专题知识清单抛物线的常用二级结论-高二上学期数学人教A版选择性

专题抛物线的常用二级结论抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.（其中p的几何意义：焦点F到准线l的距离）一、抛物线焦点弦的常用二级结论：1、设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，且α为AB的倾斜角。若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2＝eq\f(p2,4)；y1·y2＝－p2；(随焦点动而变).(2)焦半径：①坐标式：|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)(随焦点位置变动而改变)；②倾斜角式：(3)焦点弦：①坐标式：|AB|＝x1＋x2＋p；②倾斜角式：|AB|＝eq\f(2p,sin2α)；③通经为|AB|min＝2p(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点).(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积2、已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，且α为AB的倾斜角，过A、B两点分别作准线l的垂线，垂足分别为C、D，设CD的中点为N，AB的中点为M，准线l与x轴交于H点，则(6)分别以AF、BF为直径的圆均与y轴相切.(7)以AB为直径的圆与准线相切于N，且MN的中点在抛物线上；(8)以A1B1为直径的圆与AB相切于F，即NFAF且AN、BN分别平分.(9)过焦点弦的端点的切线互相垂直相交且交点在准线上，即AN、BN分别于抛物线相切于A、B点且AFBF。(10)A、O、D三点共线；B、O、C三点共线；轴平分；(11)；二、抛物线中的阿基米德三角形的常用二级结论：ABP1、阿基米德三角形定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的ABP2、阿基米德三角形主要性质：性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。性质2：若为抛物线上两点，过两点作抛物线的切线交于点，则点的坐标为(，)性质3：若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线且其方程为。性质4：抛物线以点为中点的弦平行于点的轨迹。性质5：若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。性质6：(1)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q在准线上，则底边过焦点．(2)若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为．性质7：底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为。性质8：在阿基米德三角形中，。特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则.性质9：若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则性质10：的中点在抛物线上，且点处的切线与平行且。性质11：弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的性质12：如图，连接，则的面积是面积的2倍．三、其他结论过抛物线的顶点O作两条直线分别交抛物线于AB两点，若，则直线AB过定点四、抛物线中阿基米德三角形的性质及其证明：性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。证明：设为抛物线上两点，为弦中点，则过的切线方程为，过的切线方程为：，联立方程组得：解得两切线交点(，)，进而可知轴.性质2：若为抛物线上两点，过两点作抛物线的切线交于点，则点的坐标为(，)证明：略，证明见性质1的推导过程性质3：若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线且其方程为。证明：设，由性质1，，所以有。由三点共线知即将代入得即为点的轨迹方程。性质4：抛物线以点为中点的弦平行于点的轨迹。【提示】利用两式相减法易求得以C点为中点的弦的斜率为，因此该弦与Q点的轨迹即直线平行性质5：若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。证明：设方程为，且，弦过点，由性质3可知点的轨迹方程为，该方程与表示同一条直线，对照可得，即弦过定点。性质6：(1)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线；反之，若阿基米德三角形的顶点Q在准线上，则底边过焦点．(2)若阿基米德三角形的底边过焦点，则阿基米德三角形的底边所对的角为直角，且阿基米德三角形面积的最小值为．证明：由性质2，若底边过焦点，则，点的轨迹方程是，即为准线；易验证，即，故阿基米德三角形为直角三角形，且为直角顶点。所以，而性质7：底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为。证明：，设到的距离为，由性质1知设直线的方程为，则，所以。.性质8：在阿基米德三角形中，。证明：如图，作准线，准线，连接，则，显然，所以，又因为，由三角形全等可得，所以同理可得所以特别地，若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则.性质9：若阿基米德三角形的底边AB过焦点F，则证明：而性质10：的中点在抛物线上，且点处的切线与平行且。证明：由性质1知，可得点坐标为，此点显然在抛物线上；过点的切线斜率为，结论得证。性质11：弦AB与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的证明：略（抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了，利用微积分思想证明即可）性质12：如图，连接，则的面积是面积的2倍．证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即；应用