集合与常用逻辑用语达标训练4

课时达标第3讲[解密考纲]本考点考查命题及其相互关系，全称命题和特称命题的互化，尤其是后者，频繁出现在高考题中，常以选择题、填空题的形式呈现．一、选择题1．已知命题p：对任意x>0，总有ex≥1，则¬p为(B)A．存在x0≤0，使得ex0<1 B．存在x0>0，使得ex0<1C．对任意x>0，总有ex<1 D．对任意x≤0，总有ex<1解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：对任意x>0，总有ex≥1的否定¬p为：存在x0>0，使得ex0<1.故选B．2．已知命题p：∃x0∈R，tanx0＝1；命题q：∀x∈R，x2＞0.下面结论正确的是(D)A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧¬q”是假命题C．命题“(¬p)∨q”是真命题D．命题“(¬p)∧(¬q)”是假命题解析：取x0＝eq\f(π,4)，有taneq\f(π,4)＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．3．(2017·河南模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a2－2(a≠0)，g(x)＝－ex－eq\f(1,ex)，则下列命题为真命题的是(B)A．∀x∈R，都有f(x)＜g(x)B．∀x∈R，都有f(x)＞g(x)C．∃x0∈R，使得f(x0)＜g(x0)D．∃x0∈R，使得f(x0)＝g(x0)解析：函数f(x)＝x2－2ax＋2a2－2＝(x－a)2＋a2－2≥a2－2>－2，g(x)＝－ex－eq\f(1,ex)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))≤－2，显然∀x∈R，都有f(x)>g(x)，故选B．4．命题“存在x∈R，使x2＋ax－4a＜0为假命题”是命题“－16≤a≤0”A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：依题意，知x2＋ax－4a≥0恒成立，则Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤5．(2016·山东枣庄模拟)命题p：x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是(D)A．(0,4] B．[0,4]C．(－∞，0)∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：命题p的否定是¬p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0成立，即ax2＋ax＋1<0成立是真命题．当a＝0时，1<0，不等式不成立；当a>0时，要使不等式成立，须a2－4a>0，解得a>4或a<0，即a>4；当a<0时，不等式一定成立，即a<0.综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)，故选6．(2016·河南开封一模)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，有3x>2x，p2：∃θ∈R，sinθ＋cosθ＝eq\f(3,2)，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是(C)A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4解析：因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x在R上是增函数，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以p1是真命题；sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤eq\r(2)，所以命题p2是假命题，¬p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(¬p2)是真命题，故选C．二、填空题7．(2017·四川模拟)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝0解析：若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)8．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]．解析：由题可知“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，所以可得Δ＝(－3a)2－4×2×9≤0，解得－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2).9．给出下列命题：①函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋x))是偶函数；②函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))图象的一条对称轴方程为x＝eq\f(π,8)；③对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时，f′(x)＞g′(x)；④若∀x∈R，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则4是该函数的一个周期；其中真命题为①③④.(写出所有真命题的序号)解析：对于①，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋x))＝－cosx是偶函数，正确；对于②，把x＝eq\f(π,8)代入2x＋eq\f(π,4)，有2×eq\f(π,8)＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，而coseq\f(π,2)＝0，故x＝eq\f(π,8)不是函数图象的一条对称轴方程，错误；对于③，根据函数的奇偶性和导数与函数单调性的关系，可以得出，当x<0时，有f′(x)>0，而g′(x)<0，故x<0时，f′(x)>g′(x)，正确；对于④，令x＝x＋2，可以得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，根据周期的定义，可知4是该函数的一个周期，正确．三、解答题10．设命题p：函数f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R；命题q：任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥eq\r(m2＋8)恒成立；如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．解析：命题p：f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R⇒Δ＝16－4a2<0⇒a>2或a＜－2.命题q：∵m∈[－1,1]，∴eq\r(m2＋8)∈[2eq\r(2),3]．∵对任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥eq\r(m2＋8)恒成立，∴只须满足a2－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1.∵命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p与q一真一假．①若p真q假，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞2或a＜－2，,－1＜a＜6))⇒2＜a＜6；②若p假q真，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a≤2，,a≤－1或a≥6))⇒－2≤a≤－1，综上，a的取值范围为[－2，－1]∪(2,6)．11．(2017·湖北孝感调研)命题p：在f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]时的最大值不超过2，命题q：正数x，y满足x＋2y＝8，且a≤eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)恒成立，若p∨(¬q)为假命题，求实数a的取值范围．解析：当a≤0时，f(x)max＝f(0)＝1－a≤2，解得－1≤a≤0；当0<a<1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1≤2，解得0<a<1；当a≥1时，f(x)max＝f(1)＝a≤2，解得1≤a≤2.所以使命题p为真的a的取值范围是a∈[－1,2]．由x＋2y＝8，得eq\f(x,8)＋eq\f(y,4)＝1，又x，y都是正数，所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,8)＋\f(y,4)))＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,8y)＋\f(y,2x)))≥eq\f(1,2)＋2eq\r(\f(x,8y)·\f(y,2x))＝1，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,8y)＝\f(y,2x)，,x＋2y＝8))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2))时等号成立，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))min＝1.因为a≤eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)恒成立，所以a≤1，所以使命题q为真的a的取值范围是a∈(－∞，1]．因为p∨(¬q)为假命题，所以p假q真，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>2，,a≤1，))则a<－1，故a的取值范围是(－∞，－1)．12．(2017·河北衡水调研)已知a∈R，命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．解析：(1)因为命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，令f(x)＝x2－a，根据题意，只要x∈[1,2]时，f(x)min≥0即可，也就是1－a≥0⇒a≤1，即a的取值范围是(－∞，1](2)由(1)可知，命题p为真时，a≤1，命题q为真时，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以命题p与命题q一真一假，当命题p为真，命题q为假时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,－2＜a＜1))⇒－2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,a≤－2或a≥1))⇒a＞1.综上，实数a的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．沁园春·雪<毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。望长城