位尺寸。第四节平面图形的分析及画法尺寸分析一用以确定平面图形各组成部分的形状和大小的尺寸，称为定形尺寸，如线段的长度、圆弧的半径及角度大小等。（1）定形尺寸（2）定位尺寸用以确定平面图形中各组成部分之间相对位置的尺寸，称为定位尺寸。图1-29平面图形尺寸32和10为矩形的高和长，反映了矩形的形状大小，尺寸R16，R8，R5等反映了圆或圆弧的大小，它们均属于定形尺寸。尺寸6定位矩形在Y方向的位置，尺寸60定位R16和R8同心圆弧的圆心，尺寸30定位R5圆弧的位置，它们都属于定位尺寸。从定位尺寸6，60，30可知，定位尺寸都是从某些点、线处出发的，这种作为标注尺寸起始位置的点和线称为尺寸基准。通常，以对称图形的轴线、较大圆的中心线，以及较长的直线等作为尺寸标准。图1-29中，X向尺寸基准是过R16圆弧圆心的垂直中心线，Y向尺寸基准是过R16圆弧圆心的水平中心线。线段分析二凡定形尺寸和定位尺寸齐全，作图时能直接画出的圆弧或直线，称为已知线段。例如，一段圆弧或圆为已知线段，则表示该圆弧或圆的定形尺寸（半径或直径），以及圆心在X，Y方向的位置尺寸已确定。如图1-29中，R8，R16，R5都是已知圆弧。对于直线来讲，必须知道直线上两点的位置，或知道直线上一点的位置和直线的方向。如图1-29中，尺寸为10，44，32的直线段都是已知线段。（一）已知线段只给出定形尺寸的圆弧，或作图时要利用两线相切的几何条件才能画出的直线，称为连接线段。通常，只给出圆弧半径，不给出圆心位置的圆弧称为连接圆弧；只知道两端与指定圆（或圆弧）相切，而不标注任何尺寸的直线段，称为连接线段。如图1-29中，与R8和R5相切的两条线段称为连接线段，R35的圆弧称为连接圆弧。（三）连接线段中间线段是指定形尺寸齐全，而定位尺寸不齐全的线段。作图时，这类线段要在与其相邻一端的线段画出后，再根据连接关系（如相切）用几何作图的方法画出。如图1-29中，尺寸R60代表圆弧的定形尺寸，该圆弧在X方向上的位置尺寸为60-44=16（这是根据R60必与尺寸为44的水平线的右端点处的竖直线相切算出来的），故R60圆弧为中间线段。（二）中间线段平面图形的绘图方法和步骤三（5）检查并加深底稿画完之后，应仔细校对，修正错误并擦去多余的图线。在确定底稿正确无误后，用B或2B铅笔将图线加深，如图1-30（c）所示。加深图线时，一般按照“先粗后细、先曲后直、先上后下、先左后右”的顺序进行。分析要绘制的图形中哪些是已知线段，哪些是连接线段和中间线段，以及图形中各部分的尺寸大小。（1）分析图形（2）准备绘图工具（3）布置图形（4）绘制底稿确定绘图比例和图纸幅面，准备图板、丁字尺、铅笔、橡皮等，再根据要绘制图形中图线的粗细将铅芯磨削成所需线宽。若图中有圆或圆弧，还需要准备圆规。画出图幅线、图框线和标题栏，然后根据要画图形的长、高尺寸确定图形的位置，最后在选定的位置画出图形的基准线，如图1-30（a）中的红线。按照“已知线段→中间线段→连接线段”的顺序轻轻画出底稿线，底稿线的线型要分明，如图1-30（a）～（b）所示。（a）画基准线和已知线（b）画中间线段和连接线段（c）检查并加深图线图1-30平面图形画图步骤徒手画图是指不借助绘图工具（丁字尺、三角板、圆规、分规等），主要依靠目测估计图形与实物的比例，进而徒手绘制的图样。第五节徒手画图徒手画出的图通常称为草图。草图中的“草”字并非潦草之义。草图上的线条也要粗细分明、比例匀称、字体工整、图面整洁，且线型符合国家制图标准。画草图的铅笔要软些，常选用HB，B或2B铅笔。

