2017年考研数学一二三真题

绝密★启用前

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）

（科目代码301）

考生注意事项

1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写

报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。

不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。

3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指

定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分

必须使用2B铅笔填涂。

5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。

考生姓名:

考生编号:

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1-cosVx八

---------_r>0

(1)若函数ax在x=O处连续，则()

b,x<0

(C)ab-0(D)ab=2

(2)设函数/(%)可导，且/(x)/(x)〉O,则()

(A)/(l)>/(-1)</(-1)

(C)|/(l)|>|/(-l)|(D)|/(l)|<|/(-l)|

（3）函数/（乂％2）=/丁+22在点（1,2,0）处沿向量〃=（1,2,2）的方向导数为（）

(A)12(B)6(C)4(D)2

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线丫=匕。）（单

位：m/s）,虚线表示乙的速度曲线丫=彩«），三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后

乙追上甲的时刻记为（单位：s）,则（）

（A）ro=io（B）15<f0<20（c）ro=25（。%>25

（5）设a是〃维单位列向量，E为“阶单位矩阵，则（）

（A*-。/不可逆（8庐+如/不可逆

（C）E+7不可逆（D）E-不可逆

2001121oipoo'

(6)设矩阵A=021,B=020,C=020，则()

1J[o01J|_002_

00

(A)A与。相似,8与C相似(8)A与C相似,B与C不相似

(C)A与C不相似,8与C相似(。)A与C不相似,8与C不相似

(7)设4,8为随机概率，若O<P(A)<1,O<P(B)<1,则q04忸)>「(4画的充分必要条件是()

(A)P(B|A)>P(平)(B)P(BfA)<P(B|A)

(C)P(同A)>P(B|A)(D)P(B\A)<F(£?|A)

_I〃

(8)设X»X,…X“(〃N2)为来自总体N(〃,l)的简单随机样本，i£X=-yX,.,则下列结论中不正确

的是()

⑷£氏>服从/分布(6)2(X“-Xj服从/分布

i=l

(C)f(X-对服从/分布⑵〃(又一〃)2服从72分布

i=\

二、填空题：9T4小题，每小题4分，共24分，请将答案写在为踏纸指定位置上.

(9)已知函数/*)=—^,则/⑶(0)=

1+广

(10)微分方程y"+2y+3y=()的通解为y=

(11)若曲线积分jxdx-aydy在区域。={(x,y)|V+y2<1}内与路径无关，则

x2+y2-l

(12)幕级数之(-1尸始/1在区间(一1,1)内的和函数S(x)=

rt=l

」01、

(13)设矩阵A=112%,二2，%为线性无关的3维列向量组，则向量组A%,4里,4。3的秩为

、01"

(14)设随机变量X的分布函数为b(幻=0.5①(x)+0.5①(亍)，其中①(x)为标准正态分布函数，则

EX=

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

(15)(本题满分10分)

设函数具有2阶连续偏导数，y=/(e*,cosx),求也到

办"。，

(16)(本题满分10分)

求limf&lnjl+X］

…普〃(n)

(17)(本题满分10分)

已知函数y(x)由方程d+y3-3x+3y—2=0确定，求y(尤)的极值

(18)(本题满分10分)

设函数/(x)在区间［0,1］上具有2阶导数，且/(l)>0,lim」®<0,证明：

(I)方程/(X)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；

(口)方程/(x)/'(x)+(/(x))2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

(19)(本题满分10分)

设薄片型物体S是圆锥面2=户衣被柱面z?=2x割下的有限部分，其上任一点的密度为

〃=9商+/+22。记圆锥面与柱面的交线为C

(I)求C在xOy平面上的投影曲线的方程；

(口)求S的M质量。

(20)(本题满分11分)

设3阶矩阵A=a2,%)有3个不同的特征值，且%=%+2%。

(I)证明r(A)=2.

