2024新高考数学二轮总复习专题突破练7热点小专题二导数的应用含解析

专题突破练7热点小专题二、导数的应用一、单项选择题1.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0 B.1C.2 D.32.(2024天津河北区线上测试,6)已知函数f(x)=3x+2cosx,若a=f(32),b=f(2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系是(A.a<b<c B.c<a<bC.b<a<c D.b<c<a3.(2024河南开封三模,文9,理7)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取极大值,则c=()A.-2或-6 B.2或6C.2 D.64.(2024山东德州二模,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)+1<f'(x),f(0)=2,则不等式f(x)+1>3ex的解集为()A.(1,+∞) B.(-∞,1)C.(0,+∞) D.(-∞,0)5.已知函数f(x)=aex-x2-(2a+1)x,若函数f(x)在区间(0,ln2)上有极值,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1) B.(-1,0)C.(-2,-1) D.(-∞,0)∪(0,1)6.(2024山东济南一模,8)已知直线y=ax+b(b>0)与曲线y=x3有且只有两个公共点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1<x2,则2x1+x2=()A.-1 B.0C.1 D.a7.已知函数f(x)=alnx-2x,若不等式f(x+1)>ax-2ex在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是()A.a≤2 B.a≥2C.a≤0 D.0≤a≤28.(2024江西名校大联考,理12)已知函数f(x)=-13x3+x2,x≤m,x-m,x>mA.(0,2) B.(2,+∞)C.(0,3) D.(3,+∞)二、多项选择题9.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,以下命题错误的是()A.-3是函数y=f(x)的极值点B.-1是函数y=f(x)的最小值点C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零10.(2024山东聊城二模,10)下列关于函数f(x)=x3-3x2+2x的叙述正确的是()A.函数f(x)有三个零点B.点(1,0)是函数f(x)图象的对称中心C.函数f(x)的极大值点为x=1-3D.存在实数a,使得函数g(x)=[f(x)]2+af(x)在R上为增函数11.(2024山东潍坊临朐模拟,12)已知函数f(x)=xlnx+x2,x0是函数f(x)的极值点,以下结论中正确的是()A.0<x0<1eB.x0>1C.f(x0)+2x0<0 D.f(x0)+2x0>012.(2024山师大附中月考,12)设函数f(x)=|lnx|,x>0,ex(x+1),x≤0,若方程[fA.12 B.C.1 D.2三、填空题13.(2024全国Ⅲ,文15)设函数f(x)=exx+a.若f'(1)=e414.(2024全国Ⅰ,文15)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.

15.(2024山东淄博4月模拟,16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.