注意画直线时，可先标出直线的两个端点，然后执笔悬空并沿直线方向比划一下，以便掌握好方向和走势，接着落笔画线，此时铅笔落在起点，眼睛注视终点以控制画线方向。水平线、竖直线和斜线的徒手画法如图1-31所示。为了运笔方便，在画水平线时，可将图纸斜放，并自左向右运笔；画竖直线时，要自上而下运笔。画短线时常以手腕运笔，画长线时以手臂动作。画太长的直线时，先目测并标出其中的几个点，将线变短后再逐段依次徒手画出各段直线。（一）直线的徒手画法（a）画水平线（b）画竖直线

（c）画斜线图1-31徒手画直线画45°，30°，60°等常见角度时，可根据直角边的比例关系，在两直角边上定出几点，然后连接这些点，其画法及运笔方向如图1-32所示。（二）常用角度线的徒手画法图1-32徒手画角度线徒手画圆时，应先确定圆的位置并画出两条互相垂直的中心线，然后在中心线上根据半径大小目测半径标记出四个点，最后过这四点依次画圆，如图1-33（a）所示。当圆半径较大时，则可过圆心在45°方向上加画两条斜线，同样在这两条斜线上按照半径大小再目测半径标记出四个点，然后过这八个点依次连接绘制大圆，如图1-33（b）所示。（三）圆的徒手画法（a）小圆的画法

（b）大圆的画法图1-33徒手画圆画椭圆时，应先画出椭圆的两条相互垂直的长轴和短轴，然后在这两条轴线上分别截取椭圆的四个端点，接着过这四个端点画椭圆的外切矩形，并将矩形的对角线六等分，最后依次过长、短轴的端点和对角线靠外侧的等分点画椭圆，结果如图1-34所示。（四）椭圆和圆角的徒手画法图1-34徒手画椭圆徒手画圆角时，应先作角平分线，然后在角平分线上指定圆心，并过圆心作两条边的垂线，以指定圆弧的两个切点，接着在角平分线上目测半径截取圆弧上的一点，最后把三点依次连接起来即可，如图1-35所示。（a）徒手画圆角

（b）徒手画连接弧图1-35徒手画圆角和连接弧THEEND

本章导读工程图样是通过投影图来表达工程形体或建筑物的结构形状的。要看懂这些图样，就必须理解并掌握与投影有关的基础知识。为此，本章重点介绍三面投影图的形成和投影规律，空间点、线、面的投影和画法，以及用换面法求空间直线和平面的实际形状、尺寸及与投影面的夹角等，以初步培养学生的空间想象能力，从而为学好后面的知识打下坚实的基础。了解投影的基本知识，掌握正投

影的基本特性。掌握三面投影图的形成过程、投影

规律及物体的6个方位关系。掌握点的投影规律和点的投影与直

角坐标系之间的关系。掌握直线和平面的投影规律，能够

熟练地在三面投影图和立体图上分

析相应点、直线、平面的投影，并

能判断点、直线和平面的空间位置。能利用换面法求空间点、直线和平面

之间的距离或角度。技能目标第一节投影的基本知识一、投影的概念及分类在日常生活中，物体在灯光或日光的照射下，在墙面或地面上就会显现出影子，通过影子能看出物体的外轮廓形状。但影子仅是一个黑影，它不能清楚地反映物体的完整结构，如图2-1（a）所示。

（a）影子图2-1物体的影子和投影人们对自然界的这一物理现象加以科学的抽象和概括，把光线抽象为投射线，把物体抽象为形体（只研究其形状、大小、位置，不考虑其物理性质和化学性质），把地面和墙面抽象为投影面。即假设光线能穿透物体，而将物体表面上的各个点和线都在承接影子的平面上落下它们的影子，从而使得这些点、线的影子组成了能够反映物体形状的“线框图”，如图2-1（b）所示。