(n)若尸=4+。2+%，求方程组4的通解。

(21)(本题满分11分)

设二次型，(七,工2，工3)=2-Xj2-x；+渥+8X1X+在正交变换X-QY下的标准型

2XIX2-32X2X3

4犬+4员，求“的值及一个正交矩阵。

（22）（本题满分11分）

设随机变量x,y相互独立，且x的概率分布为p（x=o）=p（x=2）=1,y的概率密度为

2

J2y,0<y<1

=fo,其他

（I）求P（Y<EY）

（口）求2=乂+丫的概率密度。

（23）（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做〃次测量，该物体的质量〃是已知的，

设〃次测量结果X（,X2---X„相互独立且均服从正态分布N",『）。该工程师记录的是〃次测量的

绝对误差Z,=|X,-”。=1,2,…〃）,利用乙,乙…Z,,估计。o

（I）求Z,的概率密度；

（口）利用一阶矩求b的矩估计量

（III）求a的最大似然估计量

参考答案

1

1.【答案】A【解析】limi。，虫=lim二」,/(x)在x=0处连续.•.’-=6=>。匕=，.选A.

io*ax*TO*ax2a2a2

,"(x)>0”(x)<0

2.【答案】C【解析】/(x)/(x)>O,.-.r(1)或X⑵，只有c选项满足⑴且满足⑵，

[f\x)>0[f\x)<Q

所以选c。

3.【答案】D【解析】

2

gradf={2xy,x,2z},^gradf\(i20)={4,\,Q]=gradf-={4,1,0}-=2.D

4.【答案】B【解析】从0到％这段时间内甲乙的位移分别为J：w(tWf,「V2(t)力，则乙要追上甲，则

「玲(。一丫|。或=10，当"=25时满足，故选C.

5.【答案】A【解析】选项A,由(E—aa')a=a—。=0得(E—B/)X=0有非零解，故|后一。。[=0。

即E-a"不可逆。选项B,由r(ac/)a=l得aa'的特征值为n-1个0,1.故E+a"的特征值为n-1个

1,2.故可逆。其它选项类似理解。

6.【答案】B【解析】由(4E—4)=0可知A的特征值为2,2,1因为3—r(2E—A)=l,，A可相似对角化,

'100、

且4~020由|4£一同=0可知3特征值为2,2,1.因为3-r(2E-8)=2,；上不可相似对角化，

、002)

显然C可相似对角化，C,且B不相似于C

7.【答案】A【解析】按照条件概率定义展开，则A选项符合题意。

8.【答案】B【解析】

X「N(4,l),Xj—〃N(O,1)

二'区-〃)232(〃),AjE确

/=!

n(〃—IN='区一》)2/(〃_]),c正确，

/=1

=>一~N(〃」),M(区-MNOD,〃(又-〃)2~一⑴,D正确,

n

=>~N(0,2),(X\XJ：~/⑴，故B错误.

由于找不正确的结论，故B符合题意。

9.【答案】7(0)=—6【解析】

11

=Z(7)"=Z(-1)””

.”177=EJ?i=0n=0

QO

r(x)=Z(—1)"2〃(2〃—1)(2〃—2)--3n/(o)=o

n=2

v

10.【答案】y=e--(c,cosV2x+c2sin^2x),(qq为任意常数)【解析】齐次特征方程为

x

分+24+3=0=42=-1+及，故通解为e-(c,cos叵x+c2sin缶)

11.【答案】a=\

-2xydQ_2axy由积分与路径无关知竺=丝=。=-1

【解析】2=

(x2+y2-1)2'dx(x2+y-l)2dydx

12.【答案】s(x)=—二【解析】£(-1严放1=住(_1产炉

(1+x)〃=13=17(1+X)2

13.【答案】2【解析】由巴,&2，&3线性无关，可知矩阵?，。2，%可逆，故

r(,Aa2,AZ3)="(4(%%。3))=「(4)再由广(4)=2得「(A4,Aa2,Aa3)=2

14.【答案】2【解析】尸(幻=0.50。)+:夕(士当，故成=0.5「"必心:心+与「：攻(三心心

J：x°(x心=EX=0«令=t,则J：心=(4+2/)夕⑺力=8-1+4「：t(p(t)dt=8

因此E(X)=2.

15.【解析】

x=0

y=/(e\cosx)=>>(0)=/(1,1)

=空(<e*+£(—sinx))L=，(1,1).1+£(1,1)，0=£(1,1)

二区

A=0

”„“.结论:

q2x2x

fiie+//(—sinx)+力;e*(-sinx)+%sinx+f[e-f2cosx

dx~

n也

dx2

x=0

dy

=，(U)

dxx=0

"(1,1)+"/)-£(1,1)

dx2

x=0

16.【解析】

理富中n(l+>J：xln(l+幻心=费ln(l+x)&=g(ln(l+x).引T；办)=；

17.【解析】两边求导得：

3x2+3/y,-3+3y'=0(1)令y'=0得x=±l

对(1)式两边关于x求导得6x+6y(y]+3力"+3y"=0(2)

