向量中的隐圆问题（四大题型）（解析版）

·1· …………………13证明：由P.P=λ,根据极化恒等式可知，PM2AB2=2若A，B为定点则P的轨迹为圆.技巧四.与向量模相关构成隐圆·2· A.1B.2C.3D.4所以λ+μ=cosθ+sinθ=所以P⋅P=-2cosθ(3-2cosθ)=4-(8sinθ+6cosθ)因为-10≤-10sin(θ+α)≤10，所以-6≤4-10sin(θ+α)≤14，—→—→·3· 则P=(4-cosθ,-sinθ(，∴P⋅P=(4-cosθ((2-cosθ(-sinθ(2、3-sinθ(=9-43sin(θ+，·4·∴≤θ+<， 显然-1≤sin(α+φ)≤1，则-22≤4-26sin(α+φ)≤30，—→—→跟踪训练跟踪训练A.-11B.-6C.-3D.-15则P⋅P===PD2-12.又PD为圆O上的点P到D的距离，则PDmin=2-1=1，·5·跟踪训练跟踪训练【答案】-3-3跟踪训练跟踪训练=33=33，min=33-|OP|=33-5.·6· 2-|2=202=20=(cosx-1(2+(sinx-2(2+(cosy-1(2+(siny-2(2xx-y4x+yx-y4x+y22=-|=(cosx-cosy(2+(sinx-siny(2=2-2cos(x-y(≤4-4×5 2=2，设P=2P+⋅P=2=根据P=2P+P=(P+P(+(P-P(可知：P+P|-P-P||≤·7·-236+2 /2,/2, C所以(x-1)2+(y-1)2=4，所以点M的轨迹是一个圆D,跟踪训练(2023·江苏·高二专题练习)在平面直角坐跟踪训练A.(-5-1,5-1(B.[-5-1,5-1]C.(-22-1,22-1(D.[-22-1,22-1]【解析】设M(x,-x-a(，2+(x+a(2+x2+(-x-a-2(2=10，∵直线l上存在点M,满足|MA|2+|MO|2=10，故选D.跟踪训练跟踪训练，若直线kx-y+6=0上()A.[-42，42[B.(-∞,-42[∪[42，+∞(·8·C.2、、跟踪训练化简得x2+y2-2x-3≤0，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x=-、代入x2+y2-2x-3≤0可得-7≤y、 7(2023·湖南长沙·高一长沙一中校考期末)已知点A(-1,0(，B(2,0(，直线l：kx-y-5k=0上存在点0)+y2-2x=0与直线l:y=k(x·9·-2--2的最大值为()acos上BOC=cos<,>==，“0≤上BOC≤π,:上BOC=， -=-=B—，-=-=，2-(|A2=(2S△ABC(2，·10·A.+B.C.1+D.1A.+B.C.1+D.1+3 -(21+.+=0推出-2=-+=，所以 -2e1+e2跟踪训练跟踪训练A.22B.2C.2D.1设D=,D=,D=，则-=A—,-=B—，=sinθ+cosθ=2sin(θ+，跟踪训练跟踪训练·11·2=0(--2=0，2≤2=(cosθ+、2(2+4-3cos2θ=-2cos2θ+22cosθ+6=-2(cosθ-2+7≤7，跟踪训练跟踪训练4·12·-=3--=3-64-- 4 若2-6⋅+8=06因为=+，则=(3+cosθ-,+sinθ+或=(3+cosθ+,-+sinθ-，令=(m,n(，则(m-3(2+(n-2=或(m-3(2+(n+2=，2=m-(m2+n2(=-(m-2+n2L|Γ+，当且仅当点M为线段AB与圆(x-3(2+(y-2=的交点时，等号成立，2=-(m-2+n2+=-P|2+≤-×2+=6跟踪训练ee·13·2-4⋅+3=0得m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1，--=(x-m(2+(y-n(2表示圆(m-2)2+n2=1上的点(m,n(到直线y=±3x上的点 +y2=1，∴+2+|3+2-2=(2x+1(2+4y2+(3-2x(2+(2-2y(2=2x+2+y2+(x-2+(y-1(2(， --|的最小值为.·14·=+|CD|(min=|B/C|=、52+22=+|CD|(min-2=、29-2.跟踪训练跟踪训练若点P为直线2x+y+8=0上的任意一点，则|P—+P|的最小值为 ·15·又D是MN的中点，所以CP⊥MN，-5=5.——跟踪训练跟踪训练22,所以|AB|2=(x1-x2(2+(y1-y2(2=8，,所以|AB|2=(x1-x2(2+(y1-y2(2=8，(x-x1(2+(y-y1(2=4(x-x2(2+4(y-y2(2，4(y1-y1(2+4(4(y1-y1(2+4(x1-x2(2=9=92-y132-y13M时，M=(x1-x,y1-y(,B=(x-x2,y-y2(，当BM时，2-y13(y1-y(可得2-y13(y1-y(可得x-x2=-2-y13圆心在D在直线x-y2-y13圆心在D22跟踪训练跟踪训练作=--|=|-|=||=1,·16·2+(y-1)2=1，max=、2+1跟踪训练跟踪训练若向量-+|=的最大值为所以-+=(x-1,y+1(，2+(y+1)2=4，所以max=|OC|+r=2+、2.跟踪训练(2023·全国·高三专题练习)已知,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足跟踪训练故的最大值为2+2+=，·17· =0+|则∠AOB=,x+y=2①,因为=(+),A=-，2-|AB2⇒-xy=t2-r2，cos∠AOB=⇒-xy=x2+y2-4r2⇒4r2=(x+y)2-xy②,∴M--|max=|E—|+|E—|=t+r=1-xy+1-xy≥,跟踪训练2+a+2+61-6⋅S61