（b）投影图2-1物体的影子和投影我们把这样形成的“线框图”称为投影。把能够产生光线的光源称为投影中心，光线称为投影线或投射线，承接影子的平面称为投影面。这种把空间形体转化为平面图形的方法称为投影法。要得到物体的投影，必须具备投射线、物体和投影面3个条件。其中，投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线。这样，可将投影分为中心投影和平行投影。当光源S距离投影面为有限远时，所有投射线都交汇于一点（即投影中心），这种投影法称为中心投影法，用中心投影法所得到的投影称为中心投影。如图2-2所示，H面上的△abc就是空间△ABC的中心投影。若改变空间△ABC对投射中心S的距离，则所得投影△abc的大小将发生变化，即中心投影不能反映空间几何形体的实形。（一）中心投影图2-2中心投影法当光源S距离投影面无穷远时，所有投射线都变得几乎平行，这种所有投射线都相互平行地经过空间物体，并在投影面上得到投影的方法称为平行投影法。（二）平行投影（a）斜投影

（b）正投影图2-3平行投影法在平行投影中，若投射线与投影面倾斜，则为斜投影法，所得到的投影图称为斜投影或斜投影图；若投射线与投影面垂直，则为正投影法，所得到的投影图称为正投影或正投影图，也可简称为投影，如图2-3所示。平行投影的投射线相互平行，所得投影的大小与物体离投影中心和投影面的距离无关。二、工程中常用的投影图用图样表达形体空间形状的方法，称为图示法。用图示法表达工程形体时，根据表达的目的和被表达对象的特性不同，往往需要采用不同的图示方法。工程中常用的图示法有透视投影图、轴测投影图、正投影图和标高投影图。用中心投影法将物体投射在单一投影面上所得到的图形称为透视图，如图2-4（a）所示。透视图与照相原理相似，相当于将相机放在投影中心所拍的照片一样，具有形象、逼真、立体感较强、符合人“近大远小”的视觉特点。但作图较繁琐，且建筑物各部分的确切形状和大小不能在图中度量，常用作建筑设计方案比较、展览或绘制建筑物的效果表现图。（一）透视投影图（a）透视图图2-4透视图和轴测图轴测投影图是用平行投影法（正投影法或斜投影法）将物体投射到单一投影面上所得到的图形。根据投射线与投影面的角度不同，轴测图可分为正轴测投影和斜轴测投影，如图2-4（b）和（c）所示。（二）轴测投影图（b）正轴测投影

（c）斜轴测投影图2-4透视图和轴测图轴测投影图具有一定的立体感，能反映出物体的长、宽、高，但不能完整地表达物体的形状，一般只能用作工程辅助图样。用正投影法将物体向两个或两个以上相互垂直的投影面投影，再按一定规律将投影面展开到一个平面上所得到的投影图，称为正投影图，工程上最常用的是三面正投影图。图2-4所示形体的三面正投影图如图2-5所示。（三）正投影图图2-5三面正投影图正投影图作图简便，度量性好，可反映物体的真实形状和大小，常用于绘制建筑施工图和建筑结构图等。但正投影图的立体感差，只有具备制图知识的人才能看懂。标高投影图是一种带有高度数字标记的单面正投影图，如图2-6所示。作图时，需将间隔相等而高程不同的等高线投影到水平投影面上，并标出等高线的高程。标高投影图常用来绘制地形图、建筑总平面图和道路等方面的平面布置图样。（四）标高投影图（a）透视图

（b）标高投影图图2-6标高投影图三、正投影的基本性质正投影的形成条件是投射线相互平行且垂直于投影面。因此，正投影图具有以下几个特性。实形性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）。如图2-7（a）中，平行于V面的平面P和形成平面P的所有棱线在该投影面上的投影反映其实形。（a）实形性图2-7正投影的基本特性积聚性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点）。如图2-7（b）中，垂直于V面的平面Q在该投影面上的投影积聚为一条直线，棱线BC积聚成b（c）点。（b）积聚性