x=1[x=—1

将》=±1代入原题给的等式中，得彳or\，将x=l,y=l代入(2)得V'⑴=—1<0

y=1[y=0

将x=-l,y=0代入(2)得乂卜2=0>故x=l为极大值点，XD=bx=—1为极小值点，y(T)=0

18.【解析】

(I)/(x)二阶导数，/⑴>0,lim"D<0解：1)由于根据极限的保号性得

-r->0+Xx»+X

引〉0,Vxe(0⑶有3<0,即/(幻<0进而/w(0⑶河0)<0

又由于f(x)二阶可导,所以/(X)在［0,1］上必连续那么/(X)在心,1］上连续，由f(S)<0"⑴>0根据

零点定理得：至少存在一点ge(5,i),使/(?=(),即得证

(II)由⑴可知"0)=0,送w(0』)，We)=0,令"x)=/(x)/(X),则/(0)=/©=0

由罗尔定理三〃6(0片),使7''(〃)=0,则/(0)=网)=式§=0,对尸(X)在(0,")，SX)分别使用罗尔

定理:叫€(0，v),〃2G(〃/)且2G(°，1)，〃尸％，使得尸(7)=?(〃2)=°，即

尸(x)=/(x)/"(x)+(/'(x))2=0在(0,1)至少有两个不同实根。得证。

19.【解析】

(1)由题设条件知，C的方程为|z=Jr+厂=f+,2=2%则c在X”平面的方程为［X'+y'=2”

z2=2x1z=0

(2)

m=jj〃(x,y,z)dS=jj9-^x2+y2+z2dS-jj9^2^x1+y2y/2dxdy

22

SSD:x+y<2x

f—广2coscc

=18卜到户dr=64

2

20。【解析】

(I)证明：由。3=(/］+2a2可得%+2a2-&=。，即a2，%线性相关，

因此，同=同％闯=0,即A的特征值必有0。

又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.

'4、

且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为A=4，4工4NO

r(A)=r(A)=2

(II)由(1)r(A)=2,知3—r(A)=l,即Ax=0的基础解系只有1个解向量，

q]0)f1

由,+2%_%=0可得(%,%，%)2=A2=0,则Ax=0的基础解系为2

I1-1

/lJ、-

T

又2=/+%+%，即(%,%，。3)1=A1=),则Ac=/的一个特解为1,

(1J

‘1］。

综上，而=用的通解为％2+1,k&R

II

21.【解析】

’21-4、

T

f(xt,x2,x3)=XAX,其中A=1-11由于/(不X2，玉)==X『AX经正交变换后，得到的标准

I-41a)

21-4

形为故r(A)=2n|A|=0n1-11=0na=-2,

-41a

'21-4、

将a=2代入，满足r(A)=2,因此a=2符合题意，此时A=1-11,贝I

、-412,

2-2-14

|A,E—A|=—12+1—1=0n4=—3,4=0,4=6,

4-12-2

由(―3£—4)x=0,可得A的属于特征值-3的特征向量为4=-1

由（6E-A）x=0,可得A的属于特征值6的特征向量为的=0

由（OE—A）x=O,可得A的属于特征值0的特征向量为a

'-3、

令P=（q,。2，4），则白6,由于%,%，见彼此正交，故只需单位化即可：

1T1T

口2=7(-1,0,1),笈=70,2,1),，

1J_、

3夜瓜

则。=（夕/4）=QTAQf=—3y：+6式

忑V6

正

22.【解析】

(I)E(r)=f'y2M'=1

JO3

P(Y<Er)=P(r<|)=j^2ydy=|

(n)£(Z)=P(Z4z)=P(X+y4z)

=P(X+Y<z,X=0)+P(X+Y<z,X=2)

=p(y(z,x=o)+p(y4z—2,x=2)

=1p(y<z)+1p(r<z-2)

(1)当z<0,z—2<0,而z<0,则£(Z)=0

(2)当z-221,z>l,即zN3时，£(Z)=1

(3)当0Wz<l时，E(Z)=-z2

(4)当lWz<2时，E(Z)=1

0z<0

1

—z92,0<z<1

2

(当时，(；产所以综上

5)2«z<3EZ)=+g(z—2£(Z)=<-,l<z<2

2

-+-(Z-2)2,2<Z<3

22

1,z>3

z0<z<l

所以工(Z)=[£(Z)j=<

z-22<z<3

23.【解析】⑴E,(z)=P(Z,Yz)=P(|Xj—“<z)当z<0,4(z)=0

当z20,工(z)=P(-z<Xj-p<z)=P(〃-z<X：<〃+z)=心(〃+z)-尸(〃-z)