16.已知函数f(x)=log2x,g(x)=x+a-x(a>0),若对∀x1∈{x|g(x)=x+a-x},∃x2∈[4,16],使g(x1)=f(专题突破练7热点小专题二、导数的应用1.D解析∵y=ax-ln(x+1),∴y'=a-1x+1.∴y'|x=0=a-1=2,得2.D解析因为函数f(x)=3x+2cosx,所以导数函数f'(x)=3-2sinx,可得f'(x)=3-2sinx>0在R上恒成立,所以f(x)在R上为增函数,又因为2=log24<log27<3<32,所以b<c<a,故选D3.D解析f'(x)=(x-c)2+2x(x-c),f'(2)=(2-c)2+2×2(2-c)=0,解得c=6或c=2.验证知当c=2时,函数在x=2处有微小值,舍去,当c=6时满意题意,故c=6.4.C解析令g(x)=f(∵f(x)+1<f'(x),则g'(x)=f'(x故g(x)在R上单调递增,且g(0)=3,由f(x)+1>3ex,可得f(x即g(x)>g(0),所以x>0,故选C.5.A解析f'(x)=aex-2x-(2a+1),令g(x)=aex-2x-(2a+1).由函数f(x)在区间(0,ln2)上有极值⇔g(x)在区间(0,ln2)上单调且存在零点.所以g(0)g(ln2)=(a-2a-1)(2a-2ln2-2a-1)<0,即a+1<0,解得a<-1.故实数a的取值范围是(-∞,-1).故选A.6.B解析直线y=ax+b(b>0)与曲线y=x3有且只有两个公共点,即为b=x3-ax有两个根,即函数y=x3-ax与y=b恰有两个交点,作出两个函数的图象,可知x1是极大值点时满意题意.∵y'=3x2-a,∴3x12又∵b=x13-ax1=x2∴x13-x23∴(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=a(x1∵x1<x2,∴a=x12+x1x2+x22∴2x12-x1x2-x∴(2x1+x2)(x1-x2)=0,∴2x1+x2=0.故选B.7.A解析f(ex)=ax-2ex,所以f(x+1)>ax-2ex在x∈(0,+∞)上恒成立,等价于f(x+1)>f(ex)在(0,+∞)上恒成立,因为x∈(0,+∞)时,1<x+1<ex,所以只需f(x)在(1,+∞)上单调递减,即当x>1时,f'(x)≤0恒成立,即当x>1时,ax≤2恒成立,a≤2所以a≤2,故选A.8.B解析g(x)=f(x)-a的零点个数等价于直线y=a与函数f(x)图象的交点个数.令y=-13x3+x2,y'=-x2+2x,当x<0或x>2时,y'<0,当0<x<2时,y'>0.所以函数y=-13x3+x2在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增,画出函数f(由图可知当m>2时,存在直线y=a与函数f(x)图象的交点为4个;当0<m≤2时,直线y=a与函数f(x)图象的交点至多为3个;当m≤0时,直线y=a与函数f(x)图象的交点至多为2个.所以m的取值范围为(2,+∞).故选B.9.BD解析依据导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,在x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,故函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,则-3是函数y=f(x)的极值点.因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,则-1不是函数y=f(x)的最小值点.因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,则y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零,故选BD.10.ABC解析令f(x)=0,即x(x-1)(x-2)=0,解得x=0或x=1或x=2,故函数f(x)有三个零点,故选项A正确;因为f(1+x)+f(1-x)=0,所以点(1,0)是函数f(x)图象的对称中心,故选项B正确;令f'(x)=3x2-6x+2=0,解得x=3±33,故f(x)在-∞,3-33上单调递增,在3-33,3+33函数f(x)的极大值点为x=1-33因为f(x)在R上不单调,所以不存在实数a,使得函数g(x)=[f(x)]2+af(x)在R上为增函数,故D错误.故选ABC.11.AD解析∵函数f(x)=xlnx+x2(x>0),∴f'(x)=lnx+1+2x.∵x0是函数f(x)的极值点,∴f'(x0)=0,即lnx0+1+2x0=0,∵f'(x)在(0,+∞)上单调递增,且f'1e=∵x→0,f'(x)→-∞,∴0<x0<1ef(x0)+2x0=x0lnx0+x02+2x0=x0(lnx0+x0+2)=x0(1-x0)>0,即选项D正确,选项C不正确.12.BC解析当x≤0时,f(x)=ex(x+1),则f'(x)=ex(x+1)+ex=ex(x+2).由f'(x)<0得,x+2<0,即x<-2,此时f(x)为减函数,由f'(x)>0得,x+2>0,即-2<x≤0,此时f(x)为增函数,即当x=-2时,f(x)取得微小值f(-2)=-1e2,作出f(由图象可知当0<f(x)≤1时,有三个不同的x的取值与f(x)对应.设t=f(x),因为方程[f(x)]2-af(x)+116=所以t2-at+116=0在t∈设g(t)=t2-at+1则g解得12<a≤1716.结合选项可知实数a13.1解析对函数f(x)=exx+a求导得f'(x)=ex(x+a14.y=2x解析设切点坐标为(x0,y0).对y=lnx+x+1求导可得y'=1x+1由题意得,1x0+1=2,解得x0=1,故y0=ln1+1+1切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.15.-332解析由f(x)=2sinx+sin2x,得f'(x)=2cosx+2cos2x=2(2cos2x+cosx-1)=2(cosx+1)(2cosx-1),令f'(x)=0,得cosx=-1或cosx=所以f(x)的最小值为使cosx=-1或cosx=12成立的x的取值所对应f(x)的函数值中的最小值当cosx=-1时,sinx=0,所以f(x)=0;当cosx=12时,sinx=±32,f(x)综上,f(x)的最小值为-316.[4,8]解析结合题意可得log24=2≤f(