（c）类似性图2-7正投影的基本特性类似性：当物体的某一平面（或棱线）与投影面倾斜时，其投影与该平面（或棱边）类似，即凹凸性、直曲性和边数类似，但平面图形变小了，线段变短了。如图2-7（c）中，倾斜于V面的平面R在该投影面上的投影是平面R的类似形。（c）类似性图2-7正投影的基本特性第二节三面投影图的形成及投影规律物体的一个投影只能反映两个方向的尺寸，不同形状的物体在同一投影面上的投影有可能相同，如图2-8（a）所示。因此，一个投影不能完整地表达物体的形状和大小。（a）不同物体的单面投影相同图2-8物体的单面投影和两面投影用相互垂直的两个平面作投影面，将物体向这两个投影面作正投影，这两个投影联合起来能表达物体长、宽、高3个方向上的尺寸。因此，一般情况下，两面投影能清楚表达物体的形状，但有些物体用两面投影也不能准确表达其形状，如图2-8（b）所示。由此可见，要确切表达物体的形状和大小，就需要建立一个三面投影体系。（b）不同物体的两面投影相同图2-8物体的单面投影和两面投影一、三面投影体系的建立要唯一确定物体的形状和大小，通常将物体放在由3个相互垂直的投影面组成的三面投影体系中，然后向这3个投影面分别进行投影。这3个相互垂直的投影面称为三面投影体系，如图2-9所示。图2-9三面投影体系其中，处于正立位置的平面称为正立投影面，简称正立面，用“V”标记；处于侧立位置的平面称为侧立投影面，简称侧立面，用“W”标记；处于水平位置的平面称为水平投影面，简称水平面，用“H”标记。3个投影面之间的交线称为投影轴，分别用OX，OY和OZ表示，3根投影轴的交点O称为原点。二、三面投影图的形成与展开将物体放置于三面投影体系中，并使物体的主要表面平行于投影面，然后采用3组分别垂直于3个投影面的平行投射线对物体进行投射，即可得到物体的三面投影图，它们分别是V面投影、H面投影和W面投影，如图2-10所示。图2-10三面投影图的形成V面投影：又称正面投影，是由前向后投射时物体在正立投影面（V面）上所得到的投影图。H面投影：又称水平投影，是由上向下投射时物体在水平投影面（H面）上所得到的投影图。

W面投影：又称侧面投影，是由左向右投射时物体在侧立投影面（W面）上所得到的投影图。为了把相互垂直的3个投影面上的投影画在同一张图纸上，绘图时需将相互垂直的3个投影面展开在同一个平面上。展开方法是：V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，将W面绕OZ轴向右旋转90°，分别使其与V面处于同一平面。这时，OY轴被分成两条，分别用OYH（在H面上）和OYw（在W面上）表示，如图2-11（a）所示。（a）图2-11三面投影图的展开由于投影面是假想的，投影面的大小并不影响投影图的形状和大小，因此在实际绘图时不必画出投影面的线框。此外，也不需要注写H，V，W字样。展开后的三面投影图如图2-11（b）所示。（b）图2-11三面投影图的展开三、三面投影图之间的对应关系三面投影图表示物体3个方向上的投影，所以3个投影图之间既有区别又有联系。从物体三面投影图的形成和展开过程可以看出，三面投影图在投影和方位上具有如下对应关系。由图2-11（b）可知，V面和H面投影都反映了物体的长度，展开后这两个投影左右对齐，这种关系称为“长对正”；V面和W面投影都反映了物体的高度，展开后这两个投影上下对齐，这种关系称为“高平齐”；H面和W面投影都反映了物体的宽度，这种关系称为“宽相等”。（一）投影关系（b）图2-11三面投影图的展开“长对正、高平齐、宽相等”是正投影图重要的投影对应关系。作图时，“长对正”可用靠在丁字尺工作边上的三角板将V面投影和H面投影对正；“高平齐”可直接用丁字尺将V面投影和W面投影拉平；“宽相等”可利用以原点为圆心所作的圆弧将宽度在H面投影与W面投影之间互相转移，也可利用45°辅助线保证H面投影和W面投影的关系，如图2-12所示。（a）用圆弧表示