当z20时,

z2z2.2

二工,(z)=(£,(z))=A(〃+z)+工.(〃—z)=s^「2M+-^-L-e2M=-/=-e2M

—:2—ez>0

综上工,c)=疡。，

0,z<0

12Mdz2

G*(ZJ=『高e

Z22

-2b2

_Z=]〃Z]〃A

令E(Z,)=Z~H：=二2区-〃I由此可得(T的矩估计量b=亲吐”

n/=!nz=l

对总体X的〃个样本X,X2,…X“，则相交的绝对误差的样本Z1,Z2,…Z“,Z,=归_Mj=1,2…〃,令其样

本值为zvz2,-zn,4=归-M

n

nZz,?

'2M

则对应的似然函数L(b)=e，44,…Z“>0两边取对数，当4久,…Z”>0时

0,其他

ln^)^ln-一-LtZ；令也必叽,+»=。

后o2〃白1dou'

所以，a=-Yz.=J-Y(x,--w)2为所求的最大似然估计。

n

几i=iV自

绝密★启用前

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）

（科目代码302）

考生注意事项

1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写

报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。

不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。

3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指

定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分

必须使用2B铅笔填涂。

5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。

考生姓名:

考生编号:

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1-COSV%八

-------------Y>0

(1)若函数/(x)=依'在x=O处连续，则()

b,x<0

(A)ab=—(B)ab=-—(C)ab=O(D)ab=2

22

(2)设二阶可导函数/(x)满足/⑴=/(—l)=lJ(O)=—l且/(x)>(),则()

(A)j]f(x)dx>0(B)jf(x)dx<0

(C)£f(x}dx>£f(x}dx(D)£/(x)d!x<£/(x)rfx

(3)设数列{七}收敛，则()

(A)当limsin/=0时，limx/,=0(B)当lim(xw+JkJ)=,limxw=0

“TOOn—>00Yn—x»

(C)当lim(xw+x,j)=0时，lim怎=0(D)当lim(xH+sinx〃)=0时，lim怎=0

〃一>8M—>00W—>00W^CO

(4)微分方程y"-4y'+8y=e2x(l+cos2劝的特解可设为

(A)Ae2x+e2x(Bcos2x4-Csin2x)(B)Are"+/，(3cos2x+Csin2x)

(C)Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)(D)Are2v+e2\Bcos2x+Csin2x)

(5)设/(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y),都有空把2>0,空辿>0,则

dxdy

(A)/(0,0)>/(1,1)(B)/(0,0)</(1,1)(C)/(0,1)>/(1,0)(D)/(0,1)</(1,0)

（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线u=w（f）（单

位：m/s）,虚线表示乙的速度曲线u=%Q），三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追

上甲的时刻记为%（单位：s）,则（）

(A)t0=10(B)15<r0<20(C)t()-25(D)t0>25

v(m/5)

’0、

(7)设A为三阶矩阵，。=(,,。2，。3)为可逆矩阵，使得pTAP=1，则4(«。2公)

IV

(A)+a2(B)a2+2a3(C)a2+a3(D)4+2a2

20O-

(8)设矩阵A=020，则()

002

(A)A与C相似,8与C相似(B)A与C相似,6与C不相似

(C)A与C不相似,8与。相似(D)A与C不相似,8与C不相似

二、填空题：9-14小题，每小题4分,共24分，请将答案写在答犀纲指定位置上.

(9)曲线y=A-fl+arcsin|j的斜渐近线方程为

(10)设函数y=y(x)由参数方程-确定，则T=______

y=sintdx_

i，rt=o

r+<^ln(l+x),

(11)——汕二

J。(1+x)2

(12)设函数/(x,y)具有一阶连续偏导数，且矽'(x，y)=yeZx+x(l+y)eZy,/((),())=0,则

f(x,y)=______

(13)dx=_______

JOJyx

4J:…向量为川

(14)设矩阵A=1则a-______

1-U⑴

3

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

[y/x-te'dt

(15)(本题满分10分)求极限lim人—一—

AO.、//

(16)(本题满分10分)设函数/(“#)具有2阶连续偏导数，y=f(e',cosx),求学，

ax戈=0dx

求lim^fin1+5

(17)(本题满分10分)

