【解析】黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第四次模拟数学（理）试题

2020年高三学年第四次高考模拟考试数学试卷（理工类）一、选择题，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A,B，再根据并集定义求结果.【详解】,故选：B【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.的共轭复数为，且满足，则复数的模是（）A.1 B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】根据复数、共轭复数和复数模的概念，即可求出结果.【详解】设复数，则，又，所以，又，所以复数的模为.故选：C.【点睛】本题主要考查了复数、共轭复数和复数模的概念，属于基础题.，，若，则（）A.－6 B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】由题得，解方程即得解.【详解】因为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（）附：A.10% B.20% C.50% D.100%【答案】B【解析】【分析】根据题意，计算出即可.【详解】当时，，当时，因为所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%故选：B【点睛】本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于中档题.满足约束条件，则的最大值为（）A.2 B.4 C.11 D.14【答案】C【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合分析得到的最大值.【详解】不等式组对应的可行域是如图所示的区域，由得，它表示斜率为，纵截距为的直线，当直线经过点时，纵截距最小，此时最大.联立得,所以.故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.的图象大致为（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根据排除选项，再根据确定答案.【详解】由题得，所以排除选项.由题得，所以选A.故选：A.【点睛】本题主要考查根据函数的解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.一个物体做变速直线运动，在时刻的速度为（的单位：，的单位：），那么它在这段时间内行驶的路程（单位：）的值为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由速度在给定的时间范围内的定积分可得到答案.【详解】这辆汽车在这段时间内汽车行驶的路程，

所以这辆汽车在这段时间内汽车行驶的路程s为.故选：B.【点睛】本题考查了定积分在物理中的应用，速度在时间范围内的积分是路程，属于基础题.的图象，只需把函数的图象（）A.向右平行移动个单位长度 B.向左平行移动个单位长度C.向左平移移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式及诱导公式，将化简为，即可判断.【详解】由题意可得，，所以只需把函数的图象向左平行移动个单位长度，可得到函数的图象.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及诱导公式、三角函数图象的平移变换，属于基础题.和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用两圆的方程作差求得公共弦的方程，得到点的坐标，进而得到，再求得原点到直线的距离为，即可求得的最小值.【详解】由圆和圆，可得圆和的公共弦所在的直线方程为，联立，解得，即点，又因为点在直线上，即，又由原点到直线的距离为，即的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，直线过定点问题，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查推理与运算能力.的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求球的半径，即得正方体棱长，根据三视图还原几何体，再根据正方体以及锥体体积公式求结果.【详解】设外接球的半径为正方体棱长为，因为正方体的外接球的体积为，所以由三视图知几何体为正方体截去两个角（如图），其体积为故选：C【点睛】本题考查三视图、正方体以及锥体体积、球体积，考查空间想象能力以及基本求解能力，属中档题.满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知且，再利用基本不等式，即可求出结果.【详解】由题意可知，因为，所以所以，所以，当且仅当，即时，取等号.故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.，若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过参变分离可得，构造函数，只需求出即可，利用求导数，判断单调区间，得出，进而求出的取值范围.【详解】恒成立，则，只需设当，；当，；所以，故选：B【点睛】本题考查了含参不等式恒成立求参数取值范围问题，构造函数，求函数最值等基本知识，考查数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思维，属于中档题.二、填空题，则______.【答案】【解析】【分析】，二项分布的性质可知，，即可得出结果.【详解】由二项分布的性质可知，，.故答案为：【点睛】本题考查了二项分布的性质和应用，考查理解辨析能力和数学运算能力，属于基础题目.满足，则______.【答案】【解析】【分析】利用两角和余弦公式化简，两边平方可得的值，利用齐次式化弦为切，求的值，进而求出的值，利用两角和的正弦公式，可得结果.【详解】锐角满足，，两边平方可得：，，即，解得或，因为为锐角，，，故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变型，两角和的正、余弦公式与二倍角公式，考查数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.15.我国在北宋年间（公元1084年）第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰.哈三中图书馆中正好有这十本书，现在小张同学从这十本书中任借三本阅读，那么他借到的三本书中书名中恰有一个“算”字的概率为______.【答案】【解析】【分析】先确定含有“算”字的书，结合组合数分别求出基本事件总数、恰含有一个“算”字的基本事件数，利用古典概型概率计算公式即可求解.