（b）45°辅助线表示

（c）45°辅助线表示图2-12三面投影图的投影关系无论是整个物体，还是物体的局部（如某条棱边、某个顶点及平面等），其三面投影都必须符合“长对正、高平齐、宽相等”的“三等”关系。在今后画图、读图、度量及标注尺寸时，都要遵循和应用这一投影规律。

注意三面投影图不仅反映了物体在长度、宽度和高度方向上的尺寸关系，同时还反映了物体上、下、左、右、前、后6个方位。如图2-13所示，V面投影（正面投影）反映物体的上、下和左、右的相对位置关系；H面投影（水平投影）反映物体的前、后和左、右的相对位置关系；W面投影（侧面投影）反映物体的前、后和上、下的相对位置关系。（二）方位关系图2-13三面投影图的方位关系四、绘制三面投影图的注意事项绘制三面投影图时，可设想分别从物体的前方向后、左侧向右和上方向下观察物体，如果棱边和轮廓线可见，则用粗实线表示；如果棱边和轮廓线不可见，则用细虚线表示。当粗实线与虚线或点画线重合时，应画成粗实线；当虚线与点画线重合时，则应画成虚线。此外，画图和读图时，要特别注意H面投影和W面投影之间的前、后位置关系和尺寸关系。解：H面投影可根据三面投影图的“三等”关系和6个方位关系来补画，具体补画过程如下。（1）根据“长对正、宽相等”补画基础长方体的H面投影，如图2-15（a）所示。（2）根据“长对正、宽相等”补画基础长方体上缺口的H面投影，如图2-15（b）所示。【例2-1】根据图2-14中的立体图及V面和W面投影，补画其H面投影。图2-14已知条件（a）

（b）图2-15补画H面投影解：在H面投影上找出m′和a′线框所代表的图线m和a，如图2-16（b）所示。由于H面投影反映物体的前、后、左、右关系，且图线m在图线a的上面，故M面在A面的后方。在H面投影上找出q''和c''线框所代表的图线q和c，由于图线q在图线c的右侧，故Q面在C面的右侧。在V面投影上找出n和b线框所代表的图线n'和b'，由于V面投影反映物体的上、下、左、右关系，且图线n'在图线b'的下方，故N面在B面的下方。【例2-2】分析图2-16（a）中m'，n和q′′线框所代表的平面分别与a'，b，c''线框所代表的平面的方位关系。（a）图2-16分析平面的方位关系（b）图2-16分析平面的方位关系第三节

点的投影房屋形体由多个侧面围成，各侧面相交于多条侧棱，各侧棱相交于多个顶点，如图2-17中的顶点A，B，C，…，J。从形体角度来看，只要把这些顶点的投影画出后，再用直线将各点的投影一一连接，就可以得到该形体的投影。由此可见，点是形体的最基本元素，其投影规律也是线、面、体投影的基础。图2-17房屋形体一、点的三面投影若将空间点A置于三面投影体系中，然后自点A分别向3个投影面作垂线（即投射线），交得的3个垂足点a，a′和a''即为空间点A的H面投影、V面投影和W面投影，如图2-18所示。（a）

（b）

（c）图2-18点的三面投影画投影图时通常规定，空间点用大写拉丁字母A，B，…表示，H面投影用相应的小写字母表示，如a，b，…；V面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a'，b'，…；W面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a''，b''，…。由图2-18中点A的三面投影图的形成过程，可总结出点的投影规律，具体如下。（1）点A的水平投影a和正面投影a′的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。（2）点A的正面投影a′和侧面投影a″的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。（一）点的投影规律（3）空间点到某一投影面的距离，等于另外两个投影面上的投影到与该投影面相交的投影轴的距离，即A点到H面的距离