〃T8倒

(18)(本题满分10分)已知函数y(x)由方程/+y3—3x+3y-2=0确定，求y(x)的极值

(19)(本题满分10分)设函数/(x)在区间[0J上具有2阶导数，且/(l)>0,lim〃D<0,证明:

io*x

(I)方程/(x)=0在区间(0,1)内至少存在一个实根：

(口)方程/(x)/(x)+(f(x))2=()在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

(20)(本题满分11分)己知平面区域。={(%刈/+丁2〈2y},计算二重积分“(犬+1)%办。

D

(21)(本题满分11分)设y(x)是区间内的可导函数，且y(l)=0,点P是曲线L：y=y(x)上

任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,5),法线与X轴相交于点(XdO),若Xp=Y0,求L

上点的坐标(x,y)满足的方程。

(22)(本题满分11分)设3阶矩阵4=(%，a”。3)有3个不同的特征值，且。3=囚+2%。

(I)证明：r(A)=2

(口)若夕=%+%+。3,求方程组瓜=用的通解。

(23)(本题满分11分)设二次型/(X1,々，l3)=2工：一X；+竭+2玉工2-8王%3+2工2尤3在正交变换

X=QY下的标准型4y2+4及，求。的值及一个正交矩阵。.

参考答案

1

1.【答案】A【解析】lim1-COS—lim,/'(X)在尤=0处连续：.-!-=6=a6=L.选A.

so+ax-0+ax2a2a2

2.【答案】B【解析】/(x)为偶函数时满足题设条件，此时公=J；/(x)0c,排除C,D.

取/(幻=2/—1满足条件，贝仃：/(处公="2/-1)公=_g<。，选区

3.【答案】D【解析】特值法：(A)取z=乃，有Kmsinxn4),lim玉="，A错；取x”=-1,排除B,C.

ms“TOO

所以选D.

4.【答案】A【解析】特征方程为：万一4'+8=()=4,2=2±2'

/(x)=e2x(l+cos2x)=e2x+e2xcos2xy：=Ae2x,y^=xe2x(Bcos2x+Csin2x\

故特解为：y*=y：+y；=+xe2x(Bcos2x+Csin2x),选C.

5.【答案】C【解析】>丫'\>0,N)<0,n/a,y)是关于X的单调递增函数,是关于y的单调递

dxdy

减函数，所以有/(0,l)v/(l/)v/(l,0),故答案选D.

6.【答案】B【解析】从0到九这段时间内甲乙的位移分别为J：h(t)df,J：岭(0力，则乙要追上甲，则

J：V2(t)—V1(tWf=10,当f°=25时满足，故选C.

7.【答案】B【解析】

<0、<0、’0

P-'AP^1nAP=P1=>A(/,%,%)=(/,%,%)1

、2J、2)

因此B正确。

8.【答案】B【解析】由日石一川=0可知人的特征值为2,2』,因为3-"2后-4)=1,，人可相似对角化,

'100、

即4~020由|4七一却=0可知8特征值为2,2,1.因为3—“2石—8)=2,..出不可相似对角化，

、。。2)

显然C可相似对角化，A~C，但B不相似于C.

lim—=Iim(l+arcsin—)=IJim(y-x)=limxarcsin—=2,

-8X.r->oox.v->oo'.r—>oo

9.【答案】y=x+2【解析】

y-x+2

10.【答案】一工【解析】

8

dydx..dycost

—=cosz,—=1+en—=-----

dtdtdxl+er

cost

d2y3T+7-sin，(l+，)-cosfdd2y]_

，

dx2dxdx2|=°8

lit

11.【答案】1【解析】

71n(l+x)+00

dc=-Jln(l+x)d1

I(1+x)21

1+x

0

■KO]

ln(l+x)lr--]-^x

102

1+xi(1+x)

-KO1

=[--------^dx=1.

o(l+x)

yy

12.【答案】型【解析】_ye>=+y^e>y)=jyedx=xye+c(y),

yyyy

f'y=xe+xye+c\y)=xe+xye,।大毗c'(y)=O'即c(y)=C，再由/(0,0)=0'可得

f(x,y)=xyey.

tanXtar>X

13.【答案】Incosl.【解析】交换积分次序：[dy[dx-[dx\dy-ftanxd!x=lncosl

JQJyJQJOJOxJO

q、

14.【答案】-1【解析】设a=1,由题设知Ae=；la,故

2

1%、

122故a=—1.

