北师大高中数学选择性必修第一册5.1.1计数原理【课件】

第五章计数原理自主预习互动学习达标小练

1计数原理1.1计数原理基础训练自主预习m＋nm1＋m2＋m3m1＋m2＋…＋mnm×nm1×m2×m3m1×m2×…×mn分类分步分类分步提示：在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，若相同，则它只能在同一类方案中且只能算是一种方法.提示：分类加法计数原理中的“各种方法”都能独立“完成这件事”，与“其他方法”没关系.提示：在分步乘法计数原理中，两步不同方案中的方法数可以相同.提示：要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，且相互依存.基础训练互动学习[解]

解法一：分析个位数，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……；个位是2的只有1个.由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).解法二：按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).解法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：12，13，14，15，16，17，18，19，23，24，25，26，27，28，29，34，35，36，37，38，39，45，46，47，48，49，56，57，58，59，67，68，69，78，79，89.共有36个符合题意的两位数.解：(1)当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个.当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个.当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个.同理可知，当个位数字是2时，共7个.当个位数字是0时，共9个.由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个).(2)分三类：①第一类为一位整数，有1，2，3，共3个；②第二类为二位整数，有12，13，21，23，31，32，共6个；③第三类为三位整数，有123，132，213，231，312，321，共6个.∴共组成3＋6＋6＝15个无重复数字的整数.[解]

完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：第一步：确定a有3种不同的选取方法；第二步：确定b有4种不同的选取方法；第三步：确定r有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个).解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法.

根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法.

由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.[解]

(1)某同学想报名参加田径项目中的某一个项目，这一个项目有可能是田赛的项目，也可能是径赛的项目，因此这是分类问题.

而田赛项目有8个，只报其中一项相应有8种报名方法；径赛项目有5个，相应有5种报名方法，根据分类加法计数原理，共有8＋5＝13(种)报名方法.(2)某同学想报名参加田赛项目中的某一个和径赛项目中的某一个，需先报名参加田赛，再报名参加径赛(先报名参加径赛，再报名参加田赛，最后计算结果一样)，因此这是分步问题，用乘法，得8×5＝40(种)报名方法.(3)一位同学报名参加田赛，另一个同学报名参加径赛，但不知是谁报名参加田赛，谁报名参加了径赛，因此，需先分类.若甲同学报名参加田赛，乙同学报名参加径赛，这是分步问题，用乘法，得8×5＝40(种)报名方法；若乙同学报名参加田赛，甲同学报名参加径赛，同样有8×5＝40(种)报名方法.

因此，两类共有40＋40＝80(种)报名方法.C解析：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，由分步乘法计数原理可知，此时有2×10＝20(种)不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，由分步乘法计数原理可知，此时有2×3×10＝60(种)不同的选法.由分类加法计数原理可知，一共有20＋60＝80(种)选法.

故选C.基础训练达标小练A解析：由分类加法计数原理可知，张先生从本地到上海的出行方案可以是坐动车前往，或者坐飞机前往，共有4＋3＝7(种).

故选A.B解析：根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，则从一层到四层共有2×2×2＝23(种)走法.

故选B.14解析：由题意，如果由甲地经乙地到丙地，则有2×3＝6(种)不同的走法；如果由甲地经丁地到丙地，则有4×2＝8(种)不同的走法；因此，从甲地到丙地共有14种不同的走法.85解析：若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数N1＝5×5＝25；若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数N2＝3×4×5＝60.

故这三人出游的不同方法数N＝N1＋N2＝85.解：第一类：经过AB，有m1＝1×2＝2(