；A点到V面的距离

；A点到W面的距离

。由上述可知，点的两面投影即可确定点的空间位置。因此，只要给出点的两面投影，就可以求出其第三面投影。分析：根据点的投影规律可知，aa′⊥OX。因此，过a′点作OX轴的垂线，所求点a必在该垂直的延长线上。由a″aZ=aaX可确定点a的位置。作图步骤：（1）过a′点作OX轴的垂线并延长。（2）过a″点作OYW轴的垂线交OYW轴于aW点。【例2-3】已知点A的正面投影a′和侧面投影a″，如图2-19（a）所示，求该点的水平投影。（a）图2-19求点的水平投影（3）以O点为圆心、OaW为半径作圆弧，交OYH轴于aH点。（4）过aH点作OX轴的平行线，与过a′点的竖直线相交，则交点即为所求的水平投影点a，如图2-19（b）所示。（b）图2-19求点的水平投影空间点可用直角坐标“x，y，z”，来表示。由图2-18中可以看出：①Aa″=a′aZ=aaY=x，x坐标即为空间点A到W面的距离。②Aa=a′aX=a″aY=z，z坐标即为空间点A到H面的距离。③Aa′=aaX=a″aZ=y，y坐标即为空间点A到V面的距离。（二）点的投影与坐标（a）

（b）

（c）图2-18点的三面投影作图步骤：(1)画出两条相互垂直的直线，以作为投影轴，然后在OX轴上向左量取15，得aX点，接着过aX点作OX轴的垂线，如图2-20（a）所示。(2)在过aX点的垂线上向上量取20得a′点，向下量取10得a点，如图2-20（b）所示。(3)过O点画出45°斜线，然后由a点和a′点作出a″点即可，如图2-20（c）所示。【例2-4】已知空间点A（15，10，20），求作它的三面投影图。（a）

（b）

（c）图2-20求空间点的三面投影二、两点之间的相对位置关系空间两点的相对位置是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的上方或下方、前面或后面、左侧或右侧。空间两点的相对位置，可根据其坐标关系来判断，具体表现为：（1）x坐标确定两点的左右关系，x坐标大者在左边，x坐标小者在右边；（2）y坐标确定两点的前后关系，y坐标大者在前边，y坐标小者在后边；（3）z坐标确定两点的上下关系，z坐标大者在上边，z坐标小者在下边。（a）（b）图2-21两点的相对位置值得注意的是，如果空间两点位于某一投影面的同一投射线上，则这两点在该投影面上的投影必定重合为一点，我们将这两点称为该投影面的重影点。如图2-22（b）中，A，B两点在H面上的投影为重影点。三面投影图中，重影点中的可见点标注在前，不可见点应加圆括号注写在可见点的后面，如图2-22（b）中的a（b）。（a）

（b）

图2-22重影点及其可见性重影点可见性的判断应遵循“前遮后（前可见后不可见）、上遮下（上可见下不可见）、左遮右（左可见右不可见）”的投影规律。提示作图步骤：（1）根据A点的3个坐标值作出其三面投影，如图2-23（a）所示。（2）沿OX轴方向量取12（即75）并作OX轴的垂线，沿OY轴方向量取6（即126）并作OY轴的垂线，两条垂线的交点b即为B点的H面投影，如图2-23（b）所示。（3）沿OZ轴方向量取10（即64）并作OZ轴的垂线，该垂线与过b点的竖直垂线的交点为b′点，最后根据b和b′点作出b″点，如图2-23（c）所示。【例2-5】已知空间点A（7，12，6），B点在A点的左侧5mm、上方4mm、后方6mm处，求作B点的三面投影。（a）

（b）

（c）图2-23求点的三面投影两点可以确定一条直线。在几何学中，直线没有起点和终点，即直线的长度是无限的。直线上两点之间的部分（一段直线）称为线段，线段有一定长度。本书所涉及的直线实质上是指线段。空间两点可确定一条直线，故直线的投影取决于该直线上两个点的投影。由此可得出作直线的三面投影的基本方法，即分别作出直线上两个点的三面投影，然后将同面投影用直线连接起来即可第四节