、313L

2yjx-te1

15.【答案】一【解析】lim业一一——dt,令xT=u，则有['yfx^te'dt=—「du

3i。QJoJxJo

[y[uex^l,du

Jo

原式二lim-3-

一X2

2

lim

x->03

半=/；(1,1),筌=尤(1,1),【解析】

16.【答案】

公*=。次1=0

x=0

y=f(ex,cosx)ny(0)=/(l,l)

*=(川+f2(-sinx))|=£(U)•1+£(1,1).0=f；(1,1)

axx=o

/v...„,结论:

x2x

=>—V=</'+工；"(一sinx)+flxe(-sinx)+sinx+fte-f；cosx

ax~

二制"(1,1)+/(1，D-£(1，1)

dy

"(I』)

出,v=0

=，；(1,1)+£(1,1)-£(1,1)

於D

17.【答案】-【解析】

4

㈣*自n(l+>J；xln(l+xg=[ln(l+x)加=g(ln(l+x).理—£^^1狗=；

18.【解析】两边求导得：

3x2+3y2y'-3+3y'=0(1)

令>'=0得工=±1

对(1)式两边关于X求导得6x+6y(V)2+3y2y"+3y"=0(2)

X=1[x=—1

将％=±1代入原题给的等式中，得1or\,

」=1[y=0

将X=l,y=l代入(2)得>"(1)=一1<0将x=-l,y=O代入(2)得y"(—1)=2〉0

故x=l为极大值点，y⑴=1；x=—l为极小值点，y(T)=0

19.【解析】

(I)f(x)二阶导数，/(1)>0,

7+X

解：1)由于lim/鱼<0,根据极限的保号性得mb〉O,Vxe(O,b)有/@<0,即，(x)<()

Xf0+XX

进而*w(0,b)有了(5)<0又由于/(%)二阶可导，所以/(%)在［0,1］上必连续

那么在［5,1］上连续,由-0)<()J⑴>()根据零点定理得：至少存在一点欠0,1),使/©=0,

即得证

(II)由⑴可知"0)=0,至G(0,l),使/1©=(),令尸(x)=/(x)/'(x),则/(0)=/G)=0

由罗尔定理三7;€(04)，使/•'(〃)=(),则E(0)=O=F(4=0,对/(x)在(0川),①,9分别使用罗尔

定理:助|e(0,〃),％e(〃，)且7，%e(0,1),〃产%,使得尸,(/)=小(小)=0,即

F'(x)=/(x)/"(x)+(/'(%))2=0在(0,1)至少有两个不同实根。得证。

20.【解析】

jj(x+1)dxdy=JJ(x2+ijdxdy=20^dxdy+JJdxdy=2「dO^6r2co^Odd+K=—

DDDD004

21.【解析】设p(x，Mx))的切线为y—y(x)=y'(x)(X—x),令X=0得Z，=y(x)-y'(x)x,法线

Y-y(x)=-看(“一“),令'=°得、/,="+y(x)y'(x)°由X„='得'-xy'(x)=x+yy'(x),即

(2+l］y'(x)=2-l。令2=〃，则y=Mt,按照齐次微分方程的解法不难解出

(X/XX

—ln(«2+1)+arctanu=-In|x|+C,

x

22.【解析】(I)证明：由=囚+2。2可得q+2。2-。3=o，即线性相关，

因此，|川=|%4%|=(),即A的特征值必有0。又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有

1个0,另外两个非0.

且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为A=4，4声4Ho

/.r(A)=r(A)=2

(II)由(1)r(A)=2,知3—r(A)=l,即Ar=O的基础解系只有1个解向量,

p、1、q

由%+2%-%=0可得(%,%，。3)2=A2=0,则Ax=0的基础解系为2

J

-1

7

又用=%+%+。3，即(%,%。3)1=川1]=’，则=〃的一个特解为11

综上，=〃的通解为％2+1,keR

23.【解析】

’21-4、

)(X1,X2，X3)=X'AX,其中A=1-11

[~41a,

由于/(x„x2,x3)=X『AX经正交变换后，得到的标准形为4犬+人£

21-4

故r(A)=2=>|A|=0=>1—11=0=>a=2,

-41a

'21-4、

将a=2代入，满足r(A)=2,因此a=2符合题意，此时A=1-11,则

、-412，

2-2-14

|A,E—A|=-12+1-1=0n4=—3,4=0,4=6,

4-1Z-2

C、

由(—3£—A)x=0,可得A的属于特征值-3的特征向量为名=-1；

-1

由(6E-A)x=(),可得A的属于特征值6的特征向量为巴0

由(OE-A)x=0,可得A的属于特征值0的特征向量为火

’-3、

令2=(%,%,4)，则P"AP=6,由于%,彼此正交，故只需单位化即可:

ri11)

耳

.正r-3、

12

则。=（£/用）=0，T6