【详解】根据题意可知，这十本书中共有五本有一个“算”字，所以小张同学从这十本书中任借三本阅读共有种情况，他借到的三本书中书名中恰有一个“算”字共有种情况，故概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型及组合数，属于基础题.于两点（点在第一象限），若点关于轴的对称点称为，且，直线与椭圆交于点，且满足，则直线和的斜率之积为______，椭圆的离心率为______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】设的坐标，由题意可得的坐标，再由向量的关系求出的坐标，求出，，的斜率表达式；又在椭圆上，将的坐标代入椭圆的方程，化简可得，又在直线上，可得，进而求出的斜率，再由可求出直线和的斜率之积，进而求出离心率．【详解】设，，则，因为，所以所以斜率为，斜率为，斜率为又，在椭圆上，所以；所以,所以，又，所以,所以，所以，所以，所以椭圆的离心率为.【点睛】本题考查了椭圆的离心率、椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题.三、解答题，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）利用把递推关系转化为，再利用等差数列的通项公式可求的通项；（2）利用等比数列的求和公式与裂项求和法可求的前项和.【详解】解：（1）当时，，当时，，∴，∵，∴，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴.（2）由（1）的，则，∴.【点睛】数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列或等比数列的通项，则用公式直接求和；如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法;中档题.18.如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，，且，点为中点.（1）证明：平面平面；（2）直线和平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）可证平面，从而得到平面平面.（2）设为中点，连结，，可以证明、、，建立如图所示的空间直角坐标系后可求给定的二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∵平面，∴又∴，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）设为中点，连结，，又，故且，.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴，又为矩形的对边的中点，故.以为坐标原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，则，.设，其中，则.又平面的法向量为，所以，故，所以，所以，.故，，，设平面的法向量为故即，令，∴.设平面的法向量为故即，令，∴，∴，因为二面角为锐角，故其余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及线面角、二面角的计算，后者常借助空间向量（即直线的方向向量和平面的法向量）的夹角来帮助计算.19.已知某种新型病毒的传染能力很强，给人们生产和生活带来很大的影响，所以创新研发疫苗成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上这种新型冠状病毒的疫苗的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）236101314销量（万盒）112254（1）根据上表中的数据，建立关于的线性回归方程（用分数表示）；（2）根据所求的回归方程，估计当研发费用为1600万元时，销售量为多少？参考公式：，.【答案】（1）；（2）销售量为47769盒.【解析】【分析】（1）根据表中的数据和题中所给参考公式可计算出，利用最小二乘法求的值，代入，可得，进而求出回归方程.（2）将，代入回归方程即可.【详解】（1），，，，，，（2）当时，代入回归方程（万盒）（盒）当研发费用为16000000时，销售量为47769盒.【点睛】本题考查了线性回归方程，最小二乘法等基本知识，考查了数学运算能力、数据分析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点做直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.（1）求曲线的方程；（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，得到圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，即可求得圆心的轨迹方程；（2）设，由三点共线，求得的值，再求得过点与直线垂直和点与直线垂直的直线方程，联立方程组，求得，即可得到结论.【详解】（1）圆经过点与直线相切，则圆心满足到点与到直线的距离相等，根据抛物线的定义，可得圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，其中，所以圆心的轨迹方程为.（2）设，，由三点共线，则，整理得，过点与直线垂直的直线为，同理过点与直线垂直的直线为，两条垂线联立方程组，解得，所以垂心在直线.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.的图象与直线相切.（1）求实数的值；（2）若存在实数满足且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义化简得出，解出，即可确定的值；（2）令，构造函数，利用导数得出，证明，即可得出结论.【详解】解：（1）设切点为，则，消得，令，得当时，所以在区间单调递增，且又因为当时，，所以，得.（2）由已知，因为函数为增函数，且所以，，即令，（当且仅当时，取等号）即.令，因为在为单调递增函数，，.所以存在，使得，且，，，即，即函数在为单调递减函数，在上是单调递增函数所以又因为，所以所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用以及利用导数证明不等式，属于中档题.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于两点.（1）若，求；（2）若点是曲线上不同于的动点，求面积的最大值.【答案】（1）5；（2）.【解析】【分析】（1）将圆的极坐标方程化为直角方程，再利用直线参数方程中参数的几何意义可求的值.（2）先求出直线的普通方程，再分别求出的长及圆心到直线的距离，从而可求面积的最大值.【详解】解：（1）设，因为，所以，将（为参数）代入得到，,故是该方程的两个正根，又.（2）直线的直角方程为即.又，故圆心坐标为，圆心到直线的距离为，故到的距离的最大值为.故，故的最大值为.【点睛】本题考查圆的极坐标方程与直角方程的互化、直线的参数方程与直角方程的互化，注意非直角方程下的最值问题，一般需转化到直角方程下去讨论求解.，的解集为.（1）若存