直线的投影一、各种位置直线的投影及投影特性根据直线与投影面的相对位置不同，可将直线分为投影面平行线、投影面垂直线和一般位置直线。平行于某一投影面，同时倾斜于其余两个投影面的直线，称为投影面平行线。其中，平行于H面的直线称为水平线；平行于V面的直线称为正平线；平行于W面的直线称为侧平线。投影面平行线的投影特性如表2-1所示。（一）投影面平行线名称立体图投影图投影特性水平线正平线侧平线表2-1投影面平行线的投影直线与投影面之间的夹角，称为直线的倾角。直线对H面、V面、W面的倾角分别用希腊字母

标记。由表2-1可知，投影面平行线的投影可概括为“一斜两平”，其投影特性为：（1）投影面平行线在与其平行的投影面上的投影反映实长，且该投影与相应的投影轴之间的夹角反映直线与另两个投影面的倾角；（2）投影面平行线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长度小于实长。若空间一直线垂直于某一个投影面，则该直线必定平行于另外两个投影面，这样的直线称为投影面垂直线。其中，垂直于H面的直线称为铅垂线；垂直于V面的直线称为正垂线；垂直于W面的直线称为侧垂线。投影面垂直线的投影特性如表2-2所示。由表2-2可知，投影面垂直线的投影可概括为“一点两垂”，其投影特性为：（1）直线在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点；（2）直线的另外两个投影垂直于相应的投影轴，且反映该直线的实长。（二）投影面垂直线名称立体图投影图投影特性铅锤线

①H面投影积聚为一点②a′b′∥a″b″∥OZ③a′b′=a″b″=AB正垂线

①V面投影积聚为一点②ab∥OYH，a″b″∥OYW③ab=a″b″=AB侧垂线

①W面投影积聚为一点②a′b′∥ab∥OX③a′b′=ab=AB表2-2投影面垂直线的投影特性作图步骤：（1）过a点作OX轴的垂线aaX，在aaX的延长线上截取a′aX=10，如图2-25（a）所示。（2）由于A点在B点的左下方，故过a′点作与OX轴成30°的斜线，该斜线与过b点的垂线bbX的延长线相交，即可得到b′点，如图2-25（b）所示。（3）根据直线AB的水平投影ab和正面投影a′b′，可作出其侧面投影a′′b′′，如图2-25（c）所示。【例2-6】已知图2-24所示直线AB的水平投影ab，该直线对H面的倾角为30°，端点A距水平面的距离为10，A点在B点的左下方，求直线AB的其他两面投影。图2-24已知条件（a）

（b）

图2-25求点的三面投影（c）

图2-25求点的三面投影与3个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，如图2-26中的直线AB。（三）一般位置直线（a）

（b）

图2-26一般位置直线的投影1．一般位置直线的投影特性由图2-26可以看出，一般位置直线的投影可概括为“三斜三短”，其投影特性为：（1）一般位置直线在3个投影面上的投影线均倾斜于投影轴，其投影与相应投影轴的夹角不能反映真实的倾角；（2）3条投影线段的长度都小于空间线段的实长。（a）

（b）

（c）图2-27求一般位置直线的实长和倾角2．一般位置直线的实长和倾角一般位置直线对3个投影面的投影都是倾斜的，3个投影均不能直接反映直线的实长和倾角，但可根据直线的投影，用图解的方法求出该直线的实长及其对投影面的倾角。图解的方法有多种，此处仅介绍最常用的直角三角形法。如图2-27（a）所示，AB为一般位置直线。在AB与其水平投影ab所决定的平面ABba内，过A点作AB1∥ab，并与Bb相交于B1点。由于Bb⊥ab，所以AB1⊥BB1，△ABB1为直角三角形。该三角形的斜边是一般位置线AB本身，∠BAB1为AB对H面的倾角

，直角边AB1等于ab，另一直角边BB1为A，B两端点在垂直方向上的高差，即BB1=｜Bb-Aa｜=｜ZB-ZA｜=ΔZBA。如果能作出△ABB1的投影，就可以求出一般位置直线AB的实长和倾角。如图2-27（b）所示，当直线AB的水平投影ab已知时，以ab为一直角边，以A，B两点的高度差值（即｜ZB-ZA｜）为另一直角边，作直角三角形abB0，则△abB0≌△AB1B，aB0即为一般位置线AB的实长，∠baB0为直线AB与H面的倾角

。同理，求直线AB对V面的倾角

，可将a′b′作为一直角边，将A，B两点的y坐标差｜YA-YB｜（即a，b两点前后方向的距离，可在水平投影图中找出）作为另一直角边，在V面投影上作△A0a′b′，则△A0a′b′≌△AA1B，A0b′即为一般位置直线AB的实长，∠A0b′a′为直线AB与V面的倾角

，如图2-27（c）所示。二、直线上点的投影特性直线上的点都具有从属性和定比性两个特性。从属性：是指若一个点在直线上，则该点的投影必在该直线的同面投影上；反之，若一个点的三面投影均在直线的同面投影上，则该点必在该直线上，如图2-28中的C点为直线AB上的一点。定比性：是指直线上的点分割线段之比在投影后保持不变。如图2-28（a）所示，已知C点分线段AB为AC和CB两部分，由于Aa//Cc//Bb，因此

同理

，即已知直线与点的投影，可利用定比性法和补投影法来判定点与直线的相对位置。其中，定比性法是通过点的定比性对其位置进行判断的方法；补投影法是通过补画已知直线和已知点的投影，来判断点与直线相对位置的方法。

（a）

（b）

图2-28直线上点的投影补投影法作图步骤：（1）根据直线AB的正面投影a'b'和水平投影ab，作出其侧面投影a''b''。（2）分别作点M和点N的侧面投影m''点和n''点，如图2-29（b）所示。由于m''点在直线a''b''上，而n''点不在直线a''b''上，因此可以判定M点在直线AB上，而N点不在直线AB上。【例2-7】已知直线AB、点M和点N的正面投影a'b'，m'，n'，以及水平投影ab，m和n，如图2-29（a）所示，试判断点M和点N与直线AB的关系。（a）已知条件图2-29点与直线相对位置的判别（b）补投影法图2-29点与直线相对位置的判别定比性法作图步骤：若采用定比性法作图时，应先过点a作任一辅助线，并取ab1a'b'，连接bb1，然后在ab1上量取am0=a'm'及n0b1=n'b'，最后过点m0和点n0分别作直线bb1的平行线，如图2-29（c）所示。由该图中可知，M点在直线AB上而N点不在直线AB上。【例2-7】已知直线AB、点M和点N的正面投影a'b'，m'，n'，以及水平投影ab，m和n，如图2-29（a）所示，试判断点M和点N与直线AB的关系。（a）已知条件图2-29点与直线相对位置的判别（c）定比性法图2-29点与直线相对位置的判别（1）用直角三角形法求CD的实长cd0，如图2-30（b）所示。（2）在线段cd0上截取ce0，并使ce0=CE的实长，然后过e0点作dd0的平行线，交cd于e点，最后由e点求出e'点，如图2-30（c）所示。【例2-8】已知图2-30（a）所示为直线CD的两面投影，试在该直线上取一点E，使得CE等于定长。（a）（b）（c）图2-30求一般位置直线的实长和倾角图2-31厂房形体三、两直线的相对位置空间两直线可能有3种不同的相对位置，即平行、相交和交叉。如图2-31所示的厂房形体，棱边AB与BC相交，DG与EF平行，DE与GH交叉（既不相交又不平行）。由于两平行棱边或相交棱边都在同一平面上，所以它们均称为共面线。两交叉棱边不在同一平面上，因此称为异面线。两直线平行的投影规律为：①若两直线平行，则它们的各同面投影一定相互平行。反之，若空间两直线各同面投影均相互平行，则该两直线一定为平行关系；②若两直线平行，则它们的长度之比等于它们各同面投影的长度之比。如图2-32所示，直线AB平行于直线CD，则ab//cd，a'b'//c'd'，且AB∶CD=ab∶cd=a'b'∶c'd'。（一）两直线平行图2-32两直线平行的投影规律值得注意的是，如果两直线均为投影面平行线，则只有当反映实长的同面投影上的投影为平行线时，才能判定这两条直线平行。